具有無窮時滯和反饋控制的離散互惠系統(tǒng)的持久性

張杰華，余勝斌

（陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，福建 福州　350015）

具有無窮時滯和反饋控制的離散互惠系統(tǒng)的持久性

張杰華，余勝斌

（陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，福建 福州350015）

提出并研究具有無窮時滯和反饋控制變量的離散互惠系統(tǒng)模型，通過運用差分不等式得到保證該系統(tǒng)持久的一組充分條件。

離散；持久性；無窮時滯；反饋控制；互惠系統(tǒng)

得到了一組保證該系統(tǒng)持久的充分性條件?？紤]到生態(tài)系統(tǒng)一直受到外界的干擾，如人類的開發(fā)等因素，則必須研究具有反饋控制的模型，如Chen［2］就研究了如式（2）單種群反饋控制模型的持久性問題

據(jù)筆者所知，尚未有學(xué)者針對模型［1］提出差分反饋控制模型，因此研究如式（3）模型

其中xi（k）（i=1，2）是第i個種群密度，ui（k）（i=1，2）是控制變量，且滿足下列條件：

（H1）ri，Ki，αi，δi，Ji，Hi，Ri，ai和bi，i=1，2是非負的有正的上下界的序列，

易知系統(tǒng)（3）滿足初始條件（4）的解對任意k∈N均有定義且是恒正的。本文通過文獻［2-3］的分析手法來探討系統(tǒng)（3）的持久性。

1　相關(guān)引理

引理1［3］假設(shè)序列｛x（k）｝滿足x（k）＞0，a（k），b（k）均為有正的上下界的非負序列，若x（k+1）≤x（k）exp｛a（k）-b（k）x（k）｝，k∈N，則

引理2［4］假設(shè)序列｛x（k）｝滿足，且x（N0）＞0，N0∈N，其中a為常數(shù)且滿足ax*＞1，則

引理3［5］設(shè)x：Z→R是非負有界序列，J：N→R是非負序列，且，則

引理4［7］假設(shè)A＞0，且y（0）＞0，y（k+1）≤Ay（k）+B（k），k=1，2…，則有

引理5［7］假設(shè)A＞0，且y（0）＞0，y（k+1）≥Ay（k）+B（k），k=1，2…，則有

2　持久性

（H2）Kil＞diuNi

定理1若（H1）及（H2）成立，則系統(tǒng)（3）持久的。

證明設(shè)（x1（k），x2（k），u1（k），u2（k））T是系統(tǒng)（3）滿足初值條件（4）的任一解。由系統(tǒng)（3）的前兩個方程可得

由（5）式可得

將（6）代入系統(tǒng)（3）的前兩個方程得

應(yīng)用引理1有

所以，由引理 3有

因此，對任意的ε＞0，存在T1＞0，當k≥T1時，有

將（10）代入系統(tǒng)（3）的第3個和第4個方程得到

應(yīng)用引理4可得

目前市場上的中藥揮發(fā)油提取設(shè)備型號多樣、功能各異，其質(zhì)量關(guān)系到中藥揮發(fā)油的質(zhì)量。相關(guān)部門應(yīng)盡快加強提取設(shè)備標準化管理，完善《藥品生產(chǎn)質(zhì)量管理規(guī)范》（GMP）或建立相關(guān)政策法規(guī)。由于在提取揮發(fā)油的過程中普遍存在提取工藝與提取設(shè)備不適宜的問題，因此在研發(fā)自動化、智能化揮發(fā)油提取設(shè)備的同時，必須加強提取工藝與設(shè)備的適宜性研究，從而使傳統(tǒng)的低效、高耗能揮發(fā)油提取設(shè)備升級成高效、低耗、綠色的現(xiàn)代中藥揮發(fā)油提取設(shè)備。

在上面的不等式中，令ε→0得到

則由引理3有

對任意的ε＞0，不失一般性，由（H2）不妨假設(shè)，由（8）和（13）式知，存在T2＞T1，使得當k≥T2時，有

將（14）代入系統(tǒng)（3）的前兩個方程可得，當k≥T2+τ時，

其中λiε=Kil-（Mi+ε）-diu（Ni+ε），i=1，2。顯然，

當k≥T2+τ時，將（14）和（16）式代入系統(tǒng)（3）的前兩個方程得到

因為λiε＜0，所以

以上分析表明，如果（H2）成立，那么（17）滿足引理 2的條件，由引理 2可得

令ε→0，得

由引理3，有

由（19）知，對任意的ε＞0，存在T3＞T2，當k＞T3時，有

將（20）代入系統(tǒng)（3）的第3個和第4個方程可得，當k＞T3時，

應(yīng)用引理4得到i

在上面的不等式中，令ε→0得到

（8），（12），（18）和（21）表明當（H1）和（H2）成立時，系統(tǒng)（3）是持久的。證畢。

［1］李忠.具時滯離散互惠系統(tǒng)的持久性［J］.數(shù)學(xué)研究，2010，43（1）：50-54.

［2］CHEN F D.Permanence of a single species discrete model with feedback control and delay［J］.Appl Math Lett，2007，20（7）：729-733.

［3］CHEN L J，LI Z.Permanence of a delayed discrete mutualism model with feedback controls［J］.Math Comput Model，2009，50：1083-1089.

［4］YANG X T.Uniform persistence and periodic solutions for a discrete predator-prey system with delays［J］.J Math Ana Appl，2006，316（1）：161-177.

［5］CHEN F D.Permanence in a discrete Lotka-Volterra competition model with deviating arguments［J］.Nonlinear Anal Real World Appl，2008，9（5）：2150-2155.

［6］XU J B，Teng Z D.Permanence for a nonautonomous discrete single-species system with delays and feedback control［J］. Appl Math Lett，2010，23：949-954.

［7］FAN Y H，WANGLL.Permanenceforadiscretemodelwithfeedbackcontrolanddelay［J］.DiscreteDynNatSoc，2008，8pages，Article ID 945109.

［8］LI Y K，Zhu L F.Existence of a positive periodic solutions for difference equations with feedback control［J］.Appl Math Lett，2005，18：61-67.

［9］余勝斌，張杰華.具時滯和反饋控制的修正Leslie-Gower離散系統(tǒng)的持久性［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2014，16（3）：244-249.

［10］HUO H F，LI W T.Positive periodic solutions of a class of delay differential system with feedback control［J］.Appl Math Comput，2004，148（1）：35-46.

（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Permanence of a Discrete Mutualism Model with Infinite Delay and Feedback Controls

ZHANG Jie-hua，YU Sheng-bin
（Department of Basic Teaching and Research，Yango College，F(xiàn)uzhou 350015，China）

In this paper，a two species discrete mutualism model with infinite delay and feedback controls is presented. Sufficient conditions which ensure the permanence of the system are obtained by difference inequality.

discrete；permanence；infinite delay；feedback controls；mutualism systems

O175.7

A

1673-4343（2016）02-0001-05

10.14098/j.cn35-1288/z.2016.02.001

2015-10-15

福建省自然科學(xué)基金項目（2015J01012，2015J01019）

張杰華，女，山東金鄉(xiāng)人，講師。主要研究方向：微分方程。