時變長度軸向移動繩橫向受迫振動數(shù)值分析

楊　歷，陳恩偉，吝輝輝，劉正士

時變長度軸向移動繩橫向受迫振動數(shù)值分析

楊歷，陳恩偉，吝輝輝，劉正士

（合肥工業(yè)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009）

分別建立移動集中載荷和移動分布式載荷作用下時變長度軸向移動繩系統(tǒng)的物理模型，基于Leibniz法和Hamilton原理推導(dǎo)具有時變參數(shù)的橫向受迫振動方程，Galerkin法將其離散處理為一系列非線性常微分方程組，改進的四階Runge-Kutta用于求解不同Galerkin截斷階數(shù)的非線性常微分方程組，同時分析基于有限元法求解系統(tǒng)運動方程及Newmark-β數(shù)值計算的移動集中載荷下變長度軸向移動繩系統(tǒng)橫向振動特性。兩種方法數(shù)值分析吻合性及收斂性表明建立變長繩移系統(tǒng)模型可靠性及求解時變參數(shù)系統(tǒng)方法有效性，同時變長度軸向移動繩系統(tǒng)在不同情況下采用恰當(dāng)?shù)腉alerkin截斷階數(shù)能到達更好收斂性及保證計算精度。

振動與波；時變長度移動繩；Galerkin法；Newmark-β法；移動載荷；橫向受迫振動

實際工程中很多設(shè)備都可簡化為變長度軸向移動繩系統(tǒng)，如繩系衛(wèi)星，電梯電纜，起重機纜繩等。在研究這些設(shè)備的橫向振動時，不能簡單地忽略各項外界因素的影響，尤其是外部載荷激勵作用，因此研究外部載荷作用尤其是移動載荷作用下變長度軸向移動繩橫向受迫振動［2-5］及其振動特性［8-12］對設(shè)備的設(shè)計及改造起到了很重要的作用。這類系統(tǒng)如移動風(fēng)載荷作用下的起重機纜繩，安裝有隨動導(dǎo)輪的傳輸電纜，移動繩密度不均或磨損導(dǎo)致的質(zhì)量不均系統(tǒng)等。M.Pakdemiri利用哈密頓原理及Galerkin法求解定長軸向加速移動繩橫向振動，并利用Floquet原理分析其系統(tǒng)在不同條件下的穩(wěn)定性［1］。Salih NAkour則在2010年分析了具有彈性支承的非線性梁在周期性分布載荷作用下的振動，應(yīng)用哈密頓原理建立振動方程，對得到的拉格朗日方程離散化，最后使用龍格庫塔法數(shù)值仿真［2］。M. Ansari同樣利用哈密頓原理建立了歐拉-伯努利梁在非線性黏彈性基礎(chǔ)下受移動載荷作用的振動響應(yīng)，Galerkin將其離散，應(yīng)用multiple-scales method獲得不同條件下的內(nèi)外共振和不同諧波下的頻率響應(yīng)［3］。Ye-Wei Zhang利用具有非線性特性的能量轉(zhuǎn)移裝置減小風(fēng)載荷作用下軸向繩移系統(tǒng)的橫向振動，牛頓第二定律用于建立振動方程，Galerkin法將其離散化，最后的數(shù)值分析結(jié)果證明了此能量轉(zhuǎn)換裝置對橫向振動控制的有效性［4］。Ji-hu Bao對變長度柔性提升鋼絲繩采用廣義哈密頓原理導(dǎo)出其運動方程，將Galerkin離散后的數(shù)值仿真結(jié)果與實驗進行對比，結(jié)果基本一致，證明數(shù)學(xué)模型的有效性，同時分析系統(tǒng)在外部周期性激勵下的系統(tǒng)共振［5］。E. W.Chen等基于拉格朗日方程應(yīng)用有限元離散法求解了定長及變長軸向繩移系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程，采用Newmark-β法及狀態(tài)方程法數(shù)值分析系統(tǒng)頻率及能量變化規(guī)律［6］。Qun Wu基于經(jīng)典的Runge_Kutta方法，提出改進的Runge_Kutta方法的推導(dǎo)過程，并且基于改進的Runge_Kutta方法求解了定長及變長軸向移動繩系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)［7］。本文基于以上研究，應(yīng)用兩種不同運動方程求解方法及不同數(shù)值分析方法，對比分析了兩種方法在處理變長度移動繩受迫振動時的收斂性及精確性。

1　建模及運動方程求解

本文研究對象為時變長度軸向繩移系統(tǒng)，用以簡化模擬實際工程應(yīng)用中很多工程設(shè)備，圖1所示為時變長度軸向繩移系統(tǒng)在受到移動集中載荷作用下的物理模型，圖2所示為時變長度軸向繩移系統(tǒng)在受到移動分布載荷作用下的物理分解模型，其表示為求解寬度為a的移動分布載荷做功等于寬度為vt的移動分布載荷做功與寬度為vt-a的移動分布載荷做功之差。

圖1　移動集中載荷作用的時變長度軸向繩移系統(tǒng)物理模型

圖2　移動分布載荷作用下的時變長度軸向繩移系統(tǒng)物理分解模型

圖1中P為移動集中載荷，速度為v，p為單位長度載荷，a為移動分布載荷寬度，其速度為v。繩長為l（t），A為移動繩橫截面積，ρ為單位長度密度，E為楊氏彈性模量，T0為移動繩的恒張力，v為移動繩軸向移動速度。x為繩上某點軸向位置的固定坐標軸，x?即為繩上點的移動速度，且?=v。y（x，t）為繩上固定點在時刻t及位置x處的橫向振動位移。物理模型的建立基于以下3個假設(shè)：移動繩具有連續(xù)和均勻性，且其線密度、橫截面積、彈性模量、張力在運動過程中保持不變；忽略移動繩縱向振動影響，且移動繩的橫向振動引起的彈性變形遠小于繩長度；忽略移動繩受到的各種阻尼、摩擦力及氣流影響。對繩系單元長度受力分析［13］，系統(tǒng)的能量可得［6］：

系統(tǒng)的動能

系統(tǒng)的勢能

圖1中移動集中載荷做功

圖2（a）中分布載荷做功為

圖2（b）中分布載荷做功為

圖2中分布載荷做功表示為

根據(jù)建模繩系兩端固定支承，故其邊界條件為

哈密頓原理有

將方程式（1）、式（2）、式（3）代入式（8）可得

由上式可看出積分上限l（t）為時變函數(shù)，因此標準的分部積分法不能采用，此處應(yīng)用Leibniz's和分部積分法相結(jié)合求解時變上限積分，且對上式中v 和y取變分可得

上式三項之和為零，即各項均為零，故移動集中載荷作用下時變長度軸向繩移系統(tǒng)橫向振動方程為

需要控制好市政工程施工過程中出現(xiàn)的噪聲。噪聲污染對周圍的居民生活會產(chǎn)生極大的影響，主要是市政工程施工過程中大型機械設(shè)備的噪聲以及壓路機作業(yè)等發(fā)出的聲音。為了控制這些噪聲污染，施工需要使用符合標準要求的設(shè)備，還要對施工設(shè)備進行定期維護。對施工現(xiàn)場的噪聲進行監(jiān)測，保證施工噪聲不干擾附近居民，合理安排施工時間，避免在居民夜間休息時施工，施工時間盡可能選在白天，運輸車輛需要低速行駛，禁止持續(xù)鳴笛，避免強噪聲作業(yè)，在噪聲敏感區(qū)域設(shè)置隔聲屏，最大程度降低噪聲。

同理移動分布載荷作用下時變長度軸向繩移系統(tǒng)橫向振動方程為

2　運動方程離散化

應(yīng)用Galerkin截斷法將上述兩個非線性偏微分方程離散化為常微分方程，因x在區(qū)間［0，l（t）］取值，故定義新變量ξ=x/l（t），其變化區(qū)間為［0，1］

其中qi（t），（i=1，2...n）為廣義坐標，n為模數(shù)，形函數(shù)具有如下表示

對式（14）分別對時間及位移求偏導(dǎo)有

將式（16）到式（20）分別代入式（12）和式（13），并兩邊同時乘以φj（ξ）（j=1，2，3，…，n），并對ξ在［0，1］上積分，結(jié)合正交化關(guān)系可將方程離散為如下形式

其中Q=［q1，q2…qn］T為廣義坐標量，M、C、K及F分別為廣義質(zhì)量，阻尼，剛度及載荷矩陣，N為三次非線性項系數(shù)矩陣，這些矩陣每項分別表示為

3　數(shù)值仿真對比分析

在基于有限元法的Newmark-β法計算中［6］，假設(shè)繩子具有固定單元數(shù)，且單元長度均相等，因此這種情況下移動集中載荷可以定義為載荷在每個單元節(jié)點上依次作用相等的時間，從而通過改變作用時間的大小即可模擬載荷不同的移動速度。每個單元節(jié)點上載荷作用時間步為

其中n1單元數(shù)，Dt每一步的時間長度，v為載荷移動速度，如取n1=30，Dt=0.02用以近似模擬移動集中載荷速度v=1 m/s。

3.1自由振動

初始條件設(shè)為

圖3中線型為：—，Newmark-β法；—+，2階Galerkin截斷；—*，4階Galerkin截斷，橫坐標為繩長，縱坐標為橫向振動位移。圖中表示不同時刻下，隨繩長增加，繩系的橫向振動特性，（a）中繩長逐漸伸長，系統(tǒng)最大振幅基本保持不變，而系統(tǒng)振動頻率減小，經(jīng)過相同時間，其振型相較于繩系縮短變化較小；（b）中繩長逐漸縮短，由于無阻尼存在系統(tǒng)最大振幅基本保持不變，系統(tǒng)振動頻率增加，且其振型愈加復(fù)雜。三種方法在處理變長度移動繩系統(tǒng)橫向自由振動時振型基本吻合，證明了Galerkin法的可靠性，且取2階Galerkin截斷處理時變自由度橫向自由振動時就能達到較高的準確性及收斂性。

圖3　變長度繩移系統(tǒng)不同速度下的橫向自由振動

3.2移動集中載荷作用下的橫向振動

軸向移動繩在移動集中載荷作用下，取二者移動速度均為1 m/s。結(jié)合工程實際，取集中載荷為正弦變化函數(shù)

其中A為載荷幅值，ω為載荷變化頻率

如圖4所示移動集中載荷幅值A(chǔ)=0.1 N，頻率ω=0.3 Hz?！琋ewmark-β法；—+，2階Galerkin截斷；—*，4階Galerkin截斷，可以看出繩中波在移動載荷作用下從繩左端產(chǎn)生，并且逐漸傳播到右端，由于繩系右端固定，因此波傳遞到右端時會反射回來并傳遞到另一端，從而在繩中疊加成復(fù)雜的振動，同時由于移動載荷的不斷做功，繩系振幅及振動頻率亦逐漸增加。圖4（a）、圖4（b）中三種求解結(jié)果在振型上基本吻合，Newmark-β與Galerkin截斷相對較大的誤差主要來源于其載荷間斷作用于不同節(jié)點，載荷不是連續(xù)作用于繩子上。并且由于變長度軸向移動繩系統(tǒng)的繩長是隨時間逐漸伸長，而本文采用的是固定單元數(shù)的有限元離散化方法，即此時繩系單元長度是時變的，因此當(dāng)繩長伸長長度較大時，單元的長度也會變化較大，從而結(jié)合本文中對于有限元方法下的集中載荷模擬原理，會導(dǎo)致計算精度下降，隨時間推移形成較大誤差。圖4（c）、圖（d）中明顯可以得出4階Galerkin截斷與Newmark-β法具有更吻合的振型，因此在計算移動繩受到移動集中載荷作用下時至少4階Galerkin截斷才能取得較好的收斂性，同時可以看出Galerkin截斷在處理受到移動載荷作用的繩移系統(tǒng)橫向振動的有效性，同時證明了改進的4階Runge_Kutta法在數(shù)值計算非線性常微分方程組時的可靠性。

3.3移動分布載荷作用下的橫向振動

根據(jù)上面仿真分析結(jié)果，4階Galerkin截斷對于移動載荷作用下的軸向繩移系統(tǒng)橫向振動具有較高的收斂性，能較準確地反映其橫向振動，同時由于Newmark-β法在處理移動載荷時的局限性及較大誤差，因此此部分采用4階Galerkin截斷結(jié)合改進的Runge_Kutta法數(shù)值仿真移動分布載荷作用下軸向繩移系統(tǒng)中點的橫向振動。以下討論參數(shù)取值為繩移速度v=1 m/s，ω=0.3 Hz，p=0.025 N/m，a=4 m，同時移動分布載荷形式與移動集中載荷相同，為正弦函數(shù)。

圖5（a）所示為移動分布載荷幅值相同，單元長度載荷及寬度不同時繩移系統(tǒng)中點的橫向振動，載荷寬度越大，中點振動初始幅值越大，振動響應(yīng)越快，振動會隨著載荷逐漸加載到繩子上而慢慢增加，同時P=0.1 N與p=0.8 N/m，a=0.125 m下的振型誤差較小，在實際應(yīng)用中，很多分布式載荷數(shù)學(xué)建模時可近似處理為移動集中載荷，從而減少運算難度。圖5（b）所示為移動分布載荷移動速度分別為0.5 m/s、1 m/s、1.5 m/s時繩系統(tǒng)中點的振動，且繩移速度為1 m/s，載荷頻率取0.3 Hz。由于分布載荷是逐漸加載到繩子上，故載荷速度越大繩子初始振幅越大，整體幅值也越大，但載荷移動速度對繩系振動頻率沒有明顯影響，幾乎不變。對應(yīng)于實際工程應(yīng)用中，通過選擇合適的載荷移動速度大小，可以達到控制振動頻率及振幅的目的。圖5（c）為移動分布載荷頻率分別為0.1 Hz、0.3 Hz、0.8 Hz時繩系中點的振動，繩及載荷移動速度均為1 m/s。由圖可以很明顯得出中點振動頻率與移動載荷頻率成正比，中點振幅與移動載荷頻率成反比，即載荷頻率逐漸增加，中點振動頻率越大，中點振幅越小。

圖4　移動集中載荷作用下的時變長繩移系統(tǒng)在不同時刻下的振型

圖5　不同參數(shù)下移動分布載荷作用的時變長繩移系統(tǒng)中點振動

4　結(jié)語

本文以時變長度軸向繩移系統(tǒng)為研究對象，分析了其在不同移動載荷作用下橫向受迫振動，應(yīng)用Leibniz法及Hamilton原理分別建立繩系在不同工況下的運動微分方程，同時應(yīng)用Galerkin不同階數(shù)的截斷對微分方程離散化，數(shù)值計算結(jié)果與基于有限元離散的Newmark-β法進行比較，得出以下結(jié)論：

（1）通過三種方法對時變長度軸向繩移系統(tǒng)橫向自由振動數(shù)值仿真對比，較高吻合度證明了Galerkin截斷處理非線性偏微分方程的有效性，同時得出至少2階Galerkin截斷才有較好的近似模擬；

（2）時變長度軸向移動繩在受到移動載荷作用時，Newmark-β法和4階Galerkin截斷數(shù)值仿真結(jié)果具有較高的振型吻合度，可見這種情況下至少4階Galerkin截斷才有較好的近似值；

（3）研究了移動分布載荷作用下時變長度軸向繩移系統(tǒng)不同參數(shù)對振動特性的影響，同時分布載荷在一定程度上可以簡化為集中載荷，因此分布載荷寬度對振動的影響可為進一步研究打下理論基礎(chǔ)；

（4）實際工程應(yīng)用中有各種類型的移動載荷，本文建立的移動載荷作用下的變軸向繩移系統(tǒng)理論模型及動態(tài)特性分析能為后續(xù)進一步研究更復(fù)雜載荷提供一定的理論基礎(chǔ)，同時有助于時變長度軸向繩移系統(tǒng)的振動控制及進一步參數(shù)振動特性研究。

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NumericalAnalysis of Transversely Forced Vibration for an Axially Travelling String with Time-Varying Length

YANGLi，CHEN En-wei，LIN Hui-hui，LIU Zheng-shi
（School of Mechanical andAutomotive Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

The physical models of an axially travelling string system with time-varying length under the action of moving concentrated load and moving distributed load are established.Two kinds of moving forced string models are considered with different means.The nonlinear transversely forced vibration equations with time varying parameters of the string under different conditions are derived using the extended Hamilton's principle and Leibniz's rule，and discretized using different order Galerkin method into a series of ordinary differential equations.The modified 4th-order Runge-Kutta method is employed to solve the nonlinear transverse vibration equations by means of Matlab code.The numerical results also obtained by the Newmark-β method based on finite element analysis.The effects of parameters changing with the moving loads are also simulated.The results demonstrate the correctness of the proposed physical and mathematical models and the effectiveness of the solutiion methods with time varying parameters.It also indicates that the proper choosing of Galerkin truncation order can achieve better convergence and calculation accuracy in different situations.

vibration and wave；travelling string with time-varying length；Galerkin method；Newmark-β method；moving force；transversely forced vibration

TB123

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.004

1006-1355（2016）03-0016-05+56

2015-06-10

國家自然科學(xué)基金資助項目（51305115）

楊歷（1989-），男，四川廣元人，碩士生。

陳恩偉（1979-），男，廣西合浦人，副研究員，碩士生導(dǎo)師。E-mail：cangxiyuanxi@163.com