獨(dú)立的m維實(shí)隨機(jī)過程均方極限的獨(dú)立性

呂　芳,宋巧珍

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南 洛陽 471934)

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獨(dú)立的m維實(shí)隨機(jī)過程均方極限的獨(dú)立性

呂芳,宋巧珍

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南 洛陽 471934)

介紹了兩個(gè)m維實(shí)隨機(jī)向量序列相互獨(dú)立時(shí)，其均方收斂的結(jié)果間仍具有相互獨(dú)立性，并將此結(jié)論推廣到任意有限維的兩個(gè)實(shí)隨機(jī)向量序列，以及任意有限維的兩個(gè)連續(xù)參數(shù)實(shí)隨機(jī)過程上去.

實(shí)隨機(jī)過程；實(shí)隨機(jī)向量序列；均方極限；獨(dú)立性

1　基本概念

定義1[8]設(shè)已給概率空間(Ω,F,P)及一參數(shù)集T，若對每一t∈T，均有定義在(Ω,F,P)上的一個(gè)隨機(jī)變量X(ω,t)，(ω∈Ω)與之對應(yīng)，則稱依賴于參數(shù)t的隨機(jī)變量族X(ω,t)為一隨機(jī)過程. 記為{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}，簡記為{X(t),t∈T}.

若對每一t∈T，均有定義在(Ω,F,P)上的m個(gè)隨機(jī)變量

X1(ω,t),X2(ω,t),…,Xm(ω,t)，(ω∈Ω)

與之對應(yīng)，則隨機(jī)向量族{(X1(ω,t),X2(ω,t),…,Xm(ω,t)),t∈T}為一m維隨機(jī)過程，簡記為{(X1(t),X2(t),…,Xm(t)),t∈T}.

T通常表示時(shí)間集，稱為參數(shù)空間，當(dāng)T為有限集或可列集時(shí)，如T={1,2,3,…}，稱這類過程為隨機(jī)變量序列，可寫作{X(n),n=1,2,3,…}；類似地有m維隨機(jī)向量序列，記為{(X1(n),X2(n),…,Xm(n)),n=1,2,3,…}.

定義2[9]設(shè){X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}為兩個(gè)隨機(jī)過程，其k+l維聯(lián)合分布函數(shù)為

則稱隨機(jī)過程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互獨(dú)立.

概率空間(Ω,F,P)上的二階矩隨機(jī)變量的全體記作H，由文獻(xiàn)[10]-[11]知H是一個(gè)線性空間，文獻(xiàn)[12]對此空間上的內(nèi)積和范數(shù)等作了說明.

定義5[9]設(shè)X=(X1,X2,…,Xm)是m維隨機(jī)向量，則稱

為m維隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xm)的特征函數(shù)，其中t=(t1,t2,…,tm)∈Rm.

2　相關(guān)定理及推論

文獻(xiàn)[1]及[8]-[15]對均方極限的相關(guān)性質(zhì)作了研究，現(xiàn)將部分結(jié)論羅列如下.

以上關(guān)于隨機(jī)變量序列的均方極限的性質(zhì)均可相應(yīng)地推廣到連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程{X(t),t∈T}上去，可參閱文獻(xiàn)[9]；同時(shí)，對多維隨機(jī)變量序列以及多維連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程以上結(jié)論仍然成立.

定理3設(shè)φ(X1,X2,…,Xm)(t1,t2,…,tm)是m維隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xm)的特征函數(shù)，φXi(t)，i=1,2,3,…,m是隨機(jī)變量Xi的特征函數(shù)，則隨機(jī)變量X1,X2,…,Xm相互獨(dú)立的充要條件是

φ(X1,X2,…,Xm)(t1,t2,…,tm)

=φX1(t1)φX2(t2)…φXm(tm)[9].

以下所研究對象均在H空間中，不再額外說明.

3　主要結(jié)論及證明

定理4設(shè)m維實(shí)隨機(jī)向量序列

{X(n)=(X1(n),X2(n),…,Xm(n)),n=1,2,3,…}

證2m維實(shí)隨機(jī)向量(X,Y)=(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Ym)的特征函數(shù)為

φ(X,Y)(s,t)=φ(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Ym)(s1,s2,…,sm,t1,t2,…,tm)

(由{X(n),n=1,2,3,…}與{Y(n),n=1,2,3,…}的獨(dú)立性)

=φ(X1,X2,…,Xm)(s1,s2,…,sm)·

φ(Y1,Y2,…,Ym)(t1,t2,…,tm) (由推論2)

=φX(s)·φY(t)

綜上，φ(X,Y)(s,t)=φX(s)·φY(t)，由定理3知，隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xm)與Y=(Y1,Y2,…,Ym)相互獨(dú)立. 定理得證.

事實(shí)上，在定理4中若兩個(gè)實(shí)隨機(jī)向量序列的維數(shù)不同結(jié)論依然成立(敘述為定理5)，同時(shí)，對于多維連續(xù)參數(shù)的實(shí)隨機(jī)過程也有類似的結(jié)論(敘述為定理6).

定理5設(shè)l維實(shí)隨機(jī)向量序列

{X(n)=(X1(n),X2(n),…,Xl(n)),n=1,2,3,…}

定理5和定理6的證明過程與定理4的證明過程類似，此處不再重復(fù).

[1]殷羽.隨機(jī)變量序列的幾種收斂性[J] .科研探索與知識(shí)創(chuàng)新,2012,6(下):109-111.

[2] Bradley R C. On the spectral density and asymptotic normality of weakly dependent random fields[J]. J Theor Probab,1992,5:355-373.

[3] Bradley R C. Equivalent mixing conditions for random fields[J].Ann Probab,1993,21:1921-1926.

[4]Bryc W, Smolenski W. Moment conditions for almost sure convergence of weakly correlated random variables[J]. Proc Amer Math Soc,1993,119:629-635.

[8]毛用才,胡奇英. 隨機(jī)過程[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2002.

[9]張卓奎,陳慧嬋. 隨機(jī)過程[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2003.

[10]尹國舉,朱建華. 二階矩模糊隨機(jī)過程的均方收斂性[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2001,15(2):65-67.

[11]劉建平,王洪林.二階矩模糊隨機(jī)過程的均方收斂性[J].河北工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2002,3:58-60.

[12]王進(jìn)波.時(shí)標(biāo)上的隨機(jī)分析及應(yīng)用[D]. 廣東: 廣東工業(yè)大學(xué),2008:5.

[13]孫洪祥.隨機(jī)過程[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2008.

[14]吳讓泉,胡良劍.二階模糊隨機(jī)過程的均方收斂性及其應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1998,13(3):175-182.

[15]袁野.不確定變量序列r階收斂與二重收斂[D]. 蘇州: 蘇州科技學(xué)院, 2014：6.

On the mean square limits’ independence of independentm-dimensional real stochastic processes

LYU Fang,SONG Qiaozhen

(Department of Mathematics, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

It is proved that the mean square limits of two independentm-dimensional real stochastic vertor sequences are still independent.And the result was generalized to the case of finite-dimensional real stochastic vertor sequences and finite-dimensional real stochastic processes with continuous parameters.

real stochastic processes; real stochastic vertor sequences; mean square limits; independence

2016-05-18;

2016-06-28

呂芳(1980- )，女，河南焦作人，講師，碩士，主要從事概率研究.

O211.62

A

1671-9476(2016)05-0026-04

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.006