K-SVD小波降噪在齒輪故障診斷中應(yīng)用

鐘也磐，陳　衛(wèi)

K-SVD小波降噪在齒輪故障診斷中應(yīng)用

鐘也磐，陳衛(wèi)

（空軍工程大學(xué)，西安 710038）

針對(duì)早期齒輪故障診斷中噪聲干擾大，故障特征難以提取的問(wèn)題提出基于K-SVD稀疏表示小波降噪算法。該算法克服傳統(tǒng)小波閾值降噪算法只對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行逐點(diǎn)處理，而忽略小波系數(shù)整體架構(gòu)的缺點(diǎn)，充分考慮小波系數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在強(qiáng)噪聲下仍具有很好穩(wěn)健性。通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)和實(shí)測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)減速器齒輪轂信號(hào)分析，證明小波降噪算法正確性和在實(shí)際工程應(yīng)用中的價(jià)值。

振動(dòng)與波；齒輪故障診斷；小波降噪；K-SVD；稀疏表示

進(jìn)行齒輪故障診斷時(shí)，故障信號(hào)特征提取直接關(guān)系到故障診斷的準(zhǔn)確性和可靠性。齒輪作為應(yīng)用最廣泛的工業(yè)產(chǎn)品之一，在機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中，由于信號(hào)采集環(huán)境和手段的限制，以及設(shè)備運(yùn)行和傳動(dòng)關(guān)系的復(fù)雜性等原因，采集到的齒輪信號(hào)經(jīng)常被噪聲所淹沒(méi)。這給齒輪故障信號(hào)特征提取，特別是早期故障診斷造成了諸多困難。為了解決齒輪故障診斷過(guò)程中噪聲大的難題，國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者提出了許多降噪方法，如傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波［1-2］和最優(yōu)估計(jì)法，以及時(shí)域平均法等。近些年也出現(xiàn)了基于EMD 和EEMD的降噪方法［3-5］。小波降噪是目前應(yīng)用最多的降噪方法之一，它具有表現(xiàn)信號(hào)局部特征的能力，在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，因此非常適合分析突變信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)。小波降噪方法大致可以分為三類(lèi)［6］，一類(lèi)的原理是信號(hào)和噪聲在小波變換域內(nèi)隨尺度的變化具有不同的特性；一類(lèi)是根據(jù)相鄰尺度間各小波系數(shù)的相關(guān)性進(jìn)行取舍；另一類(lèi)是Donoho等提出的閾值方法［7］。除了傳統(tǒng)的閾值方法外，一些新的閾值函數(shù)也得以應(yīng)用［8-10］。但是以上三類(lèi)小波降噪方法都是對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行逐點(diǎn)分析或處理，并沒(méi)有考慮小波系數(shù)的整體結(jié)構(gòu)。

本文提出一種結(jié)合K-SVD（K-singular value decomposition）稀疏表示的小波降噪方法，首先對(duì)一類(lèi)齒輪沖擊信號(hào)作小波分解，得到小波系數(shù)；其次，采用K-SVD自學(xué)習(xí)算法獲得該類(lèi)信號(hào)小波系數(shù)的稀疏字典；再次，基于K-SVD字典，通過(guò)匹配追蹤算法求得測(cè)量信號(hào)小波系數(shù)的稀疏表示；最終利用稀疏分解得到小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的信號(hào)。本文通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)和某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)減速器齒輪轂振動(dòng)信號(hào)的分析，證明了本文方法正確性及其在實(shí)際工程應(yīng)用中的價(jià)值。

1　基于小波和K-SVD稀疏表示的降噪模型

設(shè)有如下含噪信號(hào)

其中f（k）是觀測(cè)信號(hào)，s（k）為純凈無(wú)噪聲信號(hào)，n（k）為高斯白噪聲。設(shè)對(duì)信號(hào) f（k）作尺度為J的分解，尺度因子 j=1…J，小波系數(shù)為 wj，k，k=1…N，N表示信號(hào)長(zhǎng)度。則傳統(tǒng)的軟閾值法和硬閾值法可以表示為：

軟閾值

硬閾值

由上述公式可知，閾值法是對(duì)小波系進(jìn)行逐點(diǎn)處理，沒(méi)有從整體結(jié)構(gòu)上進(jìn)行分析。稀疏表示是對(duì)小波系數(shù)整體的處理，充分考慮了小波系數(shù)的架構(gòu)。

1.1K-SVD字典學(xué)習(xí)

Aharon、Elad等在2005年提出了K-SVD算法用來(lái)高效訓(xùn)練稀疏表示的通用字典［11］。其算法思想類(lèi)似于K-means聚類(lèi)算法，與聚類(lèi)以均值作為類(lèi)中心不同的是K-SVD通過(guò)SVD分解，以其最大特征向量作為類(lèi)中心。

其中A和X分別為字典矩陣和稀疏系數(shù)矩陣，xTj表示X的第 j行，將要更新的目標(biāo)為字典的第 j個(gè)原子aj。

K-SVD的具體算法流程如下［12］：

圖1　K-SVD字典學(xué)習(xí)流程圖

（1）k=0，初始化字典Ak∈Rn×m；

（2）求解每個(gè)樣本的稀疏系數(shù)

（3）計(jì)算殘差矩陣Ej（j=1…N ）；

（6）終止條件：‖W-AkXk‖2＜δ

1.2匹配追蹤算法

匹配追蹤算法（Matching Pursuit，MP）是一種典型的貪婪算法，它的核心思想是在每一次迭代過(guò)程中根據(jù)當(dāng)前殘差與原子之間的內(nèi)積最大值來(lái)選擇與當(dāng)前殘差最匹配的原子，并更新殘差，直到迭代次數(shù)達(dá)到某閾值或殘差小于某閾值時(shí)終止迭代。匹配追蹤算法的具體流程如下：

R2為w第一次分解后的殘差系數(shù)。對(duì)殘差系數(shù)重復(fù)上述過(guò)程，即

為了改善人為設(shè)置迭代次數(shù)的硬門(mén)限法和軟門(mén)限法的效能，本文采用文獻(xiàn)［13］中的殘差比作為迭代的終止條件，增強(qiáng)了算法的穩(wěn)健性：

設(shè)殘差比

當(dāng)殘差比λk小于某特定值時(shí)迭代終止。

通過(guò)匹配追蹤算法獲得的稀疏系數(shù)為

為了增強(qiáng)小波系數(shù)的稀疏性，本文對(duì)稀疏系數(shù)x作硬閾值處理即

則經(jīng)稀疏系數(shù)重構(gòu)得到的小波系數(shù)為

最后，利用經(jīng)過(guò)閾值處理后的稀疏系數(shù)重構(gòu)的小波系數(shù)w?重構(gòu)降噪后的信號(hào)。

2　仿真驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證本文提出的基于K-SVD稀疏表示小波降噪算法的有效性及其相對(duì)傳統(tǒng)閾值方法的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)模擬故障信號(hào)的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行仿真分析。針對(duì)齒輪故障，本文依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，采用Morlet小波函數(shù)對(duì)沖擊信號(hào)進(jìn)行模擬［14-15］。沖擊信號(hào)的函數(shù)形式為

觀測(cè)信號(hào)

這里取 f0=10 Hz，阻尼比ζ0=0.01，延時(shí)常數(shù)τ0=1 s，沖擊周期為T(mén)=2 s，沖擊次數(shù)k=3，模擬沖擊信號(hào)如圖2所示。

圖2　模擬無(wú)噪聲信號(hào)

圖3和圖4分別給出了SNR=0 dB和SNR=-10 dB時(shí)三種降噪方法的效果，分析表明基于K-SVD稀疏表示的小波降噪算法在強(qiáng)噪聲下仍保持了良好的穩(wěn)健性，相比傳統(tǒng)的小波閾值降噪算法信噪比更高，在強(qiáng)噪聲下仍完好地保留了原無(wú)噪信號(hào)的形狀，更加準(zhǔn)確地描述了信號(hào)的沖擊特征。表1和圖4給出了基于K-SVD稀疏表示的小波降噪算法和傳統(tǒng)小波閾值降噪算法在其它不同強(qiáng)度噪聲下的效果。

圖3　

圖4　

由表1和圖5可知，本文提出的基于K-SVD稀疏表示小波降噪算法在各個(gè)噪聲背景下降噪效果均好于傳統(tǒng)的小波閾值算法，信噪比相對(duì)硬閾值法和軟閾值法平均高出10.9 dB和11.2 dB。

表1　三種算法的降噪效果比較/dB

圖5　三種降噪算法的效果比較

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于K-SVD稀疏表示的小波降噪方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的可行性，本文抽取了兩組某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)減速器齒輪轂振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。其中，一組為正常狀態(tài)齒輪轂振動(dòng)信號(hào)，一組為帶裂紋故障下振動(dòng)信號(hào)，如圖6所示?？紤]到發(fā)動(dòng)機(jī)減速器內(nèi)各部件頻率范圍以及實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)安裝條件，實(shí)驗(yàn)采用B&K壓電式加速度傳感器4513 B和4504 A，傳感器安裝于減速器機(jī)匣前端和后端，實(shí)驗(yàn)采樣頻率為20 000 Hz。整機(jī)實(shí)驗(yàn)在工廠內(nèi)部試車(chē)臺(tái)進(jìn)行，總共對(duì)6臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行了10次測(cè)試，其中帶正常齒輪轂的8次，帶故障齒輪轂的2次。完成了發(fā)動(dòng)機(jī)8個(gè)工作狀態(tài)（慢車(chē)，0.2額定、0.4額定、0.6額定、0.7額定、0.85額定、額定，起飛）下的信號(hào)采集。本文所給的實(shí)驗(yàn)信號(hào)是發(fā)動(dòng)機(jī)處于額定轉(zhuǎn)速（12 300 r/min，205 Hz）時(shí)的信號(hào)。圖7為信號(hào)的功率譜圖，其中1 740 Hz和3 478 Hz分別為一級(jí)齒輪轂與第二級(jí)主動(dòng)齒輪嚙合頻率及其2倍頻。從功率譜中可以看出信號(hào)中有明顯的噪聲干擾。

圖6

圖7

首先利用Morlet小波函數(shù)生成一組沖擊信號(hào)，然后通過(guò)K-SVD算法對(duì)其學(xué)習(xí)得到?jīng)_擊字典。利用獲得的沖擊字典對(duì)兩組實(shí)測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)信號(hào)小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，最終通過(guò)處理后小波系數(shù)重構(gòu)得到降噪信號(hào)，如圖8所示。

圖8

圖9表示的是降噪后信號(hào)的功率譜。從圖中可以看出，原信號(hào)中的噪聲得到大部分濾除。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，故障信號(hào)相對(duì)正常信號(hào)在一級(jí)齒輪轂與第二級(jí)主動(dòng)齒輪嚙合頻率的2倍頻（3 478 Hz、3 480 Hz）處的功率譜密度顯著增加，說(shuō)明齒輪在嚙合時(shí)的沖擊能量增大，存在故障特征。這證明了基于KSVD的小波降噪算法在提取故障信息時(shí)是有效的。

圖9

4　結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)齒輪早期故障診斷中噪聲大，故障特征難以提取的問(wèn)題提出了基于K-SVD稀疏表示的小波降噪算法，克服了傳統(tǒng)小波閾值方法只對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行逐點(diǎn)處理而忽略其整體架構(gòu)的缺點(diǎn)。并通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)和實(shí)測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)信號(hào)分析發(fā)現(xiàn)，基于KSVD的小波降噪算法的性能優(yōu)于小波閾值降噪，而且該方法能夠有效提取齒輪故障信息。

上述結(jié)果證明了本文方法相對(duì)傳統(tǒng)小波降噪算法的優(yōu)勢(shì)及其在齒輪故障診斷中的應(yīng)用價(jià)值。

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Application of K-SVD Wavelet Denoising to Gear Fault Diagnosis

ZHONG Ye-pan，CHENWei
（Air Force Engineering University，Xi'an 710038，China）

For the large noise disturbance in the early stage gear fault diagnosis，it is difficult to extract the fault features.In this paper，a new method of wavelet denoising method based on K-SVD sparse representation is proposed.This method can overcome the disadvantage of the conventional threshold method that it only deals with the wavelet coefficients one by one but ignores the whole structure of the coefficients.In this method，the wavelet coefficient structure characteristic is sufficiently considered.It has good robustness even in strong noise background.Through the analysis of simulated signals and measured signals of an aero-engine gear hub，the correctness and validity in engineering application of the proposed method are verified.

vibration and wave；fault diagnosis of gear；wavelet denoising；K-SVD；sparse representation

TH113.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.037

1006-1355（2016）03-0179-05

2015-10-23

國(guó)家自然科學(xué)基金“航空發(fā)動(dòng)機(jī)剛度非線(xiàn)性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性與參數(shù)識(shí)別研究”資助（51175509）

鐘也磐（1993-），男，江西省萍鄉(xiāng)市人，碩士生，主要研究方向?yàn)楹娇瞻l(fā)動(dòng)機(jī)檢測(cè)與故障診斷。E-mail：2422156968@qq.com

陳衛(wèi)（1967-），男，碩士生導(dǎo)師。