任意實小波函數(shù)的高階開關(guān)電流濾波器通用實現(xiàn)方法

李目，吳笑峰，席在芳，胡仕剛，李勁，鄔書躍

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任意實小波函數(shù)的高階開關(guān)電流濾波器通用實現(xiàn)方法

李目1，吳笑峰1，席在芳1，胡仕剛1，李勁1，鄔書躍2

(1. 湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湖南湘潭，411201；2. 湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙，410205)

通過對實小波函數(shù)的模擬濾波器實現(xiàn)原理進(jìn)行分析，將其實現(xiàn)過程分解為實小波函數(shù)逼近和小波濾波器設(shè)計2步，提出一種適合任意實小波函數(shù)的高階開關(guān)電流濾波器通用綜合方法，并設(shè)計具體的電路模型。首先，基于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)綜合理論，構(gòu)建實小波函數(shù)的通用優(yōu)化逼近模型；然后，以開關(guān)電流雙線性積分器和電流鏡為基本單元設(shè)計出沖激響應(yīng)為實小波逼近函數(shù)的通用多環(huán)反饋結(jié)構(gòu)濾波器，通過調(diào)節(jié)開關(guān)電流濾波器的時鐘頻率獲得不同尺度小波函數(shù)。以開關(guān)電流實Morlet小波濾波器設(shè)計為例驗證該通用方法的正確性。

開關(guān)電流電路；小波函數(shù)；函數(shù)逼近；小波濾波器設(shè)計

小波分析是20世紀(jì)80年代中期迅速發(fā)展起來的一門新興學(xué)科，小波變換以其良好的時頻局部化特性被廣泛地應(yīng)用于信號處理領(lǐng)域，成為分析非平穩(wěn)信號最有力的工具之一。隨著小波分析理論與算法的進(jìn)一步發(fā)展和工程應(yīng)用的不斷拓展，連續(xù)小波變換硬件實現(xiàn)成為應(yīng)用研究的重要課題。目前，最常見的連續(xù)小波變換實現(xiàn)方法是采用數(shù)字信號處理器(DSP)或可編程邏輯器件(FPGA)等數(shù)字電路完成。采用通用數(shù)字器件實現(xiàn)連續(xù)小波變換的主要優(yōu)點是相關(guān)技術(shù)成熟、通用性和可編程性較好、設(shè)計過程比較簡單、開發(fā)周期短。然而，數(shù)字電路實現(xiàn)的連續(xù)小波變換在處理模擬信號時需要在系統(tǒng)中增加A/D器件，使系統(tǒng)的功耗、體積和處理速度以及精度受到影響，難以滿足低壓、低功耗、強實時性和高精度的實際應(yīng)用需求。研究連續(xù)小波變換的模擬電路實現(xiàn)成為當(dāng)前的主要途徑。模擬電路實現(xiàn)連續(xù)小波變換的方法主要包括時域法[1?3]和頻域法[4?14]。由于時域法中設(shè)計產(chǎn)生不同尺度和位移小波簇的小波函數(shù)發(fā)生器非常困難，所以，頻域法成為目前模擬連續(xù)小波變換實現(xiàn)的主要方法。因為信號的連續(xù)小波變換在頻域相當(dāng)于不同尺度且品質(zhì)因數(shù)恒定的帶通濾波器組對信號進(jìn)行濾波處理，因此，多尺度小波濾波器設(shè)計成為頻域法實現(xiàn)連續(xù)小波變換的關(guān)鍵。國內(nèi)外學(xué)者提出了多種基于連續(xù)時間濾波器[4?8]和抽樣數(shù)據(jù)濾波器[9?14]的連續(xù)小波變換實現(xiàn)方法。由于連續(xù)時間濾波器特性取決于元件參數(shù)的絕對值，而精確參數(shù)元件難于實現(xiàn)，離散時間濾波器特性取決于元件參數(shù)比值或時鐘頻率，易于實現(xiàn)精確控制，所以，抽樣數(shù)據(jù)濾波器實現(xiàn)連續(xù)小波變換成為當(dāng)前的重要發(fā)展方向。EDWARDS等[9?11]提出基于開關(guān)電容濾波器的連續(xù)小波變換實現(xiàn)方法，但開關(guān)電容電路與數(shù)字VLSI CMOS工藝不兼容，且該電壓模電路與低壓高速、大動態(tài)范圍集成電路發(fā)展趨勢不相適應(yīng)，因此，電流模開關(guān)電流濾波器實現(xiàn)連續(xù)小波變換成為研究熱點。胡沁春等[12]提出了基于Padé頻域逼近的串聯(lián)結(jié)構(gòu)開關(guān)電流濾波器實現(xiàn)連續(xù)小波變換方法，但Padé逼近法中分子分母多項式次數(shù)難以確定且不能保證獲得的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；趙文山等[13]利用最小二乘法逼近時域?qū)嵭〔ê瘮?shù)，采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)開關(guān)電流濾波器設(shè)計實現(xiàn)連續(xù)小波變換，但最小二乘法屬于局部優(yōu)化算法，使該算法收斂至最優(yōu)的初始值難于選擇。同時，以上串、并聯(lián)結(jié)構(gòu)開關(guān)電流濾波器的共同缺點是通帶靈敏度高。李目等[14]采用麥克勞林級數(shù)逼近實小波頻域函數(shù)，設(shè)計了多環(huán)反饋結(jié)構(gòu)開關(guān)電流小波濾波器實現(xiàn)連續(xù)小波變換，但前提是實小波函數(shù)的頻域函數(shù)存在，缺乏通用性。為此，本文作者在上述開關(guān)電流小波濾波器設(shè)計的基礎(chǔ)上，提出任意時域?qū)嵭〔ê瘮?shù)的通用優(yōu)化逼近模型，并給出高階多環(huán)反饋開關(guān)電流小波濾波器通用設(shè)計方法。通過對逼近模型階次的調(diào)整，可獲得不同逼近精度的小波逼近函數(shù)；修改高階多環(huán)反饋開關(guān)電流小波濾波器中的前饋和反饋系數(shù)，即可設(shè)計出任意小波濾波器。

1 實小波函數(shù)的通用逼近模型

式中：“*”表示卷積。由式(1)可知：對于函數(shù)()在尺度下的連續(xù)小波變換可看成是函數(shù)()通過脈沖響應(yīng)為的線性時不變?yōu)V波器后的結(jié)果，且該濾波器的傳遞函數(shù)應(yīng)滿足

因此：連續(xù)小波變換實現(xiàn)轉(zhuǎn)化為脈沖響應(yīng)為不同尺度和位移小波函數(shù)的濾波器組設(shè)計。對于常見小波函數(shù)，其()通常是非有理和非因果的，由電網(wǎng)絡(luò)理論可知，該系統(tǒng)是不能直接用電路綜合實現(xiàn)，所以，必須構(gòu)造可綜合實現(xiàn)的小波逼近函數(shù)。為了使?jié)M足因果關(guān)系，對其進(jìn)行合適的時間延遲為，然后對其構(gòu)建相應(yīng)的通用逼近模型。

根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知，嚴(yán)格因果的線性時不變?yōu)V波器可以用狀態(tài)空間系統(tǒng)(，，)描述，其一階微分方程表達(dá)式為

該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和頻域傳遞函數(shù)為：

分析式(4)可知：在一般情況下，具有不同極點穩(wěn)定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)()是衰減指數(shù)信號和呈指數(shù)衰減諧波信號的線性組合。因此，階濾波器的沖激響應(yīng)()的通式可表示為

式中：A和B為實數(shù)或復(fù)數(shù)；a，b，c，d，ρ和f為實數(shù)；和對應(yīng)實極點個數(shù)，且+=?？紤]1個8階濾波器，其脈沖響應(yīng)()可表示為

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須滿足2＜0，6＜0，10＜0，14＜0。于是，時延小波函數(shù)的逼近問題轉(zhuǎn)換為()的系數(shù)求解。定義()與的逼近誤差平方和為

式(8)的離散型式為

式中：為采樣點數(shù)；Δ為采樣間隔。求()的系數(shù)等價于使()達(dá)到最小值的有約束條件最優(yōu)化問題，其通用模型為

s.t.r＜0；=2，6，10，14。 (10)

式(10)中的通用模型可以利用優(yōu)化算法進(jìn)行求解，求得時域小波逼近函數(shù)()后進(jìn)行拉普拉斯變換，獲得濾波器的頻域傳遞函數(shù)()。由于實小波函數(shù)的時域逼近問題轉(zhuǎn)化成通用模型的優(yōu)化求解，因此，該模型適合于任意實小波函數(shù)逼近。

2 任意階開關(guān)電流實小波濾波器實現(xiàn)

2.1 雙線性開關(guān)電流積分器和電流鏡模型

開關(guān)電流技術(shù)是繼開關(guān)電容技術(shù)后一種新的電流模式模擬取樣數(shù)據(jù)信號處理技術(shù)，它可以采用數(shù)字CMOS工藝技術(shù)實現(xiàn)，代表混合模/數(shù)VLSI的未來發(fā)展方向。與電壓模開關(guān)電容電路相比，開關(guān)電流電路具有電源電壓低、頻率寬、動態(tài)范圍大、速度快和功耗小等優(yōu)點。由于在實際設(shè)計中多端輸出的開關(guān)電流積分器能夠更加簡化電路，所以，通常在開關(guān)電流積分器的輸出端附加電流鏡實現(xiàn)多端輸出。本設(shè)計中采用的多輸出開關(guān)電流雙線性積分器電路和符號如圖1所示，同相雙線性積分器的域傳遞函數(shù)為

其中：o1為同相輸出電流；?o1為反相輸出電流；為積分器晶體管參數(shù)。

(a) 開關(guān)電流雙線性積分器電路；(b) 電路符號

電流鏡電路和符號如圖2所示，其輸入、輸出關(guān)系式為

(a) 電流鏡電路；(b) 電路符號

2.2 任意階開關(guān)電流濾波器模型的實現(xiàn)

其中：A(=0，1，…，)和B(=0，1，…，)均為實系數(shù)。分析式(13)可知，它可以采用通用積分器()為基本單元設(shè)計濾波器實現(xiàn)，其中，為積分器的時間常數(shù)，則式(13)可以改寫為

式(14)對應(yīng)的FLF信號流圖如圖3所示。對比式(14)和式(13)可求得圖3中的系數(shù)a和b分別為：

傳遞函數(shù)式(14)的FLF結(jié)構(gòu)信號流圖見圖3，其中，信號流圖對應(yīng)的是連續(xù)系統(tǒng)。為了采用開關(guān)電流雙線性積分器實現(xiàn)，需要將該連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化。只需將原連續(xù)系統(tǒng)中1/替換成(+1)/[2(?1)]，即可實現(xiàn)域系統(tǒng)的離散化。以開關(guān)電流雙線性積分器為基本單元的通用FLF結(jié)構(gòu)開關(guān)電流濾波器電路如圖4所示。圖4中，α，α和α分別為積分器參數(shù)、反饋網(wǎng)絡(luò)系數(shù)和前饋網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，k1和k2為前饋網(wǎng)絡(luò)系數(shù)。

圖3 傳遞函數(shù)式(14)的FLF結(jié)構(gòu)信號流圖

圖4 通用FLF結(jié)構(gòu)開關(guān)電流濾波器電路

(18)

根據(jù)系統(tǒng)域傳遞函數(shù)，利用式(17)~(20)求開關(guān)電流雙線性積分器的晶體管參數(shù)，即可實現(xiàn)任意實小波函數(shù)的高階開關(guān)電流濾波器設(shè)計。

3 設(shè)計實例

采用該模型可以實現(xiàn)任意實小波函數(shù)的高階開關(guān)電流濾波器。下面以實Morlet小波開關(guān)電流濾波器設(shè)計為例驗證該模型的正確性。

3.1 實小波函數(shù)的量子差分進(jìn)化算法逼近

量子差分進(jìn)化算法(quantum differential evolution algorithm,QDE)[15?16]是將量子計算理論與差分進(jìn)化算法相結(jié)合的優(yōu)化算法。在該算法中，染色體由量子比特構(gòu)成，并用實數(shù)對量子比特進(jìn)行編碼。通過采用量子旋轉(zhuǎn)門和量子非門分別實現(xiàn)染色體的更新與變異，從而獲得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

量子差分進(jìn)化算法中的最小信息單元是量子比特，任意時刻量子比特的狀態(tài)可表示為

其中：為當(dāng)前迭代次數(shù)。式(22)用量子角形式可簡化為。算法初始化種群時個體量子角在內(nèi)隨機生成。

為了評價進(jìn)化過程中量子個體的優(yōu)劣程度，需要對個體量子位狀態(tài)進(jìn)行測量，使其從量子角形式坍縮至經(jīng)典比特形式。其實施方法為：對應(yīng)量子個體中的每一位產(chǎn)生隨機數(shù)，比較該隨機數(shù)與，若，則個體中取值為“1”，否則為“0”。

QDE算法按照標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的變異、交叉和選擇操作過程更新染色體量子比特狀態(tài)。當(dāng)前代的每個量子染色體按式(23)進(jìn)行變異操作，得到相應(yīng)的變異個體。

其中：r()為[1，]中的均勻分布概率；為種群中個體的維數(shù)；j為[1，]中的隨機整數(shù)；為交叉概率。將和代入適應(yīng)度函數(shù)，按式(25)進(jìn)行選擇操作，適應(yīng)度最小的個體進(jìn)入下一代。

其中：為適應(yīng)度函數(shù)，即式(10)中的()表達(dá)式。

按上述量子差分進(jìn)化算法的量子染色體編碼、測量和量子染色體更新策略結(jié)合差分進(jìn)化算法的基本步驟，對實Morlet小波函數(shù)進(jìn)行8階有理函數(shù)(如式(7))逼近。實Morlet小波函數(shù)的時域表達(dá)式為

設(shè)置種群規(guī)模p為10，Δ=0.01，采樣點個數(shù)=800，最大進(jìn)化代數(shù)=500，根據(jù)試湊法取變異率=0.7，交叉率C=0.85。采用量子差分進(jìn)化算法求得8階實Morlet小波逼近函數(shù)如圖5所示，逼近均方誤差為1.397 6×10?4，其頻域表達(dá)式為

3.2 實Morlet小波濾波器實現(xiàn)與仿真分析

現(xiàn)將通過QDE算法逼近獲得的式(29)去歸一化后作為系統(tǒng)傳遞函數(shù)，采用圖1中的開關(guān)電流雙線積分器和圖2中的電流鏡電路為基本單元，以圖4中的通用FLF結(jié)構(gòu)開關(guān)電流小波濾波器電路為原型，設(shè)計實Morlet小波濾波器。將傳遞函數(shù)的中心頻率去歸一化至10 kHz，并取采樣頻率為100 kHz，令1=1，2=3=4=5=6=7=8=1/6，利用式(20)計算c1=1，c2=0，利用式(17)~(19)并結(jié)合式(29)計算其他晶體管跨導(dǎo)參數(shù)，如表1所示。

1—Morlet小波；2—小波逼近函數(shù)。

根據(jù)表1設(shè)置實Morlet小波濾波器中相應(yīng)晶體管的參數(shù)，其余的晶體管跨導(dǎo)參數(shù)均設(shè)為1。由于開關(guān)電流電路的膨脹系數(shù)可通過調(diào)節(jié)電路時鐘頻率獲得，因此，該電路只需改變時鐘頻率即可獲得不同尺度小波函數(shù)。選取時鐘頻率分別為100.0，50.0，25.0和12.5 kHz，對應(yīng)小波函數(shù)的尺度分別為1，2，4和8，采用ASIZ軟件進(jìn)行仿真，不同尺度下實Morlet小波濾波器的脈沖響應(yīng)如圖6所示。由圖6可知：相應(yīng)各尺度的時域波形分別在0.2，0.4，0.8和1.6 ms時獲得最大正峰值0.173 3 A，與實Morlet小波函數(shù)歸一化后的最大正峰值基本一致。

表1 實Morlet小波濾波器電路的晶體管跨導(dǎo)參數(shù)

(a) a=1；(b) a=2；(c) a=4；(d) a=8

圖7所示為尺度=1，2，4和8時實Morlet小波濾波器的頻率沖響應(yīng)和尺度=1時的零極點圖。相應(yīng)各尺度小波濾波器頻率特性波形分別在10.432，5.216，2.608和1.304 kHz時取得峰值1.962 dB，與理想值1.975 dB很接近。此外，圖7中的內(nèi)插圖給出了尺度=1時的零極點圖，其中，“○”代表零點，“×”代表極點。由于所有極點都采用1/2的冪形式來表示，所以，對于8階實Morlet小波濾波器，小窗口中有16個極點。由零極點圖可見：所有極點均位于平面的單位圓內(nèi)，因此，所構(gòu)造的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

1—a=1；2—a=2；3—a=4；4—a=8。

上述開關(guān)電流實Morlet小波濾波器的時域、頻域仿真結(jié)果證明了所提出的任意實小波函數(shù)的高階開關(guān)電流濾波器通用實現(xiàn)方法的正確性。

4 結(jié)論

1) 針對現(xiàn)有實小波函數(shù)逼近方法的不足，提出了實小波函數(shù)的通用時域優(yōu)化逼近模型，采用智能優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解可獲得高精度的時域小波逼近函數(shù)。該模型不但適合有解析表達(dá)式實小波函數(shù)逼近，而且適合無解析表達(dá)式實小波函數(shù)(如Daubechies小波)逼近。同時，該模型還可以推廣到復(fù)小波函數(shù)的時域逼近。

2) 通過對任意電流模式傳遞函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，提出了一種可以實現(xiàn)高階開關(guān)電流小波濾波器的綜合設(shè)計模型，并以開關(guān)電流雙線性積分器和電流鏡實現(xiàn)具體的電路模型。該模型通用性和系統(tǒng)性強，可以應(yīng)用于任意實小波函數(shù)的開關(guān)電流濾波器綜合設(shè)計。

3) 以開關(guān)電流實Morlet小波濾波器實現(xiàn)為例，采用量子差分進(jìn)化算法逼近實Morlet小波，并對濾波器電路進(jìn)行了設(shè)計，仿真結(jié)果證明了該模型的正確性。所提出的模型可以在小波變換的模擬集成電路實現(xiàn)中得到廣泛應(yīng)用。

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(編輯 陳燦華)

General implementation of arbitrary real wavelet function with high order switched-current filters

LI Mu1, WU Xiaofeng1, XI Zaifang1, HU Shigang1, LI Jin1, WU Shuyue2

(1. College of Information and Electrical Engineering,Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;2. School of Information and Science Engineering,Hunan International Economics University, Changsha 410205, China)

A new general synthesis method for high order switched-current filter implementation of arbitrary wavelet function was presented. The method was based on the analytical decomposition of the filter implementation with real wavelet function approximation and wavelet filter design by the analog filter implementation principle of wavelet function. The filter circuit was designed as follows. Firstly, a general optimization approximation model of real wavelet function was structured based on synthesis theory of network systems. Then the general multiple-loop feedback structure filter whose impulse response was the approximated real wavelet function was designed using switched-current bilinear integrators and current mirrors as the basic building blocks. By changing the clock frequency of the filter circuit, the different scale wavelet functions were very precisely obtained. Finally, a switched-current real Morlet wavelet filter was employed to demonstrate the correctness of the realization scheme.

switched-current circuits; wavelet function; function approximation; wavelet filter design

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.10.019

TN713

A

1672?7207(2016)10?3417?07

2015?12?10；

2016?02?09

國家自然科學(xué)基金資助項目(61404049，61474042，U1501253)；湖南省科技計劃項目(2013FJ2011, 2014FJ2017)；湖南省教育廳項目(14A084，14B060)；湖南科技大學(xué)科研項目(E51525)；湘潭市科技計劃項目(CG20121006) (Projects(61404049, 61474042, U1501253) supported by the National Natural Science Foundation of China? Projects(2013FJ2011, 2014FJ2017) supported by the Science and Technology Plan Foundation of Hunan Province; Projects(14A084,14B060) supported by the Scientific Research Fund of Education Department of Hunan Province? Project(E51525) supported by the Scientific Research Fund of Hunan University of Science and Technology; Project (CG20121006) supported by the Science and Technology Plan Foundation of Xiangtan City)

李目，博士，副教授，從事高速低壓低耗集成電路與系統(tǒng)、模擬信號處理、模擬電路測試與診斷和智能信息處理等研究；E-mail：limuucn@163.com