基于Hilbert變換的單邊帶調(diào)制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

陸存波

（北京圣非凡電子系統(tǒng)技術(shù)開(kāi)發(fā)有限公司北京100141）

基于Hilbert變換的單邊帶調(diào)制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

陸存波

（北京圣非凡電子系統(tǒng)技術(shù)開(kāi)發(fā)有限公司北京100141）

為了解決基于希爾伯特變換的單邊帶調(diào)制系統(tǒng)中I/Q信號(hào)幅度不一致的問(wèn)題，本文通過(guò)理論分析和公式推導(dǎo)的方法得出影響I/Q信號(hào)正交性的主要因素是濾波器的階數(shù)，并通過(guò)試驗(yàn)分析了不同階數(shù)的濾波器是如何影響I/Q信號(hào)的正交性的，得出了濾波器階數(shù)要保證至少覆蓋3.7個(gè)信號(hào)周期才能確保I/Q信號(hào)正交的結(jié)論。同時(shí)給出了在ADSP上實(shí)現(xiàn)希爾伯特濾波器的具體流程。此外，給出了基于AD9957的數(shù)字正交上變頻的設(shè)計(jì)方法和實(shí)現(xiàn)流程。

單邊帶調(diào)制；希爾伯特變換；AD9957；ADSP

單邊帶調(diào)制是模擬調(diào)制方法里面性能相對(duì)非常優(yōu)越的一種制式，具有占用帶寬小、功耗低等優(yōu)點(diǎn)［1］。由于濾波器設(shè)計(jì)的困難，使得單邊帶調(diào)制技術(shù)沒(méi)有廣泛應(yīng)用于傳統(tǒng)的通信系統(tǒng)中。但是隨著軟件無(wú)線電技術(shù)理論發(fā)展的成熟，以及DSP、FPGA，DDS等數(shù)字信號(hào)處理器的快速發(fā)展，使得單邊帶調(diào)制技術(shù)在數(shù)字信號(hào)處理平臺(tái)上的實(shí)現(xiàn)變得簡(jiǎn)單可行［2］。

單邊帶調(diào)制方法包括濾波法與正交變換法兩類。雖然濾波法在理論上容易實(shí)現(xiàn)，但由于數(shù)字濾波器占用系統(tǒng)資源巨大，在現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)。正交變換法由于是在基帶上對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行希爾伯特變換處理，所以數(shù)據(jù)速率相對(duì)較低、運(yùn)算量較?。换鶐盘?hào)的同相和正交分量與載波的同相和正交分量對(duì)應(yīng)相乘再相加的過(guò)程運(yùn)算量很大，但是是在DDS中完成，所以不占用DSP的系統(tǒng)資源。張敬利等人提出了一種插值-濾波法的單邊帶調(diào)制方法［3］，雖然符合DSP程序設(shè)計(jì)的特點(diǎn)，但是只能得到調(diào)制在固定頻率的上下邊帶的信號(hào)。所以本文選用基于希爾伯特正交變換的方法實(shí)現(xiàn)單邊帶調(diào)制系統(tǒng)。針對(duì)目前單邊帶調(diào)制系統(tǒng)中普遍存在的I/Q信號(hào)不正交的問(wèn)題，本文詳細(xì)分析了濾波器階數(shù)如何影響I/Q信號(hào)的正交性，并對(duì)基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的希爾伯特濾波器產(chǎn)生的幅值誤差對(duì)I/ Q信號(hào)的正交性的影響進(jìn)行了分析，并通過(guò)試驗(yàn)定量分析了不同階數(shù)的濾波器對(duì)I/Q信號(hào)正交性的影響，得出了濾波器階數(shù)要保證至少覆蓋3.7個(gè)信號(hào)周期才能確保I/Q信號(hào)正交的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了希爾伯特濾波器，并在由ADSP21489和AD9957芯片為主組成的軟件無(wú)線電平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了單邊帶調(diào)制系統(tǒng)。

1　希爾伯特濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

1.1希爾伯特變換

希爾伯特變換是希爾伯特濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，它可以提供的相位變化而不影響頻譜分量的幅度。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的Hilbert變換定義為：

通過(guò)傅里葉逆變換可以得出：

所以，離散時(shí)間信號(hào)x（n）的Hilbert變換為：

信號(hào)x（n）經(jīng)希爾伯特變換后，頻譜不發(fā)生變化，相位連續(xù)，且與x（n）相互正交。

1.2希爾伯特濾波器的設(shè)計(jì)

希爾伯特濾波器在單邊帶調(diào)制系統(tǒng)中的位置如圖1所示，它保證了I/Q信號(hào)的正交性，濾波器設(shè)計(jì)的好壞直接關(guān)系到整個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的成敗。

圖1　單邊帶調(diào)制系統(tǒng)流程圖

在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會(huì)遇到I/Q信號(hào)幅度不一致的問(wèn)題，有的文獻(xiàn)［4］中采用將Q信號(hào)幅度乘以一個(gè)加權(quán)因子的方法使I/Q信號(hào)幅度近似一致，這種方法是錯(cuò)誤的。因?yàn)閷?duì)于不同幅度和頻率的信號(hào)，加權(quán)因子的值是不同的，這在實(shí)際的系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。I/Q信號(hào)的幅度不一致說(shuō)明了兩信號(hào)不正交，兩信號(hào)不正交說(shuō)明所做的希爾伯特變換是錯(cuò)誤的，這通常是由于希爾伯特濾波器的階數(shù)不夠?qū)е碌摹?/p>

理想的希爾伯特濾波器長(zhǎng)度是無(wú)窮大，但基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的FIR濾波器的長(zhǎng)度是有限的，這必然會(huì)使輸入輸出信號(hào)的正交性受到影響。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，只要保證輸入輸出信號(hào)在誤差允許范圍內(nèi)正交即可。因此，濾波器階數(shù)的選擇是關(guān)鍵，階數(shù)太長(zhǎng)，誤差變小，但運(yùn)算量變大，影響算法的實(shí)時(shí)性；階數(shù)太小，運(yùn)算量變小，但誤差變大，影響輸入輸出信號(hào)的正交性。所以要在運(yùn)算量和誤差之間折衷處理，使選擇的階數(shù)既保證實(shí)時(shí)性又保證正交性。為了保證I/Q信號(hào)的正交性，要求I信號(hào)必須有（L-1）/2的群時(shí)延，其中L為Hilbert濾波器的長(zhǎng)度。

以本系統(tǒng)的設(shè)計(jì)為例，信號(hào)的正交性用Q幅值誤差表示，Q幅值誤差越小，信號(hào)的正交性越好。設(shè)音頻信號(hào)的采樣速率為16k，那么對(duì)于300 Hz的信號(hào)，一個(gè)周期大約有53個(gè)點(diǎn)（16000÷300≈53.3）。如果希爾伯特濾波器的階數(shù)為240，那么濾波器能夠覆蓋約4.52個(gè)周期的信號(hào)（241÷53.3≈4.52），Q信號(hào)幅值保持不變，如圖2（a）所示，完全能夠滿足實(shí)際項(xiàng)目的需要；如果希爾伯特濾波器的階數(shù)為26，那么濾波器能夠覆蓋大約0.5個(gè)周期的信號(hào)（27÷53.3≈0.5），Q信號(hào)幅值明顯發(fā)生變化，如圖2（b）所示，不滿足正交性關(guān)系，虛線為I信號(hào)，實(shí)線為Q信號(hào)。虛線為I信號(hào)，實(shí)線為Q信號(hào)。圖（a）中Q信號(hào)幅值與I信號(hào)保持一致，IQ信號(hào)正交；圖（b）中Q信號(hào)幅值與I信號(hào)不一致，IQ信號(hào)不正交。

圖2　濾波器階數(shù)對(duì)Q信號(hào)幅值的影響

表1列出了濾波器階數(shù)與正交性的關(guān)系，假設(shè)音頻信號(hào)頻率為300 Hz，I信號(hào)的幅值為1.0，理想的Q幅值也為1.0，Q幅值誤差=（實(shí)測(cè)的Q幅值－理想的Q幅值）差的絕對(duì)值/理想的Q幅值。從表1可以看出，隨著濾波器階數(shù)的增加，濾波器能夠覆蓋的信號(hào)周期數(shù)越來(lái)越多，Q幅值誤差越來(lái)越小，所以I/Q信號(hào)的正交特性越來(lái)越好，本系統(tǒng)中濾波器的階數(shù)為240，已經(jīng)完全能夠滿足正交性的指標(biāo)要求。

表1　濾波器階數(shù)與Q幅值的關(guān)系

在希爾伯特濾波器的設(shè)計(jì)中，只要濾波器能夠?qū)ψ钚☆l率的信號(hào)實(shí)現(xiàn)正交變換，就能保證對(duì)所有頻率的信號(hào)實(shí)現(xiàn)正交變換，換言之，只要濾波器能夠保證對(duì)最大波長(zhǎng)的信號(hào)實(shí)現(xiàn)正交變換，就能保證對(duì)所有波長(zhǎng)的信號(hào)實(shí)現(xiàn)正交變換，當(dāng)然，前提是信號(hào)沒(méi)有失真。假設(shè)濾波器階數(shù)為270，采樣頻率為16 kHz，當(dāng)信號(hào)頻率從300 Hz提高到900 Hz時(shí)，濾波器能夠覆蓋的周期數(shù)從大約5.1增加到15.2，輸入輸出信號(hào)的正交性變得更好，所以只要對(duì)300 Hz的信號(hào)正交就能保證對(duì)所有大于300 Hz的信號(hào)正交。所以，在濾波器階數(shù)和采樣頻率一定的情況下，信號(hào)頻率越小，濾波器覆蓋信號(hào)的周期數(shù)越小，正交性越差；信號(hào)頻率越大，濾波器覆蓋信號(hào)的周期數(shù)越大，正交性越好。而在濾波器階數(shù)和信號(hào)頻率一定的情況下，采樣頻率越小，濾波器覆蓋信號(hào)的周期數(shù)越大，正交性越好；采樣頻率越大，覆蓋信號(hào)的周期數(shù)越小，正交性越差。在希爾伯特濾波器階數(shù)一定的情況下，濾波器覆蓋信號(hào)周期數(shù)與信號(hào)頻率和采樣頻率的關(guān)系如圖3所示。

1.3Hilbert濾波器的DSP實(shí)現(xiàn)

本系統(tǒng)采用ADI公司的ADSP21489實(shí)現(xiàn)了希爾伯特濾波器，實(shí)現(xiàn)流程如圖4所示。首先開(kāi)辟運(yùn)算緩沖區(qū)buffer，設(shè)置buffer的初值為0，長(zhǎng)度為Hilbert濾波器長(zhǎng)度L與DMA數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度N之和L+N；然后將DMA方式輸入的N個(gè)數(shù)據(jù)放入緩沖區(qū)buffer的末尾；接著將Hilbert濾波器從緩沖區(qū)的首部滑動(dòng)到尾部，每滑動(dòng)一個(gè)數(shù)據(jù)，濾波器系數(shù)都與buffer中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)做乘累加運(yùn)算得到一個(gè)輸出數(shù)據(jù)，最終得到N個(gè)輸出數(shù)據(jù)，N個(gè)輸出數(shù)據(jù)組成一個(gè)數(shù)據(jù)塊通過(guò)DMA方式輸出；最后將buffer中的所有數(shù)據(jù)左移N個(gè)位置，從而buffer中的前N個(gè)數(shù)據(jù)被移出，尾部為下一次DMA輸入留出N個(gè)數(shù)據(jù)位置。由4節(jié)可知送入DDS的I/Q數(shù)據(jù)采樣速率為fIQ，所以N個(gè)數(shù)據(jù)送入DDS中的時(shí)間為N/fIQ，所以希爾伯特變換的時(shí)間必須小于N/fIQ，本系統(tǒng)采用乒乓方式將I/Q數(shù)據(jù)連續(xù)送入DDS。希爾伯特濾波器的系數(shù)是用MATLAB的fdatool工具箱生成的。

圖3　希爾伯特濾波器覆蓋信號(hào)周期數(shù)與信號(hào)頻率和采樣頻率的關(guān)系

圖4　在DSP上實(shí)現(xiàn)Hilbert濾波的流程圖

2　希爾伯特濾波器階數(shù)對(duì)I/Q信號(hào)正交性的影響

理想的希爾伯特濾波器是非因果，濾波器階數(shù)無(wú)窮大［5］，而實(shí)際的基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的FIR濾波器的階數(shù)是有限的，這必然會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差（Q幅值誤差）的存在，這對(duì)基于正交變換的數(shù)字上變頻系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生什么影響呢？以下進(jìn)行分析和推導(dǎo)。本文以上邊帶調(diào)制為例，設(shè)載波頻率為ω，調(diào)制信號(hào)頻率為Ω，I信號(hào)為cos（Ω），理想的Q信號(hào)為sin（Ω），實(shí)測(cè)的Q信號(hào)為sin（Ω），則理想的基于正交變換的上邊帶信號(hào)cos（ω+Ω）產(chǎn)生方法為：基帶和載波的同相分量和正交分量分別相乘之后再相加：

基于以上分析，在上邊帶調(diào)制中，希爾伯特變換幅度誤差會(huì)在下邊帶位置產(chǎn)生誤差頻率ej（ω-Ω）和e-j（ω-Ω），其中e-j（ω-Ω）為負(fù)頻率，同時(shí)原始頻率的幅度變?yōu)樵瓉?lái)的0.5（1+α）倍。如圖5所示，（a）為I/Q信號(hào)幅值相等時(shí)的上邊帶信號(hào)，（b）為Q信號(hào)幅值變?yōu)樵瓉?lái)的0.7倍時(shí)的情況，在下邊帶位置產(chǎn)生一個(gè)誤差信號(hào)，誤差信號(hào)幅度為理想信號(hào)幅度的15%，由表1可知，I/Q信號(hào)不滿足正交性。由表1，當(dāng)濾波器階數(shù)為200時(shí)，Q信號(hào)幅值變?yōu)槔硐胄盘?hào)的99.87%，誤差信號(hào)幅度變?yōu)槔硐胄盘?hào)的0.13%，基本可以忽略不計(jì)。

綜上所述，有限長(zhǎng)的濾波器導(dǎo)致了Q幅值誤差的存在，由于誤差的存在產(chǎn)生了新的頻率，從而影響了I/Q信號(hào)的正交性。

圖5　Q幅值誤差對(duì)頻率的影響

3　插值濾波器

由于基帶信號(hào)的速率低于DDS要求的輸入信號(hào)的速率，所以需要對(duì)基帶信號(hào)進(jìn)行插值使得插值后的數(shù)據(jù)速率與DDS要求的輸入數(shù)據(jù)的速率完全一致。以本系統(tǒng)的設(shè)計(jì)為例，DDS要求的輸入數(shù)據(jù)速率為768 kHz，基帶信號(hào)的采樣頻率為16 kHz，因此插值的倍數(shù)為48倍（768 kHz/16 k）。48倍插值濾波器的階數(shù)為384，采用MATLAB的interp函數(shù)生成。在DSP平臺(tái)上設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了48倍插值濾波器，插值濾波器的實(shí)現(xiàn)方法與1.3中希爾伯特濾波器的實(shí)現(xiàn)方法相同。這里的插值濾波器指的是圖1中的“插值濾波器”，而非DDS中的“插值”濾波器。

4　基于AD9957　的數(shù)字正交上變頻

AD9957［6］是一款數(shù)字正交上變頻器，用于產(chǎn)生載波信號(hào)，載波以正交形式施加到I和Q乘法器并相加，從而產(chǎn)生代表正交調(diào)制載波的數(shù)據(jù)流。載波信號(hào)的頻率是由直接數(shù)字頻率合成器（DDS）來(lái)控制的，DDS可以利用內(nèi)部參考時(shí)鐘（SYSCLK）非常精準(zhǔn)地產(chǎn)生所需的載波頻率。載波的采樣速率等于內(nèi)部系統(tǒng)時(shí)鐘頻率fSYSCLK。數(shù)字正交上變頻系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是數(shù)據(jù)速率的匹配，即數(shù)據(jù)的采樣速率與載波信號(hào)的采樣速率一致。對(duì)于Blackfin接口（BFI）模式，fPDCLK為I和Q數(shù)據(jù)流的位速率，且fPDCLK=fSYSCLK/R，其中R為DDS中可編程插值濾波器的插值因子，可以實(shí)現(xiàn)2倍至63倍范圍內(nèi)的插值。由于每個(gè)I和Q字均具有16位分辨率，所以送入DDS的I/ Q數(shù)據(jù)采樣速率fIQ=fPDCLK//16。設(shè)AD的采樣速率為fAD，圖1中“插值濾波器”的插值倍數(shù)為R′，則fIQ=fAD×R′。所以，基帶數(shù)據(jù)與載波信號(hào)的速率匹配公式為：

本系統(tǒng)中fAD=16 ksps，R′=48，R=32，fSYSCLK=393.216 Msps。通過(guò)以上分析和計(jì)算，就能保證基帶數(shù)據(jù)的采樣速率與載波的相同，只要IQ信號(hào)以該速率送給DDS就能正確實(shí)現(xiàn)數(shù)字上變頻。

5　結(jié)束語(yǔ)

文中介紹了基于希爾伯特變換的單邊帶調(diào)制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)方法。詳細(xì)分析了希爾伯特濾波器的設(shè)計(jì)方法，介紹了在DSP平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)希爾伯特變換的具體流程；分析解決了上變頻過(guò)程中數(shù)據(jù)采樣速率的匹配問(wèn)題，將基帶的正交I/Q數(shù)據(jù)流按照預(yù)先計(jì)算好的速率送入DDS就可以完成數(shù)字上變頻。本方法具有較好的工程參考價(jià)值。

［1］樊昌信．通信原理［M］．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006．

［2］楊小牛，樓才義．軟件無(wú)線電技術(shù)與應(yīng)用［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2010．

［3］張敬利，丁國(guó)棟，易克初．基于DSP的信號(hào)單邊帶調(diào)制的實(shí)現(xiàn)［J］．通信技術(shù)，2003（3）:30-31．

［4］蔣春峰．基于Hilbert變換的單邊帶調(diào)制的實(shí)現(xiàn)［D］．武漢：華中科技大學(xué)碩士

［5］趙樹杰，史林．?dāng)?shù)字信號(hào)處理［M］．西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1997．

［6］ANALOG DEVICE．AD9957［R］．Norwood:DataSheet．Analog Device Inc，2000:1-60．

Based on Hilbert transformation single sideband modulation system design and realization

LU Cun-bo
（Beijing Shengfeifan Limited Company of Eletronic System and Technological Development，Beijing 100141，China）

In order to resolve the non-quadrature of the I/Q signals in the single side band（SSB）modulation system which is based on the hilbert transform，based on the method of theoretical analysis and formula derivation the paper present that the main factor affecting the orthogonality of I/Q signal is the order of the filter，and analysis how the filter of different order affects the orthogonality of I/Q signal by means of experiments，It comes to conclusion that the filter order must be guaranteed at least 3.7 signal cycles to ensure that the I/Q signal is orthogonal.Meanwhile provides the flow of hilbert filter which is implemented on the ADSP.In addition，the paper presents the design method and realization process of the digital orthogonal upper frequency conversion based on AD9957.

SSB；Hilbert transform；AD9957；ADSP

TN99

A

1674－6236（2016）12-0138-03

2015-07-03稿件編號(hào)：201507031

陸存波（1982—），男，吉林長(zhǎng)嶺人，碩士，工程師。研究方向：數(shù)字信號(hào)處理、DSP設(shè)計(jì)。