認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中干擾對(duì)齊的自由度分析

孫獻(xiàn)，趙曉暉

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認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中干擾對(duì)齊的自由度分析

孫獻(xiàn)，趙曉暉

（吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012）

在信號(hào)空間維度有限的情況下，大部分認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)（主用戶個(gè)數(shù)大于1）中干擾對(duì)齊的可行性條件是不明確的。針對(duì)這一問(wèn)題，把有多個(gè)主用戶和多個(gè)次用戶的認(rèn)知系統(tǒng)中的干擾對(duì)齊問(wèn)題分成主用戶干擾對(duì)齊問(wèn)題和次用戶干擾對(duì)齊問(wèn)題的2個(gè)子問(wèn)題，給出了一種實(shí)現(xiàn)次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的必要性條件（主用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的必要性條件在之前的研究中已存在）。根據(jù)必要性條件，給出了次用戶網(wǎng)絡(luò)的平均自由度上界，提出了一種改進(jìn)的最小干擾泄露算法，并以此驗(yàn)證了必要性條件結(jié)果。

認(rèn)知系統(tǒng)；干擾對(duì)齊；可行性條件；自由度

1 引言

隨著無(wú)線通信技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)的單用戶、少用戶系統(tǒng)逐漸被多用戶系統(tǒng)取代，系統(tǒng)中每對(duì)用戶的發(fā)射機(jī)和接收機(jī)所配置的天線也由一根變?yōu)槎喔IMO、無(wú)線局域網(wǎng)等技術(shù)會(huì)造成用戶密集區(qū)域存在多個(gè)用戶工作在相同頻段的現(xiàn)象，而這會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾問(wèn)題。傳統(tǒng)的抗干擾處理技術(shù)（解碼干擾信號(hào)，把干擾當(dāng)作噪聲，利用正交性等）很難推廣到多用戶多天線場(chǎng)景，或者在多用戶多天線場(chǎng)景下無(wú)法達(dá)到系統(tǒng)傳輸容量的優(yōu)化要求。

干擾對(duì)齊技術(shù)[1]是針對(duì)多用戶多天線場(chǎng)景而提出來(lái)的一種新干擾處理技術(shù)。它以自由度為優(yōu)化目標(biāo)（無(wú)線系統(tǒng)的容量域是一個(gè)公認(rèn)難題，而自由度可以被認(rèn)為是系統(tǒng)容量的一階對(duì)數(shù)近似），通過(guò)最大化系統(tǒng)的總自由度來(lái)間接提高系統(tǒng)容量，進(jìn)而擴(kuò)大系統(tǒng)的吞吐量。這種技術(shù)自提出伊始，就吸引了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者們的關(guān)注和研究。

干擾對(duì)齊技術(shù)通過(guò)壓縮干擾信號(hào)子空間的維度，使系統(tǒng)獲得復(fù)用增益，因此能夠成倍地增加系統(tǒng)容量。在文獻(xiàn)[2]中，Cadamb等研究了多用戶MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊問(wèn)題，指出通過(guò)信道擴(kuò)展，每個(gè)用戶都能夠得到其信道空間總維度一半的自由度，這一結(jié)論說(shuō)明系統(tǒng)的總自由度隨著用戶數(shù)的增加呈線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，而之前的正交化策略只能夠使每個(gè)用戶獲得個(gè)自由度（為系統(tǒng)的用戶數(shù)）。類似的結(jié)論在X網(wǎng)絡(luò)、蜂窩網(wǎng)絡(luò)、MIMO中繼網(wǎng)絡(luò)等系統(tǒng)中已經(jīng)得到了驗(yàn)證。

然而，干擾對(duì)齊技術(shù)獲得高自由度只能是在無(wú)限獨(dú)立擴(kuò)展信道的基礎(chǔ)上。如文獻(xiàn)[2, 3]中每個(gè)用戶獲得信號(hào)空間一半維度的自由度，需要信號(hào)空間的維度達(dá)到，其中，為收發(fā)機(jī)所配置的天線數(shù)。而無(wú)限的時(shí)域或者頻域擴(kuò)展是不現(xiàn)實(shí)的。因此，研究在信號(hào)空間維度有限情況下的干擾對(duì)齊性質(zhì)十分必要。事實(shí)上，在信號(hào)空間維度有限的情況下，干擾對(duì)齊問(wèn)題通常不一定是可行的。因此，研究在什么樣的系統(tǒng)配置下，干擾對(duì)齊技術(shù)是可行的，即干擾對(duì)齊的可行性問(wèn)題是非常有意義的研究問(wèn)題。

到目前為止，關(guān)于該問(wèn)題的研究方法主要有2種方式。一是基于代數(shù)幾何的思想，把干擾對(duì)齊的可行性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元高次方程的求解問(wèn)題，進(jìn)而根據(jù)代數(shù)幾何的相關(guān)理論得出干擾對(duì)齊可行的相關(guān)條件。文獻(xiàn)[4]研究了兩用戶MIMO干擾信道的干擾對(duì)齊問(wèn)題，給出了這一案例下干擾對(duì)齊可行的必要條件。文獻(xiàn)[5~7]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，基于代數(shù)幾何中的貝竹定理、伯恩斯坦定理等理論，把干擾對(duì)齊的可行性問(wèn)題有條件地轉(zhuǎn)化為適合性問(wèn)題，并給出了干擾對(duì)齊適合的必要性條件。然而由于“可行”和“適合”這2個(gè)概念之間存在差異，因而該條件僅僅適用于單波束干擾對(duì)齊問(wèn)題；文獻(xiàn)[8, 9]在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化了可行性的必要條件，并提出了一個(gè)干擾對(duì)齊可行的充分條件，然而該充分條件僅僅適用于整除案例。文獻(xiàn)[10]則是在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，降低了文獻(xiàn)[6]中算法的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[11]結(jié)合代數(shù)幾何和遞推方法提出了一種處理混合約束問(wèn)題（約束條件中既有等式約束也有不等式約束）的方法，但是該方法也僅適用于單波束情況。第2種方式是從映射的角度來(lái)研究干擾對(duì)齊的可行性問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]研究了MIMO網(wǎng)絡(luò)中干擾對(duì)齊可行性問(wèn)題的全對(duì)稱情況，提出了干擾對(duì)齊問(wèn)題可行的充分條件，并進(jìn)一步指出，干擾對(duì)齊技術(shù)的可達(dá)自由度上限為2，這一結(jié)論有別于之前干擾對(duì)齊技術(shù)可達(dá)自由度的研究結(jié)論[1]。文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了全對(duì)稱案例，并針對(duì)三用戶MIMO干擾信道給出了詳細(xì)結(jié)論。然而，由于該文獻(xiàn)中僅考慮了干擾對(duì)齊可行性2個(gè)約束條件中的一個(gè)，因而結(jié)論存在一定片面性。文獻(xiàn)[14]則綜合了代數(shù)幾何和映射兩方面優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)代數(shù)獨(dú)立、線性獨(dú)立及方程組解的存在性這3個(gè)概念之間的相互轉(zhuǎn)化，得出了MIMO干擾信道干擾對(duì)齊可行性問(wèn)題的充要條件。

相對(duì)于MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊，國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的干擾對(duì)齊問(wèn)題的研究較少。文獻(xiàn)[15]研究了一個(gè)主用戶的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的干擾對(duì)齊問(wèn)題，將這種配置的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的MIMO干擾系統(tǒng)，之后給出了一些結(jié)論（可行性條件、干擾對(duì)齊策略以及3個(gè)次用戶對(duì)稱次級(jí)網(wǎng)絡(luò)的一種閉式解）。文獻(xiàn)[16]則研究了一個(gè)主用戶與次用戶協(xié)作通信的干擾對(duì)齊策略。本文在前面研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究具有多個(gè)主用戶和多個(gè)次用戶認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)的干擾對(duì)齊條件。

本文的主要研究成果有以下2點(diǎn)：一是把認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的干擾對(duì)齊問(wèn)題分為2個(gè)子問(wèn)題，主用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊問(wèn)題和在主用戶網(wǎng)絡(luò)能夠進(jìn)行干擾對(duì)齊的基礎(chǔ)上的次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題，這種問(wèn)題分離方式與認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的思想相符；二是在主用戶網(wǎng)絡(luò)可以進(jìn)行干擾對(duì)齊的基礎(chǔ)上，給出了次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的必要性條件，由該條件可以得出次用戶網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)自由度上界。

2 系統(tǒng)模型

在本文中，考慮如圖1所示的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)。該認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)由個(gè)主用戶所構(gòu)成的主用戶網(wǎng)絡(luò)和個(gè)次用戶所構(gòu)成的次用戶網(wǎng)絡(luò)（認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)）組成，并且所有的主用戶和次用戶都工作在相同的頻段上（系統(tǒng)的頻譜共享方式為underlay）。不失一般性，主用戶編號(hào)，次用戶編號(hào)，。每個(gè)用戶的發(fā)射機(jī)和接收機(jī)分別配置M和N根天線，并且需要傳遞d個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)流。

把式(2)代入式(1)中，得到

(3)

式(3)所包含的所有等式整體向量化之后，可以表示為

(4)

其中，表示所有用戶收發(fā)機(jī)之間的信道增益矩陣，表示以所有用戶的干擾消除矩陣為對(duì)角子塊所構(gòu)成的總的干擾消除矩陣，表示以所有用戶的預(yù)編碼矩陣為對(duì)角子塊所構(gòu)成的總的預(yù)編碼矩陣，分別表示總的傳輸信號(hào)向量和總的估計(jì)信號(hào)向量，。根據(jù)主次網(wǎng)絡(luò)之分，矩陣的各個(gè)子塊也有各自的意義：、、和分別表示主用戶發(fā)射機(jī)和主用戶接收機(jī)之間的信道增益矩陣、主用戶發(fā)射機(jī)和次用戶接收機(jī)之間的信道增益矩陣、次用戶發(fā)射機(jī)和主用戶接收機(jī)之間的信道增益矩陣、次用戶發(fā)射機(jī)機(jī)和次用戶接收機(jī)機(jī)之間的信道增益矩陣；和分別表示所有主用戶的接收機(jī)干擾消除矩陣、所有次用戶的接收機(jī)干擾消除矩陣；和分別表示所有主用戶的發(fā)射機(jī)預(yù)編碼矩陣、所有次用戶的發(fā)射機(jī)預(yù)編碼矩陣。

根據(jù)已有的干擾對(duì)齊研究結(jié)果，預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣需要滿足如下2個(gè)等式

，(6)

式(5)表示預(yù)編碼過(guò)程和干擾消除過(guò)程需要滿足每個(gè)接收機(jī)都能夠無(wú)損失接收到所有來(lái)自對(duì)應(yīng)發(fā)射機(jī)發(fā)射的數(shù)據(jù)流；式(6)表示每個(gè)接收機(jī)都能通過(guò)干擾消除過(guò)程把來(lái)自非對(duì)應(yīng)發(fā)射機(jī)的干擾信號(hào)消除。為方便起見(jiàn)，式(5)和式(6)分別稱為直接鏈路信道約束和交叉鏈路信道約束。

式(5)和式(6)矩陣化之后，可轉(zhuǎn)化為

(7)

式(7)等價(jià)于如下的4個(gè)等式

(9)

(10)

3 模型假設(shè)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化

由于本文不考慮信道擴(kuò)展的情況，因此可假設(shè)信道為恒參信道，并且假設(shè)信道增益矩陣中的每一個(gè)元素都服從同一個(gè)連續(xù)分布，并且相互獨(dú)立。噪聲向量為零均值高斯白噪聲，并且協(xié)方差矩陣為，即，為研究方便，不妨假設(shè)所有用戶的噪聲功率都是相同的。

在實(shí)際的無(wú)線通信系統(tǒng)中，信道狀態(tài)信息需要通過(guò)相應(yīng)的技術(shù)來(lái)估計(jì)。對(duì)于恒參信道，主用戶之間可以通過(guò)發(fā)送導(dǎo)頻序列，較為容易地獲取主用戶網(wǎng)絡(luò)的信道狀態(tài)信息（LCSI），同樣的方法可以被次用戶用來(lái)獲取次用戶網(wǎng)絡(luò)的信道狀態(tài)信息；而次用戶獲取主用戶網(wǎng)絡(luò)的信道狀態(tài)信息則可以通過(guò)以下2種方式：一是次用戶和主用戶之間采取一定的協(xié)作方式，如次用戶在主用戶附近布置反饋傳感器來(lái)獲取主用戶網(wǎng)絡(luò)的信道狀態(tài)信息；二是次用戶通過(guò)“竊聽(tīng)”的方式來(lái)獲取主用戶的信道狀態(tài)信息，進(jìn)而得到整個(gè)系統(tǒng)的全部信道狀態(tài)信息（GCSI）。

由于主用戶網(wǎng)絡(luò)是授權(quán)網(wǎng)絡(luò)，其通信需求需要優(yōu)先于次用戶網(wǎng)絡(luò)獲得滿足，而次用戶網(wǎng)絡(luò)能不能接入主用戶頻帶進(jìn)行通信則是次一級(jí)考慮的問(wèn)題。基于此，把認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的干擾對(duì)齊分析過(guò)程分為2步：第一，考慮主用戶網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊問(wèn)題；第二，在主用戶網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到干擾對(duì)齊的基礎(chǔ)上，研究次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題。

3.1 主用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊

首先，考慮主用戶網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊。由于主用戶不知道次用戶信道狀態(tài)信息，甚至不知道次用戶是否存在，因此主用戶只考慮在主用戶網(wǎng)絡(luò)中滿足干擾對(duì)齊的情況下進(jìn)行通信，即主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣僅需要滿足約束式(8)。易得，主用戶網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊就等價(jià)于用戶MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊。

基于文獻(xiàn)[14]的結(jié)論，因?yàn)樾诺涝鲆婢仃囍械脑刂g是相互獨(dú)立的，這使?jié)M足交叉鏈路約束的滿秩預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣以無(wú)限接近于1的概率滿足直接鏈路信道約束。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明主用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊約束可以做如下轉(zhuǎn)化。

構(gòu)造矩陣

(12)

因此，主用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊的可行性問(wèn)題等價(jià)于如下問(wèn)題。

如果主用戶網(wǎng)絡(luò)不能達(dá)到干擾對(duì)齊，即不存在滿足式(12)和式(13)的解，此時(shí)討論次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊的可行性及策略是沒(méi)有意義的。只有在主用戶網(wǎng)絡(luò)是干擾對(duì)齊可行的基礎(chǔ)上，通過(guò)一定的策略設(shè)計(jì)好主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣之后，才能探討次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的可行性。

3.2 次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊

假設(shè)主用戶網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到干擾對(duì)齊，在這種情況下，考慮次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題。次用戶作為機(jī)會(huì)用戶，是在主用戶網(wǎng)絡(luò)存在的情況下接入主用戶網(wǎng)絡(luò)的頻帶進(jìn)行通信的；同時(shí)，根據(jù)假設(shè)，次用戶知道所有的信道狀態(tài)信息，由此，次用戶可以通過(guò)相應(yīng)的一些算法來(lái)估算出主用戶的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣，例如在一般的時(shí)分雙工信道中，次用戶的發(fā)射機(jī)可以通過(guò)主用戶接收機(jī)發(fā)射的反饋信息以及已知的信道狀態(tài)信息來(lái)估算出主用戶的干擾消除矩陣，次用戶的接收機(jī)同樣可以估算出主用戶的預(yù)編碼矩陣。因此，本文假設(shè)，次用戶知道主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣。

因此，設(shè)計(jì)次用戶的干擾對(duì)齊策略時(shí)不僅要考慮次用戶網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的干擾對(duì)齊問(wèn)題（約束式(11)），還要考慮主用戶和次用戶交叉信道的干擾以適應(yīng)主用戶的預(yù)編碼和干擾消除策略（約束式(9)和式(10)）。前者等價(jià)于用戶MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題，后者則是2個(gè)線性約束。因此，次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊約束等價(jià)于一個(gè)用戶的MIMO干擾信道對(duì)齊約束和2個(gè)線性約束的疊加。

類似于主用戶網(wǎng)絡(luò)，次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊約束式(11)以概率1等價(jià)于

(15)

因此，次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊的可行性問(wèn)題等價(jià)于如下問(wèn)題。

4 可行性條件

4.1 主用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的可行性條件

由于主用戶網(wǎng)絡(luò)中的干擾對(duì)齊等價(jià)于用戶MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題，因此前者的干擾對(duì)齊條件也等價(jià)于用后者的干擾對(duì)齊條件。

結(jié)論1 主用戶網(wǎng)絡(luò)如果是干擾對(duì)齊可行的，則其系統(tǒng)配置需要滿足如下條件

(17)

(18)

結(jié)論1是文獻(xiàn)[14]關(guān)于不考慮信道拓展情況下的用戶MIMO干擾信道中干擾對(duì)齊的可行性條件，在這里把它列出來(lái)是為了本文結(jié)論的連貫性，其證明可參考文獻(xiàn)[14]中定理1的證明。

值得一提的是，結(jié)論1給出的是干擾對(duì)齊的必要性條件，即主用戶網(wǎng)絡(luò)能夠達(dá)到干擾對(duì)齊時(shí)系統(tǒng)所必須要滿足的條件。但是滿足結(jié)論1中的幾個(gè)等式的系統(tǒng)卻不一定是干擾對(duì)齊可行的。

4.2 次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的可行性條件

現(xiàn)假設(shè)問(wèn)題1是有解的，即主用戶網(wǎng)絡(luò)存在預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣使主用戶的接收機(jī)能夠?qū)R干擾，并且預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣都已設(shè)計(jì)完畢（主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣的設(shè)計(jì)方案在4.3節(jié)中闡述），可認(rèn)為是已知的。

下面給出次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行的必要性條件。

定理1 在主用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行的前提下，如果次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊是可行的，則系統(tǒng)配置必滿足條件

(19)

(20)

(21)

定理1的證明見(jiàn)附錄。

定理2 一方面給出了次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行的必要性條件，另一方面，通過(guò)聯(lián)合必要性條件式(19)~式(21)，能夠確定次用戶網(wǎng)絡(luò)所能獲得的總自由度的上界。

基于定理2，針對(duì)對(duì)稱系統(tǒng)，可得到如下幾個(gè)推論。

針對(duì)系統(tǒng)主用戶網(wǎng)絡(luò)和次用戶網(wǎng)絡(luò)都是對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)的情況，即對(duì)任意的，都有，，；類似地，對(duì)任意的，都有，，。此時(shí)，可以得推論1。

推論1給出了對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)的次用戶所能獲得的平均自由度的上限，記為。從的表達(dá)式可以得出以下兩方面結(jié)論。

一方面，在所有的主用戶配置參數(shù)中，只有主用戶的個(gè)數(shù)和自由度需求0與次用戶的平均自由度上限有關(guān)。而主用戶發(fā)射機(jī)和接收機(jī)所配置的天線數(shù)目0、0并不影響次用戶的平均自由度上限。這一結(jié)論與之前一個(gè)主用戶、一個(gè)次用戶和一個(gè)主用戶、多個(gè)次用戶的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的干擾對(duì)齊的研究結(jié)論相吻合[15]。

另一方面，次用戶平均自由度與次用戶發(fā)射機(jī)和接收機(jī)配置的天線數(shù)目、成正比，與次用戶個(gè)數(shù)近似成反比，而且次用戶所能獲得的總信道自由度也存在一定的上限，即。

進(jìn)一步，當(dāng)系統(tǒng)為半全對(duì)稱系統(tǒng)和全對(duì)稱系統(tǒng)時(shí)，可得到了推論2和推論3，并給出了半全對(duì)稱系統(tǒng)和全對(duì)稱系統(tǒng)的可達(dá)自由度的上界。

(24)

4.3 特殊主用戶網(wǎng)絡(luò)配置下的可行性分析

在討論次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題之前，需要先確定主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣。已知的干擾對(duì)齊設(shè)計(jì)方法主要分為2種：直接法和迭代法。直接法是指根據(jù)封閉解形式，直接構(gòu)造預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣；迭代法則是通過(guò)迭代的方式，利用數(shù)值解法逐步獲得預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣。目前，只有兩用戶MIMO干擾對(duì)稱信道[6]和三用戶MIMO干擾對(duì)稱信道[13]存在封閉解形式，因此，在主用戶網(wǎng)絡(luò)是兩用戶或者三用戶對(duì)稱信道的情況時(shí)，可以直接構(gòu)造主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣。對(duì)于其他主用戶網(wǎng)絡(luò)，只能通過(guò)迭代算法求得預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣（在此不再詳述）。

下面分別討論主用戶網(wǎng)絡(luò)為兩用戶和三用戶對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)時(shí)次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題。

4.3.1 主用戶網(wǎng)絡(luò)為兩用戶對(duì)稱MIMO主網(wǎng)絡(luò)

當(dāng)主用戶網(wǎng)絡(luò)為兩用戶對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)時(shí)，即=3，且對(duì)，有，成立。利用如下策略設(shè)計(jì)主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣：對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，，都是酉矩陣，任取矩陣的個(gè)列向量，不失一般性，前列構(gòu)成矩陣，然后在矩陣的列向量的張成空間的正交補(bǔ)空間中任取個(gè)相互正交的單位向量構(gòu)成。利用相同的方法構(gòu)造矩陣和矩陣。

然后，討論次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊。假設(shè)次用戶網(wǎng)絡(luò)也是對(duì)稱的，則對(duì)，有，成立。根據(jù)定理1，可得次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行必須要滿足如下條件

式(25)給出了兩用戶對(duì)稱MIMO主網(wǎng)絡(luò)情況下，對(duì)稱次用戶網(wǎng)絡(luò)能獲得的平均自由度的上界。

4.3.2 主用戶網(wǎng)絡(luò)為三用戶對(duì)稱MIMO主網(wǎng)絡(luò)

在主用戶網(wǎng)絡(luò)為三用戶對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)時(shí)，即=3，且對(duì)，有，成立。此時(shí)主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣根據(jù)文獻(xiàn)[13]提出的封閉解的形式構(gòu)造。

然后在此基礎(chǔ)上，討論次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊。假設(shè)次用戶網(wǎng)絡(luò)也是對(duì)稱的，則對(duì)，有，成立。根據(jù)定理1，可得次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行必須要滿足如下條件

式(27)給出了3用戶對(duì)稱MIMO主網(wǎng)絡(luò)情況下，對(duì)稱次用戶網(wǎng)絡(luò)能獲得平均自由度的上界。

5 干擾對(duì)齊算法

第4節(jié)提出了認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中主用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊、次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的必要性條件以及一些相關(guān)推論。這節(jié)在文獻(xiàn)[17]提出的最小干擾泄露（interference leakage）算法的基礎(chǔ)上，針對(duì)本文的系統(tǒng)模型以及相關(guān)假設(shè)，提出了改進(jìn)后的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的最小干擾泄露算法。利用這種算法，可以驗(yàn)證本文的相關(guān)結(jié)論。

干擾泄露是指干擾信號(hào)功率在估計(jì)信號(hào)總功率中所占的百分比，可表示為

(30)

對(duì)偶信道的干擾協(xié)方差矩陣為

認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的最小干擾泄露算法流程如下。

1) 首先利用直接法，確定主用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣；

2) 初始化正向信道的次用戶網(wǎng)絡(luò)的預(yù)編碼矩陣，不失一般性，設(shè)為列單位矩陣；

9) 重復(fù)算法步驟4)~步驟8)，直至干擾百分比達(dá)到系統(tǒng)要求。

類似于原始的用戶MIMO干擾信道中的最小干擾泄露算法，一方面，由于干擾協(xié)方差矩陣是Hermite矩陣，因此其特征值都是非負(fù)的，另一方面，每經(jīng)過(guò)一次正向信道和對(duì)偶信道的迭代，任意用戶的干擾協(xié)方差矩陣的最小d個(gè)特征值的和不增大，用戶的干擾泄露是遞減的，因而是局部收斂。但是整個(gè)系統(tǒng)總的干擾百分比的收斂性不能確定，因此該算法是局部收斂，整體收斂性未知。

6 仿真和結(jié)果分析

本節(jié)利用第5節(jié)中提出的干擾對(duì)齊算法進(jìn)行仿真。在本節(jié)中，干擾泄露均指所有用戶的平均干擾泄露；仿真信道為瑞利衰落信道，并且信道增益矩陣中的各個(gè)元素獨(dú)立同分布于衰落參數(shù)為的瑞利分布。

圖2是這樣一組系統(tǒng)（記為第一組）的仿真結(jié)果：次用戶網(wǎng)絡(luò)是3用戶對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)，主用戶網(wǎng)絡(luò)分別是零用戶、一用戶和二用戶對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)（主用戶個(gè)數(shù)為0的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)即為三用戶MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)），每個(gè)用戶的收發(fā)機(jī)都配置6根天線。信噪比設(shè)為30 dB。圖中的節(jié)點(diǎn)是10 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的結(jié)論，對(duì)稱MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行的充要條件為。因此，對(duì)于無(wú)主用戶3個(gè)次用戶對(duì)稱認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，其干擾對(duì)齊可行等價(jià)于，因此對(duì)于信道總自由度不大于9的情況下，3用戶MIMO網(wǎng)絡(luò)的干擾泄露為0（在誤差范圍內(nèi)），而主用戶個(gè)數(shù)為1和2的認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)主用戶的自由度為，根據(jù)第4部分提出的必要性條件的推論2可得，其干擾對(duì)齊可行分別需要次用戶的平均信道自由度滿足和。需要強(qiáng)調(diào)的是，3個(gè)系統(tǒng)的可行性條件是不一樣的，前者是干擾對(duì)齊可行的充要條件，而后兩者只是必要條件。

由于存在數(shù)值誤差，因此只要干擾泄露在誤差許可范圍之內(nèi)，均可認(rèn)為此時(shí)的系統(tǒng)是干擾對(duì)齊可行的。由圖2可以得到以下幾點(diǎn)：主用戶個(gè)數(shù)為0、次用戶網(wǎng)絡(luò)總自由度不大于9時(shí)，系統(tǒng)是干擾對(duì)齊可行的，這與之前的MIMO系統(tǒng)中干擾對(duì)齊技術(shù)的研究結(jié)論相吻合；主用戶個(gè)數(shù)為1、次用戶網(wǎng)絡(luò)總自由度不小于7時(shí)和主用戶個(gè)數(shù)為2、次用戶網(wǎng)絡(luò)總自由度不小于5時(shí)的干擾泄露明顯大于0，說(shuō)明這2種情況下系統(tǒng)是干擾對(duì)齊不可行的，這個(gè)結(jié)果與利用本文結(jié)論計(jì)算得到的結(jié)果是一致的；在次用戶總自由度相同時(shí)，認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的干擾泄露要比MIMO網(wǎng)絡(luò)的大，而且主用戶個(gè)數(shù)越大，干擾泄露越大。

圖3是這樣一組系統(tǒng)（記為第2組系統(tǒng)）的仿真結(jié)果：系統(tǒng)的用戶總數(shù)都為4，但是主用戶個(gè)數(shù)分別為0、1和2的對(duì)稱系統(tǒng)，每個(gè)用戶的收發(fā)機(jī)同樣配置6根天線。信噪比設(shè)為30 dB。圖中的節(jié)點(diǎn)也是10 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。

類似于第1組系統(tǒng)，根據(jù)對(duì)稱MIMO網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的充要條件，可得4用戶MIMO網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行等價(jià)于；同樣假設(shè)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的主用戶的自由度為，根據(jù)推論2可得，2個(gè)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)次用戶干擾對(duì)齊的必要性條件為次用戶網(wǎng)絡(luò)的平均自由度分別滿足和。

由圖3可得不滿足本文結(jié)論的系統(tǒng)配置的干擾泄露明顯大于0，這與本文的結(jié)論一致。另外，通過(guò)圖3的這組曲線，可以探究認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)和MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)中干擾對(duì)齊的性能差異。由系統(tǒng)配置可得，3個(gè)系統(tǒng)的用戶總數(shù)都是4。而在系統(tǒng)總自由度相同時(shí)，認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊性能比MIMO干擾網(wǎng)絡(luò)的差。這是因?yàn)樵贛IMO干擾網(wǎng)絡(luò)中，所有用戶的預(yù)編碼矩陣和干擾消除矩陣是聯(lián)合設(shè)計(jì)的，不存在先后問(wèn)題，因此由算法得到的最終結(jié)果是全局最優(yōu)解；而在認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中，主用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊策略是優(yōu)先設(shè)計(jì)的，次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊策略需要“配合”主用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊策略，因此總的干擾對(duì)齊策略就是局部最優(yōu)解。

以上2組仿真都是在信噪比固定為30 dB時(shí)，系統(tǒng)干擾泄露關(guān)于信道自由度的折線，下面考慮信噪比對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

圖4是收發(fā)機(jī)端天線數(shù)都是6根的1個(gè)主用戶、3個(gè)次用戶CR系統(tǒng)和2個(gè)主用戶、2個(gè)次用戶CR系統(tǒng)在不同信噪比下，系統(tǒng)干擾泄露關(guān)于信道總自由度的仿真結(jié)果。由圖4可以看出，在信噪比很低（0 dB）時(shí)，理論上可以實(shí)現(xiàn)干擾對(duì)齊的CR系統(tǒng)（如信道總自由度為6時(shí)）的干擾泄露相對(duì)較大；而在信道自由度相同時(shí)，隨著信噪比的增大，系統(tǒng)的干擾泄露會(huì)逐漸變??；但是隨著信噪比增大到一定程度（20 dB）后，信噪比對(duì)干擾泄露的性能影響變小，此時(shí)，信道總自由度是影響系統(tǒng)干擾泄露的主要因素。

(a) 1個(gè)主用戶，3個(gè)次用戶CR系統(tǒng)

(b) 2個(gè)主用戶，2個(gè)次用戶CR系統(tǒng)

圖4 不同信噪比下，同一系統(tǒng)干擾泄露關(guān)于信道總自由度的關(guān)系折線

圖5是信噪比30 dB時(shí)，2個(gè)主用戶、2個(gè)次用戶收發(fā)機(jī)端的天線數(shù)分別為4根、6根、8根的情況下，系統(tǒng)干擾泄露關(guān)于信道總自由度的關(guān)系折線。由本文的干擾對(duì)齊的必要性條件可以推知，當(dāng)信道總自由度大于8時(shí)，天線數(shù)為4的CR系統(tǒng)是不能實(shí)現(xiàn)干擾對(duì)齊的。在圖5中，信道總自由度大于8時(shí)，天線數(shù)為4的系統(tǒng)干擾泄露也明顯大于天線數(shù)為6和天線數(shù)為8時(shí)的情況，這一仿真結(jié)果與本文的研究結(jié)論是相符的。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了不考慮信道擴(kuò)展時(shí)，多個(gè)主用戶多個(gè)次用戶的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中干擾對(duì)齊的自由度約束。通過(guò)把主用戶網(wǎng)絡(luò)和次用戶網(wǎng)絡(luò)的干擾對(duì)齊問(wèn)題分離，得出了次用戶網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊可行的必要性條件以及次用戶網(wǎng)絡(luò)的平均可達(dá)自由度的上界。但是在考慮信號(hào)拓展時(shí)，由于信道增益矩陣不再滿足任意性的假設(shè)，因此不能應(yīng)用本文的結(jié)論?？紤]信道擴(kuò)展時(shí)的多主用戶多個(gè)次用戶的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)的干擾對(duì)齊問(wèn)題需要尋找新的分析方法。

附錄 定理1的證明

1) 式(19)的證明

(32)

根據(jù)式(14)以及線性映射的相關(guān)理論，有下式成立

因而有

最終得

式(19)得證。

2) 式(20)的證明

式(20)是文獻(xiàn)[11]中關(guān)于MIMO網(wǎng)絡(luò)中線性干擾對(duì)齊的一個(gè)必要條件，由于次用戶網(wǎng)絡(luò)可等價(jià)為一個(gè)用戶的MIMO網(wǎng)絡(luò)，因而其也需滿足這個(gè)條件，其證明可參考文獻(xiàn)[11]，在此不再詳述。

3) 式(21)的證明

根據(jù)之前的MIMO網(wǎng)絡(luò)干擾對(duì)齊的研究成果[6]，即如果線性干擾對(duì)齊是可行的，則由線性干擾對(duì)齊轉(zhuǎn)化得到的多元高次方程組有解。根據(jù)代數(shù)幾何中的Bezout定理，方程組有解則代數(shù)獨(dú)立的方程個(gè)數(shù)不大于獨(dú)立未知量的個(gè)數(shù)。這個(gè)結(jié)論在本文的系統(tǒng)模型中同樣是適用的。下面將計(jì)算本文約束條件中的獨(dú)立未知量個(gè)數(shù)（記為N）和代數(shù)獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)（記為N）。

根據(jù)約束條件式(14)以及文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論，通過(guò)矩陣的行變換，有

(35)

而根據(jù)約束條件式(9)、式(10)和式(15)，可得代數(shù)獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)為

由定理1得出的幾個(gè)推論比較簡(jiǎn)單，不再進(jìn)行證明。

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Analysis on the degree of freedom of interference alignment in cognitive radio

SUN Xian, ZHAO Xiao-hui

(College of Communication Engineering, Jilin University, Changchun 130012, China)

The feasibility conditions were still unclear in the case of finite number of signal dimension for most cognitive radio systems. The IA problem of CR system with multiple primary users and multiple secondary users was divided into two sub-problems: the IA problem of primary network and the IA problem of secondary network, based on the cognitive mind. Then, the necessary IA conditions of secondary network were presented (good IA conditions of primary network have been proposed in previous research). Through the necessary conditions, it can obtain the upper bound of the average Dof of the secondary users. An improved minimum interference leakage algorithm was proposed, with which the conclusion was verified.

CR system, interference alignment, feasibility conditions, degree of freedom

TN929.5

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016045

2015-06-20；

2015-12-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61171079）

The National Natural Science Foundation of China (No.61171079)

孫獻(xiàn)（1989-），男，河南長(zhǎng)垣人，吉林大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中的信號(hào)處理、頻譜共享。

趙曉暉（1957-），男，滿族，北京人，吉林大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知無(wú)線電、信號(hào)處理理論及其在通信中的應(yīng)用。