熱鍍鋅線(xiàn)沉沒(méi)輥動(dòng)力學(xué)建模與穩(wěn)定性分析

盧增靜，肖　彪，李　偉，徐培民

熱鍍鋅線(xiàn)沉沒(méi)輥動(dòng)力學(xué)建模與穩(wěn)定性分析

盧增靜，肖彪，李偉，徐培民

（安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

為弄清熱鍍鋅線(xiàn)鋅鍋內(nèi)沉沒(méi)輥的振動(dòng)機(jī)理，須對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。對(duì)鋅鍋內(nèi)組件進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，分析沉沒(méi)輥運(yùn)動(dòng)和受力情況，建立僅包含部分段帶鋼、沉沒(méi)輥和軸承力學(xué)模型。在力學(xué)模型基礎(chǔ)上，利用達(dá)朗貝爾原理建立相應(yīng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程。求出系統(tǒng)靜平衡位置，得到系統(tǒng)相對(duì)于靜平衡位置動(dòng)力學(xué)方程。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論對(duì)沉沒(méi)輥運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到穩(wěn)定性判據(jù)。動(dòng)力學(xué)模型建立為以后研究沉沒(méi)輥振動(dòng)響應(yīng)和振動(dòng)控制奠定了基礎(chǔ)。由運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)可知適當(dāng)?shù)某跏紡埩Α俸托Ｕ伾贤屏坑欣诔翛](méi)輥穩(wěn)定運(yùn)行。

振動(dòng)與波；沉沒(méi)輥；動(dòng)力學(xué)模型；穩(wěn)定性判據(jù)；達(dá)朗貝爾原理

在熱鍍鋅生產(chǎn)線(xiàn)上，鋅鍋內(nèi)輥?zhàn)拥恼駝?dòng)會(huì)引起帶鋼的抖動(dòng)，從而影響鋼板鍍鋅質(zhì)量。此外輥?zhàn)有D(zhuǎn)過(guò)程中，其兩端的軸套與軸瓦相互接觸摩擦，輥?zhàn)拥恼駝?dòng)會(huì)加劇軸承的磨損，甚至使其失效。王軍通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試和有限元仿真分析，對(duì)沉沒(méi)輥及其支架系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析［1］。李蛟龍建立了鋅液和沉沒(méi)輥流固耦合有限元模型，計(jì)算得到沉沒(méi)輥在鋅液中的模態(tài)，發(fā)現(xiàn)鋅液中沉沒(méi)輥的固有頻率約為空氣中的1/4［2］。王洋等利用廣義Hamilton原理建立了出鋅鍋段帶鋼—輥?zhàn)印嵝灾С谢祀s系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在靜平衡位置對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線(xiàn)性化，最后對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析［3］。李健等對(duì)鋅鍋區(qū)上行段進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模時(shí)將鋅鍋內(nèi)輥?zhàn)訉?duì)帶鋼的影響用沿帶鋼橫向的簡(jiǎn)諧激振力代替，得到了鋅鍋內(nèi)輥?zhàn)訉?duì)帶鋼抖動(dòng)影響較大的結(jié)論［4］。上述文獻(xiàn)建模時(shí)均忽略了輥?zhàn)觾啥嘶瑒?dòng)軸承的影響。

Younes研究了徑向滑動(dòng)軸承在半干摩擦狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)特性，分析了軸頸和軸瓦間的相互作用，并建立了軸頸沿切線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)方程［5］。通過(guò)對(duì)狀態(tài)方程線(xiàn)性化獲得系數(shù)矩陣，最后利用Lyapunov理論判斷系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。陳鋒等研究了潤(rùn)滑不良狀態(tài)下軸承摩擦激勵(lì)對(duì)螺旋槳推進(jìn)軸系非線(xiàn)性振動(dòng)特性的影響，基于拉格朗日方程和模態(tài)疊加法建立了系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程，利用數(shù)值法求解系統(tǒng)響應(yīng)［6］。研究結(jié)果表明，軸承摩擦負(fù)阻尼易引起系統(tǒng)摩擦自激振動(dòng)。

本文從熱鍍鋅線(xiàn)鋅鍋內(nèi)結(jié)構(gòu)的實(shí)際出發(fā)，考慮帶鋼彈性，忽略輥?zhàn)蛹捌涞醣鄣膹椥?，建立僅包含部分段帶鋼、沉沒(méi)輥和軸承的振動(dòng)模型，得到沉沒(méi)輥非線(xiàn)性振動(dòng)微分方程組。最后對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

1　沉沒(méi)輥動(dòng)力學(xué)建模

1.1鋅鍋內(nèi)組件簡(jiǎn)化

熱鍍鋅線(xiàn)鋅鍋內(nèi)三個(gè)輥?zhàn)泳鶠楸粍?dòng)輥，依靠?jī)啥溯S套式滑動(dòng)軸承支撐在輥架上，輥?zhàn)与S帶鋼軸向運(yùn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。本文欲將工藝段帶鋼在校正輥和4號(hào)熱張緊輥處截?cái)?，然后取這部分作為研究對(duì)象。由于沉沒(méi)輥的最大工作轉(zhuǎn)速nmax與第1階臨界轉(zhuǎn)速nc之比nmax/nc＜0.5，可將沉沒(méi)輥假設(shè)為剛體［7］。當(dāng)不考慮帶鋼的橫向振動(dòng)時(shí)，可忽略其彎曲剛度，將其簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的線(xiàn)性彈簧［8-9］。在忽略輥架彈性和振動(dòng)的情況下，軸承可視為固定支承，輥架即為支承基礎(chǔ)。用附加慣性來(lái)考慮鋅液對(duì)輥?zhàn)舆\(yùn)動(dòng)的影響。

為了建立簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確的力學(xué)模型，還應(yīng)提出幾點(diǎn)簡(jiǎn)化假設(shè)：

（1）不考慮輥?zhàn)觾啥溯S承的異動(dòng)，即假設(shè)兩端軸承同步運(yùn)動(dòng)，且不考慮輥?zhàn)虞S向運(yùn)動(dòng)，整個(gè)輥?zhàn)拥倪\(yùn)動(dòng)關(guān)于輥架對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)；

（2）軸頸與軸瓦間為干摩擦，且滿(mǎn)足庫(kù)倫摩擦定律；

（3）軸頸跟軸瓦始終接觸；

（4）考慮帶鋼的張力波動(dòng)；

（5）不考慮軸瓦和軸頸的磨損；

（6）輥?zhàn)淤|(zhì)量均勻分布；

（7）帶鋼在輥?zhàn)由喜淮蚧?/p>

（8）帶鋼與輥?zhàn)拥慕佑|切點(diǎn)不發(fā)生變化；

（9）忽略帶鋼跑偏以及翹曲變形。

1.2沉沒(méi)輥力學(xué)模型

對(duì)沉沒(méi)輥進(jìn)行力學(xué)建模時(shí)要先弄清其運(yùn)動(dòng)和受力情況。沉沒(méi)輥受到重力G，鋅液浮力Ff，帶鋼張力Ti（i=1，2），兩端軸承切向摩擦力Ft和摩擦力矩M（Ft），帶鋼與輥面間的靜摩擦力矩M（Fs），以及輥架支反力FN的綜合作用。

沉沒(méi)輥的運(yùn)動(dòng)包括隨帶鋼軸向運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿著軸瓦內(nèi)表面的渦動(dòng)，其中輥?zhàn)拥霓D(zhuǎn)動(dòng)又包括定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)兩部分。

在忽略帶鋼跑偏以及翹曲變形的情況下，帶鋼、輥?zhàn)雍洼S承存在一個(gè)縱向?qū)ΨQ(chēng)面，稱(chēng)之為“系統(tǒng)振動(dòng)平面”，在該平面上建立沉沒(méi)輥的力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1　沉沒(méi)輥力學(xué)模型

引入固定坐標(biāo)系Oxz，原點(diǎn)O為兩端軸承中心連線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)面的交點(diǎn)。輥?zhàn)訋缀沃行腛r與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為e。ki（i=1，2）表示帶鋼的彈性。g1為4號(hào)熱張緊輥至沉沒(méi)輥段帶鋼與x軸的夾角，g2為校正輥上推量Dm給定時(shí)沉沒(méi)輥至校正輥段帶鋼與z軸的夾角。輥?zhàn)诱駝?dòng)對(duì)g1和g2的影響較小，可忽略不計(jì)，則g1可作為確定的常數(shù)，g2與校正輥的上推量Dm有關(guān)。

沉沒(méi)輥運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中任意時(shí)刻所處的位置可以用角位移j（t）和q（t）來(lái)表示，前者表示沉沒(méi)輥繞其軸心的自轉(zhuǎn)角位移，后者表示沉沒(méi)輥中心繞固定坐標(biāo)系原點(diǎn)O的渦動(dòng)角位移。

式中q0為靜平衡位置，Dq（t）代表相對(duì)于靜平衡位置的渦動(dòng)量，常數(shù)w0為與帶鋼運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的輥?zhàn)用x角速度，Dj（t）為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移。

此處還需說(shuō)明的是，從表面上看，圖1所示力學(xué)模型中兩處約束的表示方法似乎限制了帶鋼的軸向運(yùn)動(dòng)和輥?zhàn)拥霓D(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)際上，本文只是借用這種約束符號(hào)來(lái)表示4號(hào)熱張緊輥和校正輥對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)帶鋼的約束作用。

1.3沉沒(méi)輥非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程

在圖2所示的力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，將沉沒(méi)輥所受力系等效到質(zhì)心Or處，根據(jù)D'Alembert原理，在點(diǎn)Or上虛加慣性力和力偶矩，如圖2所示。

圖2　沉沒(méi)輥質(zhì)心力系簡(jiǎn)圖

根據(jù)力系平衡條件可得沉沒(méi)輥的渦動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程組，為了使系統(tǒng)更符合實(shí)際情況，加上阻尼得

式中m為沉沒(méi)輥質(zhì)量，J為其等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，有效重力G'=G-Ff，R為沉沒(méi)輥外半徑，rj為軸頸半徑，m為軸頸與軸瓦間的摩擦系數(shù)，c為黏性阻尼系數(shù)，其余參量見(jiàn)（1.2）節(jié)。

方程組（2）中張力Ti包括初始張力Ti0，沉沒(méi)輥渦動(dòng)引起的動(dòng)張力DTi1，沉沒(méi)輥扭轉(zhuǎn)振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)張力DTi2，因上游或下游系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)引起的動(dòng)張力DTi3，而此部分動(dòng)張力相當(dāng)于外激勵(lì)，則帶鋼總張力為

ki為第i段帶鋼的剛度系數(shù)，li0為第i段帶鋼初始長(zhǎng)度，B為張力波動(dòng)幅值，wb為張力波動(dòng)頻率，后兩者的值來(lái)自現(xiàn)場(chǎng)的測(cè)試數(shù)據(jù)。

令系統(tǒng)的微分方程中對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零，波動(dòng)張力DTij=0，可得到系統(tǒng)的靜平衡方程。

沉沒(méi)輥渦動(dòng)靜平衡方程為

求解式（4）可得渦動(dòng)靜平衡點(diǎn)q0，將其代入式（5）可求得輥?zhàn)愚D(zhuǎn)速w0。這說(shuō)明，渦動(dòng)靜平衡點(diǎn)與系統(tǒng)構(gòu)型、初始張力、校正輥上推量有關(guān)外，還與帶速有關(guān)。

將平衡點(diǎn)q0代進(jìn)（4）式和（5）式后，再將此二式代入方程組（2），即可得到沉沒(méi)輥相對(duì)于平衡位置的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程組

2　穩(wěn)定性分析

本文是在不考慮動(dòng)張力DTi3的情況下來(lái)分析沉沒(méi)輥的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，此時(shí)帶鋼總張力為

將式（7）代入方程組（6），將方程中sinDq和cosDq在Dq=0處泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并保留方程組中Dq和Dj的二次以下項(xiàng)得

將式（8）表示在狀態(tài)空間中，即可得到系統(tǒng)在狀態(tài)空間的1階運(yùn)動(dòng)微分方程組。

狀態(tài)方程組式（9）的一次近似方程組為

1階近似方程組式（10）在U1=U2=U3=U4=0處相對(duì)于變量U1、U2、U3、U4的雅克比矩陣為

矩陣A對(duì)應(yīng)的特征方程為

特征方程（12）的所有根具有負(fù)實(shí)部的充要條件為

（1）特征多項(xiàng)式的系數(shù)全部為正；

（2）一半Hurwitz（霍爾維茨）行列式大于零。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知：若一次近似方程所有特征值的實(shí)部均為負(fù)，則原非線(xiàn)性方程的零解漸近穩(wěn)定。由于微分方程未擾運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性等價(jià)于擾動(dòng)微分方程零解的穩(wěn)定性，則沉沒(méi)輥運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)為

當(dāng)沉沒(méi)輥的外形尺寸和帶鋼規(guī)格確定后，其相應(yīng)的幾何和物理參數(shù)可作為常數(shù)考慮。軸承半徑間隙e，軸承處滑動(dòng)摩擦系數(shù)m，帶鋼與輥面間靜摩擦系數(shù)ms和帶鋼各段初始長(zhǎng)度li0均為確定的常數(shù)。因此，沉沒(méi)輥運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與帶鋼初始張力Ti0，校正輥上推量Dm和帶速有關(guān)，生產(chǎn)實(shí)踐中通過(guò)調(diào)節(jié)這些參數(shù)以滿(mǎn)足不等式（12）即可使沉沒(méi)輥穩(wěn)定運(yùn)行。

3　算例

以某熱鍍鋅線(xiàn)為背景，帶鋼規(guī)格為1 mm×1 000 mm，取初始張力T20=32 000 N，帶速v=90 m/s，阻尼比x1=x2=0.001，校正輥上推量Dm=30 mm，其它參數(shù)按實(shí)際情況取值，如表1所示。

根據(jù)表1中所列相關(guān)參數(shù)可計(jì)算出沉沒(méi)輥的質(zhì)量m=1 727 kg，有效重力G'=9 752 N，帶鋼的剛度系數(shù)k1=2.02×107，k2=4.20×108，參考文獻(xiàn)［10-11］計(jì)算出有效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=422 kg?m2，根據(jù)歐拉公式可求得帶鋼初始張力T10=30 900 N。求解式（4）可得沉沒(méi)輥渦動(dòng)靜平衡位置q0=1.10 rad。

將系統(tǒng)各相關(guān)參數(shù)和q0代入式（11），利用Matlab數(shù)值求解器計(jì)算出各特征值為

由于一次近似方程所有特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，則沉沒(méi)輥的未擾運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。

此外，由于上述系統(tǒng)參數(shù)能夠滿(mǎn)足不等式（12），亦可判斷沉沒(méi)輥的未擾運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。

4　結(jié)語(yǔ)

利用D'Alembert原理建立了熱鍍鋅線(xiàn)鋅鍋內(nèi)沉沒(méi)輥的動(dòng)力學(xué)模型，該模型考慮了帶鋼彈性和沉沒(méi)輥兩端干摩擦滑動(dòng)軸承的影響，比較真實(shí)地反映了實(shí)際情況。動(dòng)力學(xué)模型的建立為以后研究系統(tǒng)響應(yīng)，制定沉沒(méi)輥振動(dòng)的抑制策略奠定了基礎(chǔ)。將Lyapunov穩(wěn)定性理論與Hurwitz判據(jù)相結(jié)合得到了沉沒(méi)輥運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)，該判據(jù)為生產(chǎn)中調(diào)節(jié)帶鋼初始張力、帶速和校正輥上推量以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行提供了依據(jù)。

表1　系統(tǒng)幾何和物理參數(shù)

［1］王軍.熱鍍鋅生產(chǎn)線(xiàn)出鋅鍋段帶鋼抖動(dòng)現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)研究［D］.合肥：安徽工業(yè)大學(xué)，2010.

［2］李蛟龍.冷軋帶鋼熱鍍鋅沉沒(méi)輥服役周期振動(dòng)特性研究［D］.武漢：武漢科技大學(xué)，2012.

［3］王洋，許飛，李勇，等.帶鋼-輥?zhàn)?柔性支承混雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與耦合振動(dòng)研究［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2013，26（4）：599-607.

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［11］王基盛，楊慶山.流體環(huán)境中結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的計(jì)算［J］.北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，27（1）：40-43.

Dynamic Modeling and StabilityAnalysis of the Sink Roll in a Hot-dip Galvanizing Line

LU Zeng-jing，XIAOBiao，LIWei，XU Pei-min
（School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243032，Anhui China）

In order to find out the vibration mechanism of the sink roll in hot-dip galvanizing lines，its dynamic model is established.The zinc pot hardware is appropriately simplified and the kinematic and dynamic perfoprmance of the sink roll is analyzed.A mechanical model including steel strip，sink roll and bearings is established.D'Alembert principle is used to derive the nonlinear dynamic equations.The system equilibrium positions are obtained according to the dynamic equations.Then，the new dynamic equations relative to the steady state of the system are derived.The stability analysis of the sink roll is performed by using Lyapunov stability theory，and the stability criterion is deduced.This dynamic model has provided the foundation for analyzing the vibration response and control measures for the sink rolls.Stability criterion demonstrates that the appropriate initial tension，strip velocity and roll engagement can increase the stability of the sink roll.

vibration and wave；sink roll；dynamic model；stability criterion；D'Alembert principle

TH113.1；O322

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.011

1006-1355（2016）03-0052-05

2015-12-30

盧增靜（1990-），男，江蘇省徐州市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)控制。E-mail：18895558100@163.com

徐培民，男，博士，教授。E-mail：xupeimin@ahut.edu.cn