基于耦合Duffing振子的微弱故障信號(hào)檢測(cè)

王曉東，趙志宏，楊紹普

基于耦合Duffing振子的微弱故障信號(hào)檢測(cè)

王曉東1，2，趙志宏2，楊紹普1，2

（1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043）

針對(duì)傳統(tǒng)信號(hào)處理方法在低信噪比條件下對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)的不足，提出一種對(duì)雙Duffing振子進(jìn)行阻尼項(xiàng)耦合的方法，通過對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，比單個(gè)Duffing振子具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。闡述了基于相平面變化的微弱信號(hào)檢測(cè)原理，對(duì)時(shí)間進(jìn)行尺度的變換，實(shí)現(xiàn)了未知頻率信號(hào)的檢測(cè)，最后對(duì)微弱脈沖信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)以及真實(shí)的故障軸承的早期診斷，取得了較好的效果，該方法在無線通信、雷達(dá)系統(tǒng)、旋轉(zhuǎn)機(jī)械早期故障診斷等領(lǐng)域具有廣闊的前景。

振動(dòng)與波；雙耦合Duffing振子；混沌；周期信號(hào)；故障診斷

自1990年P(guān)ecora and Carrel提出混沌同步概念以來，混沌同步理論和應(yīng)用研究得到了迅速的發(fā)展［1］。相繼提出了完全同步、廣義同步、滯后同步、哈密頓系統(tǒng)的測(cè)度同步等同步概念。同步是耦合非線性系統(tǒng)的合作行為最基本的表現(xiàn)之一，同步是物理學(xué)、電子技術(shù)、生物學(xué)、化學(xué)、光學(xué)等學(xué)科在非線性問題研究中的一個(gè)非常重要的課題［2-4］。人們?cè)趯ふ倚碌耐椒绞降耐瑫r(shí)，也嘗試著從更高的高度來研究這些同步形式。例如，從研究低維混沌發(fā)展到研究高維時(shí)空混沌就是一種新的嘗試。雙耦合Duffing混沌振子系統(tǒng)就是高維時(shí)空混沌系統(tǒng)。耦合振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為遠(yuǎn)比單振子系統(tǒng)復(fù)雜，它的同步和控制過程為在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用提供可能，同時(shí)也引起了世界各國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注［5-8］。

本文研究的是雙耦合Duffing混沌振子在微弱信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用。利用雙耦合Duffing振子混沌系統(tǒng)對(duì)微小信號(hào)敏感性和對(duì)強(qiáng)噪聲的免疫力［9-11］，以及兩個(gè)Duffing振子互相聯(lián)系互相控制的工作過程，提高系統(tǒng)在臨界分岔處的穩(wěn)定性，為混沌振子系統(tǒng)檢測(cè)微弱信號(hào)提供新的途徑。通過對(duì)雙耦合Duffing振子系統(tǒng)模型建立、動(dòng)力學(xué)分析及應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)的研究表明它在正弦信號(hào)、脈沖信號(hào)檢測(cè)方面具有很好的應(yīng)用前景，最后通過對(duì)真實(shí)故障軸承信號(hào)分析，獲得較好的效果，為工程實(shí)際中旋轉(zhuǎn)機(jī)械早期故障診斷應(yīng)用提供了一種可借鑒的方法［12-13］。

1　雙耦合Duffing振子模型的建立

根據(jù)文獻(xiàn)中出現(xiàn)過的對(duì)位移項(xiàng)進(jìn)行耦合［14］的方式，本文對(duì)雙耦合Duffing振子采用以下特定的耦合方式，即對(duì)阻尼項(xiàng)進(jìn)行耦合，建立數(shù)學(xué)模型如下

上式中k表示阻尼系數(shù)，一般取k=0.5，c表示耦合系數(shù)，γcos（ωt+θ）表示周期策動(dòng)力。

1.1耦合系數(shù)與動(dòng)力學(xué)行為的關(guān)系

c表示耦合系數(shù)，c的取值越大說明耦合的強(qiáng)度越高，不同振子間的同步性越強(qiáng)，若c=0，則兩振子之間的耦合作用消失，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與單個(gè)Duffing振子系統(tǒng)相同。當(dāng)c≠0時(shí)，系統(tǒng)的變量會(huì)在耦合作用的影響下隨時(shí)間趨于同步。由圖1可以看出兩個(gè)系統(tǒng)在t=12 s后很快達(dá)到了同步行為，而且通過對(duì)阻尼耦合系數(shù)c取不同的數(shù)值進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明對(duì)于阻尼耦合的情況與位移耦合情況正好相反，阻尼耦合系數(shù)越大，相同步的時(shí)間越長(zhǎng)，這是合理的。

圖1　雙耦合系統(tǒng)變量（x-u）時(shí)間歷程圖

1.2雙耦合Duffing振子的分岔圖

分岔是指非線性系統(tǒng)定性行為隨著參數(shù)變化而發(fā)生質(zhì)變的現(xiàn)象，分岔研究不僅能揭示系統(tǒng)不同狀態(tài)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，而且是研究失穩(wěn)和混沌產(chǎn)生機(jī)理和條件的重要途徑，所以分岔與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有著十分密切的聯(lián)系。圖2是此雙耦合Duffing混沌振子系統(tǒng)在特定參數(shù)（k=0.5，c=2，ω=1.0rad/s）下的分岔圖，通過此圖可以看出隨著策動(dòng)力γ的不斷增大，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌與周期的交替現(xiàn)象，當(dāng)γ比較小時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期一運(yùn)動(dòng)；繼續(xù)增大γ，在γ=0.35附近時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔，表現(xiàn)為周期二運(yùn)動(dòng)；再繼續(xù)增大γ，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，最終在γ=0.82附近，由混沌狀態(tài)又進(jìn)入穩(wěn)定的周期一狀態(tài)。

圖2　雙耦合系統(tǒng)的分岔圖

1.3雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的檢測(cè)原理

通過上述方程式（1）的耦合模型，建立Simulink仿真模型，采用定步長(zhǎng)4階Runge-Kutta方法進(jìn)行研究，取步長(zhǎng)h=0.01 s，耦合系數(shù)c=2，選擇其它參數(shù)不變時(shí)，改變策動(dòng)力幅值γ，當(dāng)γ較小時(shí)，相軌跡表現(xiàn)為Poincare映射意義下的吸引子，相點(diǎn)圍繞焦點(diǎn)做周期振蕩，逐漸增加γ達(dá)到臨界值γ=0.826時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷同宿軌道，倍周期分岔直至混沌運(yùn)動(dòng)（如圖3（a）所示），系統(tǒng)在混沌狀態(tài)的時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，而且相軌跡局限在某一個(gè)范圍內(nèi)，繼續(xù)增大策動(dòng)力γ，系統(tǒng)進(jìn)入到臨界大尺度周期狀態(tài)。此時(shí)γ略微增加超過閾值γd，系統(tǒng)將以外加周期力的頻率進(jìn)行大尺度的周期振蕩（如圖3（b）所示），此后相軌跡不在雜亂無章，而是沿著固定的軌道重復(fù)下去。

2　雙耦合Duffing振子對(duì)微弱正弦信號(hào)的檢測(cè)

根據(jù)雙耦合Duffing振子的動(dòng)力學(xué)行為特點(diǎn)，建立微弱信號(hào)檢測(cè)的數(shù)學(xué)模型如下所示。

其中γcos（ωt+θ）為內(nèi)置信號(hào)，acos（ωt+φ）為待測(cè)的信號(hào)，n（t）高斯白噪聲。對(duì)上述構(gòu)造的系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，此系統(tǒng)檢測(cè)原理與單Duffing振子一樣（即選擇從臨界周期到周期的軌跡相變?yōu)榕袛嘞到y(tǒng)輸入是否帶有周期信號(hào)的依據(jù)），當(dāng)雙耦合Duffing振子系統(tǒng)調(diào)整到從混沌狀態(tài)到大周期的臨界狀態(tài)時(shí)，亦即γ將設(shè)置在臨界分岔狀態(tài)附近。然后加入待測(cè)的微弱周期信號(hào)，當(dāng)待測(cè)信號(hào)加入系統(tǒng)中經(jīng)過暫態(tài)過程以后，系統(tǒng)穩(wěn)定在某一運(yùn)動(dòng)形式上，計(jì)算機(jī)通過辨識(shí)系統(tǒng)容易得知系統(tǒng)是處于混沌還是大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由此，可判斷輸入信號(hào)是純?cè)肼曔€是混有微弱周期信號(hào)。

當(dāng)輸入待測(cè)信號(hào)后，整個(gè)驅(qū)動(dòng)力變?yōu)?/p>

圖3　雙耦合Duffing振子系統(tǒng)相圖

由上述雙耦合Duffing振子非線性系統(tǒng)相態(tài)變化的仿真結(jié)果顯示，可求得此時(shí)信號(hào)的信噪比檢測(cè)門限為

對(duì)于傳統(tǒng)方法，很難檢測(cè)到信噪比-10 dB的信號(hào)，這也是一些傳統(tǒng)方法的局限所在，同時(shí)驗(yàn)證了混沌檢測(cè)系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，能夠?qū)崿F(xiàn)低信噪比下的微弱周期信號(hào)檢測(cè)。因此混沌系統(tǒng)具有很好的發(fā)展前景和研究?jī)r(jià)值。

當(dāng)相位θ=0時(shí)

其中

從上式可以看出系統(tǒng)相態(tài)和相位之間的關(guān)系。調(diào)整策動(dòng)力可以使待測(cè)信號(hào)的相位滿足下式：π-arccos［（a/2γ）］≤φ≤π+arccos［（a/2γ）］使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，不產(chǎn)生大周期變化。

當(dāng)系統(tǒng)沒有同頻率待測(cè)周期的信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)如圖4（a）雜亂無章的混沌現(xiàn)象。當(dāng)系統(tǒng)有相同頻率的待測(cè)周期信號(hào)acos（ωt），其中a=0.003，輸入系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)如圖4（b）的大周期現(xiàn)象（前期有個(gè)不穩(wěn)定的過渡狀態(tài)，隨后進(jìn)入穩(wěn)定的大周期）。

圖4　雙耦合Duffing振子的系統(tǒng)相圖

2.1對(duì)未知頻率信號(hào)的檢測(cè)

上面只是研究了周期頻率ω=1rad/s的情況，對(duì)于實(shí)際工程信號(hào)而言，要想將某一頻率成分的信號(hào)檢測(cè)出來，就要將方程（1）的驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率設(shè)置為該待測(cè)信號(hào)的頻率值。然而這個(gè)待測(cè)信號(hào)的頻率往往是很難確定的。為了減少計(jì)算的麻煩，可以對(duì)方程進(jìn)行時(shí)間尺度的變換，改變信號(hào)的時(shí)間尺度，在不改變其離散數(shù)值的情況下，將其在時(shí)間尺度上進(jìn)行壓縮或放大，這種時(shí)間尺度并不改變參與計(jì)算數(shù)據(jù)，只是在時(shí)間軸上對(duì)數(shù)值進(jìn)行了重新排序。

令t=ωτ，則有：x（t）=x（ωτ）；

代入方程（1）整理得

這樣只需調(diào)整方程式（4）中的ω值，來適應(yīng)外界不同頻率的周期信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)外界不同頻率微弱信號(hào)的檢測(cè)。由于狀態(tài)方程（4）是由上述方程派生出來的，只是從另一時(shí)間尺度觀察耦合非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)，因此前面所討論的結(jié)果都是適用的。對(duì)于上述變形耦合非線性系統(tǒng)的模型，設(shè)置其它參數(shù)不變，進(jìn)行不同頻率的周期信號(hào)檢測(cè)。在耦合方程改進(jìn)后，可根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整參數(shù)以進(jìn)行系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)的仿真和計(jì)算。

3　微弱脈沖信號(hào)的檢測(cè)

脈沖信號(hào)是一種離散信號(hào)，形式多種多樣，波形在時(shí)間軸上不連續(xù)，但具有一定的周期性，因此也就為檢測(cè)脈沖信號(hào)提供了可能。最常見的脈沖信號(hào)就是矩形波（方波），脈沖信號(hào)可以用來表示的信號(hào)有：脈沖編碼調(diào)制、脈沖寬度調(diào)制、各種數(shù)字電路、高性能的時(shí)鐘信號(hào)，因此對(duì)于微弱脈沖信號(hào)的檢測(cè)是值得研究且有一定的應(yīng)用價(jià)值。

下面是基于Simulink中脈沖發(fā)生器模塊產(chǎn)生的一組信號(hào)（如圖5所示），然后把該信號(hào)和噪聲（此信號(hào)的信噪比為-14.8 dB）一起加入到雙耦合Duffing振子檢測(cè)系統(tǒng)中進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，檢測(cè)原理方法與微弱正弦信號(hào)是一樣的，通過大量實(shí)驗(yàn)仿真表明此微弱脈沖信號(hào)檢測(cè)的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力依然可以是正弦信號(hào)（與脈沖信號(hào)同頻率），不再需要改變內(nèi)驅(qū)動(dòng)力的波形，調(diào)節(jié)好此系統(tǒng)的臨界閾值，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，觀察系統(tǒng)相圖的變化。

圖5　脈沖信號(hào)

圖6　加入噪聲的脈沖信號(hào)

通過系統(tǒng)相圖的變化（如圖7所示，從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)），可以看出此雙耦合Duffing振子系統(tǒng)能有效地檢測(cè)出混在噪聲中的微弱脈沖信號(hào)，為以后數(shù)字電路、雷達(dá)通訊等故障信號(hào)檢測(cè)提供了一種可能。

圖7　雙耦合Duffing振子系統(tǒng)相圖

4　軸承的早期故障診斷

軸承故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最為常見的故障，作為機(jī)械設(shè)備關(guān)鍵部件之一，早期故障發(fā)現(xiàn)顯得尤為重要，如何在故障早期發(fā)展階段及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障，避免更大的損失，是故障診斷工作者一直研究的課題。

上面通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)噪聲背景下的微弱周期信號(hào)的檢測(cè)，為了能夠在工程實(shí)際中得到驗(yàn)證，本文采用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)系軸承中心在網(wǎng)絡(luò)上提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［15］進(jìn)行分析，試驗(yàn)臺(tái)由功率為1.47 kW的電動(dòng)機(jī)、扭矩傳感器、測(cè)力計(jì)和電氣控制裝置組成。實(shí)驗(yàn)使用的軸承型號(hào)是SKF6205-2RS深溝球軸承，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見下表1。的特征頻率的方法。

表1　軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

通過對(duì)此軸承用電火花加工的單點(diǎn)損傷，加工的故障直徑為0.007英寸，采用16通道振動(dòng)加速度傳感器進(jìn)行信號(hào)采集，將振動(dòng)信號(hào)導(dǎo)入Matlab中，下圖8分別是軸承內(nèi)、外圈的故障時(shí)域圖，很難觀測(cè)出其故障特征頻率。電機(jī)主軸轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，采樣頻率為12 000 Hz，由軸承的特性，專家們已經(jīng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、理論總結(jié)推導(dǎo)出了計(jì)算滾動(dòng)軸承各個(gè)部位

圖8　軸承內(nèi)、外圈的故障時(shí)域圖

ft，f0分別表示內(nèi)圈、外圈故障頻率，其它參數(shù)含義已給出。根據(jù)表格中的各個(gè)參數(shù)可以計(jì)算出軸承內(nèi)外圈的故障頻率分別為：156.2 Hz和110.3 Hz。

通過以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，當(dāng)系統(tǒng)輸入正常信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)沒有發(fā)生變化，而輸入內(nèi)、外圈故障信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)相圖由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷跔顟B(tài)。由此可以說明系統(tǒng)相軌跡圖發(fā)生了變化，并不是因?yàn)樾盘?hào)中其它因素引起的，而是由于采集的信號(hào)中存在與系統(tǒng)內(nèi)置頻率同頻率故障信號(hào)的原因引起了系統(tǒng)相軌跡圖的變化，由此判斷出采集的信號(hào)是有故障的，并取得了較好的效果。

圖9　雙耦合Duffing振子系統(tǒng)相圖

5　結(jié)語

本文針對(duì)傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)問題，提出一種基于雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的檢測(cè)方法，并對(duì)時(shí)間尺度進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)了任意未知頻率周期信號(hào)的檢測(cè)。而且通過對(duì)微弱正弦信號(hào)、脈沖信號(hào)的檢測(cè)以及對(duì)實(shí)測(cè)故障軸承信號(hào)的早期診斷，取得較好的效果。為數(shù)字電路、雷達(dá)通訊等信號(hào)的檢測(cè)提供了一種可鑒的方法，也為工程實(shí)際中旋轉(zhuǎn)機(jī)械的早期故障診斷提供了有效的依據(jù)。

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Weak Fault Signal Detection Based on Coupled Duffing Oscillators

WANG Xiao-dong1，2，ZHAO Zhi-hong2，YANG Shao-pu1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China；2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control of Hebei Province，Shijiazhuang 050043，China）

For the shortage of the traditional signal processing method in weak signal detection in low SNR condition，a new system detection method based on a double Duffing oscillator is proposed.Through dynamic analysis，this system is found to have a more complex dynamic behavior than that of the single Duffing oscillator.The principle of weak signal detection based on phase plane changing is expounded.Through transforming the time scale，the unknown frequency signals are detected.Finally，the weak pulse signal is detected and the early fault diagnosis of a real bearing is realized，and good results are obtained.This method has broad prospects for application in early fault diagnoses of wireless communications，radar systems and rotating machinery.

vibration and wave；bi-coupled Duffing oscillators；chaos；periodic signal；fault diagnosis

TH163.3

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.036

1006-1355（2016）03-0174-05+209

2015-11-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11172182；11227201；11472179）

王曉東（1989-），男，河北省滄州市人，碩士研究生，主要從事故障診斷與混沌理論研究。E-mail：wx_dong@126.com