用功能原理分析秋千的擺動與旋轉(zhuǎn)

于鳳軍

(安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽　455000)

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用功能原理分析秋千的擺動與旋轉(zhuǎn)

于鳳軍

(安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽455000)

采用非慣性系處理內(nèi)力做功問題，應(yīng)用功能原理分析秋千的擺動與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

秋千；振動；旋轉(zhuǎn)；功能原理；內(nèi)力做功

秋千振蕩是一種有趣的共振現(xiàn)象，對此不少文獻(xiàn)[1-6]都做過研究. 研究方法大體分兩種：一種是求解參數(shù)振動的微分方程[2-5]，另一種是從人在最低位置時(shí)突然升高過程中的角動量守恒出發(fā)[5,6](以下簡稱“角動量守恒法”)導(dǎo)出人體的動能增加，并解釋秋千的振幅越來越大的現(xiàn)象[5].除這兩種方法外，還可以先把上述動能的增加推斷為內(nèi)力做功的一部分，再加上另一部分(人抵抗重力做功部分)計(jì)算出內(nèi)力總功，最后由功能原理解釋機(jī)械能增大現(xiàn)象[6]. 本文不使用角動量守恒定律，直接從功能原理出發(fā)(以下簡稱“功能原理法”)分析這一現(xiàn)象. 對于秋千的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，在相關(guān)文獻(xiàn)中尚未見到介紹，本文也討論之.

1　秋千的擺動

設(shè)秋千的懸點(diǎn)O通過一個(gè)支架與地面固結(jié)，在O處裝有光滑鉸鏈，秋千踏板通過一個(gè)剛性桿與該鉸鏈相連，人的腳底固結(jié)在秋千踏板上. 取人體、地球 (把秋千設(shè)備包含在地球內(nèi))為研究系統(tǒng). 這時(shí)系統(tǒng)無外力作用，內(nèi)力包括：人體與地球之間的引力(重力)、人腳與秋千踏板之間的壓力、秋千設(shè)備與地球之間在點(diǎn)O處的約束力、人體內(nèi)部各組織之間的相互作用力. 在蕩秋千過程中，因重力是保守力，如果取機(jī)械能中包括重力勢能，就不能考慮重力做功；人腳與秋千踏板之間無相對位移以及鉸鏈?zhǔn)枪饣?，故相?yīng)的內(nèi)力不做功；人體內(nèi)部各組織之間有相對位移，因此人體內(nèi)力做功. 在忽略空氣等阻力因素的前提下，人體內(nèi)力做功是系統(tǒng)機(jī)械能變化的唯一因素.

如圖1，假設(shè)人體質(zhì)心的最低位置為A，t=0時(shí)刻人體質(zhì)心處在最低點(diǎn)A，以速度v0沿水平方向向左運(yùn)動. 顯然，秋千在每一個(gè)運(yùn)動周期中，人體通過點(diǎn)A時(shí)要站起2次，該質(zhì)心有兩次閉合循環(huán)運(yùn)動，其一為左側(cè)循環(huán)：A→B→C→D→A，我們把該循環(huán)定義作第n次(n取奇數(shù))循環(huán)，設(shè)該循環(huán)對應(yīng)的最大擺角φn=∠AOD，循環(huán)結(jié)束瞬間質(zhì)心在點(diǎn)A的速度為 vn(方向朝右，因結(jié)束前質(zhì)心從D向A運(yùn)動)；其二為右側(cè)循環(huán)：A→B→N→M→A，我們把此循環(huán)叫做第n+1次循環(huán)，設(shè)此循環(huán)對應(yīng)的最大擺角φn+1=∠AOM，循環(huán)結(jié)束瞬間人體質(zhì)心在點(diǎn)A的速度為 vn+1(方向朝左，因結(jié)束前質(zhì)心從M向A運(yùn)動). 需要說明二點(diǎn)：vn既是第n次循環(huán)結(jié)束瞬間人體質(zhì)心在點(diǎn)A的速度，也是第n+1次循環(huán)開始瞬間人體質(zhì)心在點(diǎn)A的速度；圖1中vn+1和vn是質(zhì)心在同一點(diǎn)A不同時(shí)刻的速度.

圖1

(1)

(2)

(3)

式(3)是一個(gè)遞推公式，利用恒等式x=eln x和級數(shù)展開ln(1+y)≈y(y<<1)，式(3)變?yōu)?/p>

(4)

即系統(tǒng)機(jī)械能隨人體的站起次數(shù)n作指數(shù)增加. 另外，DA過程中的機(jī)械能也是守恒的，即

(5)

由式(4)和式(5)得

(6)

上式中正負(fù)號分別對應(yīng)n為偶數(shù)和奇數(shù)，φn為負(fù)時(shí)，表示擺動到左側(cè)，φn為正時(shí)，表示擺動到右側(cè). 以上推導(dǎo)中，除對ε<<1(或h<

取v0=1 m/s，R=5 m，ε=0.02，g=9.8 m/s2，由式(6)作秋千擺幅φn隨n變化的關(guān)系如圖2. 由圖2可知，隨人體站起次數(shù)增加，秋千擺幅愈來愈大，這與實(shí)際情況定性相符.

圖2

2　秋千的旋轉(zhuǎn)

圖3

(7)

由功能原理得相鄰兩周的系統(tǒng)機(jī)械能增量為

(8)

即機(jī)械能之差為常數(shù)，機(jī)械能隨人體站起次數(shù)按算術(shù)級數(shù)增加，而秋千擺動時(shí)人體相鄰兩次經(jīng)過A點(diǎn)的機(jī)械能之比為常數(shù)(見式(3))，機(jī)械能隨人體站起次數(shù)按幾何級數(shù)增加.

(9)

(10)

小結(jié)：從文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]和本文的討論過程上看，“角動量守恒法”可以使學(xué)生加深對角動量守恒定律的理解，直觀地理解秋千振幅增大的機(jī)理；“功能原理法”可以使學(xué)生加深對功能原理的理解，直觀地理解蕩秋千過程中的能量轉(zhuǎn)化問題，兩種方法在物理上各有特色. 在處理秋千旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，應(yīng)用“功能原理法”并且采用非慣性系處理人體內(nèi)力做功問題，推導(dǎo)過程會更加簡便. 當(dāng)忽略摩擦阻尼時(shí)，蕩秋千擺動時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能隨人體的站起次數(shù)按幾何級數(shù)增加，而秋千旋轉(zhuǎn)時(shí)它按算術(shù)級數(shù)增加，這是秋千的旋轉(zhuǎn)和擺動的主要區(qū)別之一.

[1]漆安慎，杜嬋英. 普通物理學(xué)教程：力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，1997:292.

[2]劉世清. 秋千非線性參變共振的分析[J] . 大學(xué)物理,2001, 20(10) : 15-17.

[3]劉世清. 秋千非線性參變共振解的簡單推導(dǎo)[J] . 大學(xué)物理,2004, 23(4) : 30-31.

[4]付茂林, 鄒喜洋, 劉世清. 一個(gè)新的秋千參激振動的數(shù)學(xué)模型 [J] . 大學(xué)物理,2004, 23(7) : 13-15.

[5]佘守憲. 秋千——力學(xué)模型，初等分析與參數(shù)共振微擾解析解 [J] . 大學(xué)物理,2005, 24(5) : 5-12.

[6]賀承緒, 張可，等. 關(guān)于蕩秋千的能量分析[J] . 物理與工程,2005, 15(1) : 25-26.

An analysis of oscillation and rotation of swing with the principle of work and energy

YU Feng-jun

(College of Physics and Electrical Engineering, Anyang Normal University, Anyang, Henan 455000, China)

:By using internal force doing work in non-inertial frame, the oscillation and rotation of swing are analyzed based on the principle of work and energy.

swing；oscillation；rotation；principle of work and energy；internal force doing work

2015-03-30；

2015-07-26

于鳳軍(1959—)，男，河南安陽人，安陽師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院教授，主要從事理論物理、天體力學(xué)研究和教學(xué)工作.

教學(xué)討論

O 313.1

A

1000- 0712(2016)02- 0014- 03