基于后向差分Delta算子的卡爾曼濾波算法及其仿真

宋召青，王 康

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基于后向差分Delta算子的卡爾曼濾波算法及其仿真

宋召青1，王 康2

(1. 海軍航空工程學(xué)院七系 山東煙臺 264001；2. 海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊 山東煙臺 264001)

在高速采樣時，Delta算子離散化模型的參數(shù)趨于原來的連續(xù)時間模型，且Delta算子實(shí)現(xiàn)時系統(tǒng)具有較好的數(shù)字特性，使其能夠改善基于傳統(tǒng)移位算子的離散卡爾曼濾波中存在的濾波發(fā)散問題。該文采用正交投影法，推導(dǎo)了基于Delta算子的隨機(jī)線性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程，最終給出了基于后向差分Delta算子的卡爾曼濾波遞推算法，并進(jìn)行了仿真研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和性能分析表明，在高頻采樣情形下基于后向差分Delta算子的遞推卡爾曼濾波的收斂性能優(yōu)于常規(guī)卡爾曼濾波。

后向差分; Delta算子; 卡爾曼濾波; 正交投影

隨著計算機(jī)和自動化技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)今的自動控制系統(tǒng)的設(shè)計思路都來源于數(shù)字計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，為了呈現(xiàn)出系統(tǒng)特性，必須對系統(tǒng)的離散時間進(jìn)行描述。因此，人類對高速采樣情形下信號傳輸和處理問題的需求日益增加[1-2]。然而，當(dāng)采用傳統(tǒng)的移位算子處理高速采樣系統(tǒng)時，計算機(jī)有限字長將會引起采樣系統(tǒng)量化誤差以及極限環(huán)振蕩等數(shù)值不穩(wěn)定問題[3]，且易于引入非最小相位零點(diǎn)，導(dǎo)致離散化系統(tǒng)穩(wěn)定性能降低。為此結(jié)合隨機(jī)線性系統(tǒng)Kalman濾波基本方程[4-5]，文獻(xiàn)[6]采用Delta算子方法對隨機(jī)線性連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化，有效解決了上述問題。

Delta算子是一種新的離散化方法，現(xiàn)已成為連續(xù)時間模型和離散時間模型的統(tǒng)一描述方法，用它來描述離散系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)[7]：1) 在高頻采樣情況下，能使離散化模型趨近于連續(xù)模型。2) Delta算子實(shí)現(xiàn)時具有較好的數(shù)字特性，包括有限字長特性和系數(shù)靈敏度等。3) Delta算子模型中易于觀察分析不同采樣周期下系統(tǒng)性能。另外，基于傳統(tǒng)移位算子的離散卡爾曼濾波模型存在對模型噪聲和量測噪聲的統(tǒng)計特性認(rèn)識不足導(dǎo)致的方差取值不合適以及計算機(jī)有限字長導(dǎo)致的舍入誤差累計等問題，最終出現(xiàn)濾波發(fā)散現(xiàn)象[8]。因此將Delta算子引入卡爾曼濾波中進(jìn)行研究[9-10]，推導(dǎo)新的濾波算法，有效改善系統(tǒng)在高速采樣情況下的濾波發(fā)散問題。

文獻(xiàn)[11]給出了Delta算子的前向差分和后向差分的定義，本文分別分析了基于前向差分和后向差分Delta算子的遞推卡爾曼濾波方法的合理性，最終推導(dǎo)了基于后向差分Delta算子的遞推卡爾曼濾波。

1 Delta算子及正交投影法

1.1 Delta算子定義

Delta算子的前向差分定義為：

Delta算子的后向差分定義為：

1.2 正交投影法

向量正交投影具有下列結(jié)論[4]：

2 隨機(jī)線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化

考慮如下形式的連續(xù)模型[12]：

2.1 Z域離散化

2.2 基于后向差分Delta域的離散化

式中，

2.3 基于前向差分Delta域的離散化

可見，兩者的區(qū)別在于系統(tǒng)的狀態(tài)方程不同，而觀測方程保持一致。

3 基于后向差分Delta算子的遞推卡爾曼濾波

3.1 基于前向差分和后向差分Delta算子的卡爾曼濾波合理性分析

由基于前向差分Delta域的離散化系統(tǒng)狀態(tài)方程式(11)和量測方程式(12)，對于給定的觀測空間，根據(jù)正交投影的定義可得：

所以由正交投影的結(jié)論2)和結(jié)論3)得：

同時根據(jù)Delta算子前向差分定義有：

比較式(14)和式(15)可得：

式(16)表示在時域中，基于前向差分Delta算子的狀態(tài)濾波值和狀態(tài)預(yù)測估計值無法分辨，所以采用后向差分的Delta算子的狀態(tài)差分方程式(8)和量測方程式(9)推導(dǎo)基于Delta算子的卡爾曼濾波遞推算法。

3.2 基于后向差分Delta算子的卡爾曼濾波遞推算法推導(dǎo)

1) 基于Delta算子的濾波方程。

2) 新息及新息方差陣。

由以上新息的概念可知：

故可以得到新息方差陣為：

3) 基于Delta算子的一步最優(yōu)預(yù)測。

4) 基于Delta算子的預(yù)測誤差方差陣。

Delta狀態(tài)預(yù)測誤差為：

故其方差陣可表示為：

5) 濾波方程的預(yù)測。

由Delta算子的定義以及正交投影的定義和結(jié)論，對Delta狀態(tài)濾波方程進(jìn)行預(yù)測，有：

式中，

6) 狀態(tài)預(yù)測誤差方差陣。

由式(19)，易知：

將式(29)帶入式(28)，整理得到：

將式(21)和式(31)帶入式(27)中，有：

易知濾波誤差為：

故得濾波誤差方差陣為：

要化簡式(30)，需要對上式各項進(jìn)行計算，并注意到：

化簡可得：

結(jié)合式(24)、式(30)和式(32)，可得：

帶入式(37)中，最終得到：

至此得到了基于后向差分Delta算子的卡爾曼濾波遞推算法。

4 仿真分析

在目標(biāo)跟蹤過程中，由于目標(biāo)的位置、速度、加速度的測量值在任何時候都會產(chǎn)生噪聲，卡爾曼濾波能夠利用目標(biāo)的動態(tài)信息降低噪聲的影響，獲得關(guān)于目標(biāo)位置好的估計，因此卡爾曼濾波在目標(biāo)跟蹤有著廣泛的應(yīng)用。

4.1 目標(biāo)跟蹤數(shù)學(xué)模型

4.2 濾波仿真分析

圖2 濾波后位置誤差圖()

圖1直觀地反映了通過常規(guī)卡爾曼濾波后的軌跡與基于后向差分Delta算子的遞推卡爾曼濾波后的軌跡與真實(shí)軌跡的對比，可以看出兩者濾波效果差異不明顯。而圖2不僅反映了兩種濾波方法的收斂速度相當(dāng)，另一方面從位置誤差的波動幅度反映出兩者濾波性能亦相當(dāng)。

圖3 濾波后位置誤差圖()

圖4 濾波后位置誤差圖()

5 結(jié) 束 語

本文基于Delta算子在高頻采樣情形下使離散化系統(tǒng)模型趨近于連續(xù)系統(tǒng)模型的特性，結(jié)合正交投影法推導(dǎo)了基于Delta算子的遞推卡爾曼濾波算法，包含Delta狀態(tài)濾波方程、新息方差陣、Delta狀態(tài)最優(yōu)預(yù)測、Delta狀態(tài)預(yù)測方差陣的計算、狀態(tài)濾波方程的預(yù)測、狀態(tài)預(yù)測誤差方差陣的計算和狀態(tài)濾波誤差方差陣，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。由仿真結(jié)果可以得到，隨著采樣周期減小，常規(guī)卡爾曼濾波算法收斂性能變慢，推導(dǎo)的基于后向差分Delta算子的遞推卡爾曼濾波算法濾波性能良好，在高速采樣情形下，其在速度收斂性以及誤差波動幅度方面均優(yōu)于常規(guī)卡爾曼濾波算法。

參 考 文 獻(xiàn)

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編 輯 漆 蓉

Kalman Filter Algorithm Based on Backward Differentiation Formula of Delta Operator with Simulation

SONG Zhao-Qing1and WANG Kang2

(1. The Seventh Department, Naval Aeronautical and Astronautical University Yantai Shandong 264001; 2. Graduate Students' Brigade, Naval Aeronautical and Astronautical University Yantai Shandong 264001)

In the high-speed sampling, the parameters of the discrete model based on delta operator tend to the original continuous-time model, and the system has a better digital characteristic when delta operator achieves, which can improve the problem of filtering divergence of discrete Kalman filters based on traditional shift operator. This article uses orthogonal projection approach to derive the Kalman filter equation of stochastic linear discrete systems based on delta operator. The recursive Kalman filter algorithm based on delta operator is given. The simulation results show that in the high-speed sampling, the convergence performance of the derived Kalman filter based on backward differentiation formula of delta operator is better than the traditional Kalman filters.

backward differentiation; Delta operator; Kalman filter; orthogonal projection approach

O23

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.05.010

2015-04-16；

2015-09-30

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項目(61433011)；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎勵基金(BS2012DX007)；上海市博士后科研計劃(12R21414300)

宋召青(1969-)，男，博士，教授，主要從事控制理論及應(yīng)用方面的研究.