元素最小描述并集下的概率粗糙集模型及其決策

蔡克參*，劉財(cái)輝

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元素最小描述并集下的概率粗糙集模型及其決策

蔡克參*，劉財(cái)輝

（贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西贛州，341000）

基于元素的最小描述并集，本文提出了一種新的概率粗糙集模型。針對(duì)新模型設(shè)計(jì)了相應(yīng)算法來(lái)計(jì)算元素最小描述并集及相應(yīng)條件概率。最后通過(guò)一個(gè)實(shí)例，比較了已有模型和新模型在決策中的應(yīng)用，結(jié)果表明新模型更具有合理性。

粗糙集；覆蓋；最小描述；概率粗糙集；決策粗糙集

引言

粗糙集理論[1]是Pawlak于1982年提出的一種新的處理模糊和不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具。隨著粗糙集理論研究的不斷深入，粗糙集的研究領(lǐng)域不斷被拓寬。目前人們研究較多的粗糙集模型有：覆蓋粗糙集、概率粗糙集、決策粗糙集、多粒度粗糙集等。覆蓋粗糙集的概念是Bonikowski[2]從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)利用論域上的覆蓋關(guān)系對(duì)粗糙集進(jìn)行推廣，與覆蓋粗糙集結(jié)合的研究?jī)?nèi)容很廣泛，文獻(xiàn)[3]研究了覆蓋粗糙集與決策模型之間的結(jié)合運(yùn)用。許多學(xué)者對(duì)覆蓋粗糙集中的最大、最小描述概念在粗糙集進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]用矩陣的方法對(duì)最大、最小描述進(jìn)行了計(jì)算，文獻(xiàn)[5-6]在覆蓋廣義粗糙集理論中,對(duì)最小描述的定義進(jìn)行了討論，集合并拓展了多粒度覆蓋粗糙集模型；文獻(xiàn)[7]給出了基于最小描述交的覆蓋近似算子，豐富了覆蓋粗糙集理論；文獻(xiàn)[8]研究了最小描述與模糊集中隸屬度的關(guān)系，建立了一個(gè)新的覆蓋粗糙集模型。概率粗糙集[9]是Pawlak粗糙集模型的一種推廣形式，經(jīng)典的概率粗糙集模型是基于等價(jià)關(guān)系建立的，文獻(xiàn)[10-11]提出了新的概率粗糙集模型，文獻(xiàn)[12-13]對(duì)不同模型下的概率粗糙集模型算法進(jìn)行了分析。決策粗糙集模型是Yao等人[14]1990年提出的，文獻(xiàn)[15-17]對(duì)原有的概率粗糙集模型進(jìn)行了拓廣，提出了幾種新的決策粗糙集模型，文獻(xiàn)[18-19]很好的融合了粗糙集理論和決策理論，方便了實(shí)際的決策運(yùn)用，文獻(xiàn)[20]總述了決策粗糙集的研究現(xiàn)狀。

一般情況下基于等價(jià)關(guān)系的粗糙集模型，往往受限較多，在決策中往往決策結(jié)果也不太理想。針對(duì)這一問(wèn)題，已經(jīng)有學(xué)者建立了基于覆蓋關(guān)系的概率粗糙集模型，討論了元素最小描述交集在概率粗糙集模型中的決策及運(yùn)用。受此啟發(fā)，本文將覆蓋粗糙集中最小描述與概率粗糙集、決策粗糙集相結(jié)合，提出了一種元素最小描述并集下的決策粗糙集模型。該模型對(duì)原有的概率粗糙集模型進(jìn)行了拓展，并結(jié)合具體的實(shí)例進(jìn)行了新模型合理性的說(shuō)明。

1 基本概念

定義1[21]給定一個(gè)覆蓋近似空間，其中是論域，是的一個(gè)覆蓋。對(duì)任意的，稱

定義2[9]設(shè)是非空有限論域，集函數(shù)稱為概率測(cè)度，若：

定義3[9]設(shè)是有限論域，是上的概率測(cè)度，，稱為事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的條件概率。

定義 4[9]給定非空有限子集，為論域上的等價(jià)關(guān)系。論域上的一個(gè)劃分。對(duì)，Pawlak粗糙集的正域,邊界域和負(fù)域，其定義分別為：

(4)

這樣，就得到了Pawlak三個(gè)域的另一種表示：

定義 5[9]對(duì),令，則概率粗糙集的-正域、負(fù)域和邊界域可定義為：

(6)

2 元素最小描述并集下的概率粗糙集模型

本節(jié)主要結(jié)合以上所給定義，對(duì)概率粗糙集模型進(jìn)行拓展，給出了基于元素最小描述并的概率粗糙集模型，并對(duì)其性質(zhì)及求解過(guò)程進(jìn)行了分析。

為元素最小描述并集下的條件概率。

下面結(jié)合算法對(duì)所給定義進(jìn)行分析說(shuō)明。設(shè)計(jì)算法使用了JAVA語(yǔ)言，程序運(yùn)行環(huán)境是myeclipse 8.5，限于文章篇幅，下面只給出算法的主要思想及核心部分的代碼。

2.1 計(jì)算元素最小描述并集算法設(shè)計(jì)

該算法的主要運(yùn)用兩個(gè)嵌套的for循環(huán)，找出同時(shí)包含某個(gè)共同元素的集合，比較集合間的包含關(guān)系，取被包含的集合作為輸出對(duì)象，循環(huán)輸出結(jié)果，求出元素最小描述。再求出每個(gè)元素對(duì)應(yīng)的最小描述集合內(nèi)所有元素的并集；核心代碼如下：

//求元素最小描述

for (String variable : variaList){

List> variaReflectCollection = new ArrayList>();

for (int i = 0; i < variaCollections.size();i++){

Set variaCollection = variaCollections.get(i);

if (variaCollection.contains(variable)){ variaReflectCollection.add(variaCollection);

for (int j = 0; j < variaCollections.size() ;j++){

if (j != i) { Set chirldVariaCollection = variaCollections.get(j);

if (variaCollection.containsAll(chirldVariaCollection) && chirldVariaCollection.contains(variable)){

variaReflectCollection.remove(variaCollection);

}}}}}

variaIncludedRelationships.put(variable, variaReflectCollection);

}

return variaIncludedRelationships;

//最小描述內(nèi)部元素取并集

public static Map> unions(Map>> variaIncludedRelationships){

Map> intersections = new TreeMap>();

for (Map.Entry>> entry : variaIncludedRelationships.entrySet()) {

List> variaCollections = entry.getValue();

Set intersection = union(variaCollections);

System.out.println("元素" + entry.getKey() + " 對(duì)應(yīng)的最小描述： " + entry.getValue() + " 對(duì)應(yīng)的自并集合為： " + intersection); intersections.put( entry.getKey(),intersection);

}

return intersections;

}

2.2 元素最小描述并集下的條件概率算法設(shè)計(jì)

本算法的設(shè)計(jì)調(diào)用了上面的最小描述并集算法，主要分以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：

步驟1 調(diào)用intersection()集合求交集函數(shù)，求出給定集合與最小描述并集中集合的相交集合；

步驟2 取步驟1所得集合與最小描述并集合元素個(gè)數(shù)的比值；

步驟3 使用System.out.println輸出條件概率。

主要部分代碼如下：

//取并集后的集合與給定集合取交集

String[ ] pointArray = {"x1","x2","x3","x4"};

Set pointSet = new TreeSet(Arrays.asList(pointArray));

public static Set intersection(List> variaCollections){

Set intersectionSet =new TreeSet();

intersectionSet.clear();

for (int i = 0; i < variaCollections.size();i++){

Set variaCollection = variaCollections.get(i);

if (i == 0) intersectionSet.addAll(variaCollection);

else

intersectionSet.retainAll(variaCollection);

}

return intersectionSet;

}

//求兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的比值

public static Set intersection(Set set1,Set set2){

Set intersectionSet =new TreeSet();

intersectionSet.clear();

intersectionSet.addAll(set1);

intersectionSet.retainAll(set2);

return intersectionSet;

}

public static String probability(Set set1,

Set set2){

return set1.size()+"/"+set2.size();

}

//輸出各元素對(duì)應(yīng)的概率

System.out.println("元素" + entry.getKey() + " 對(duì)應(yīng)的最小描述： " + entry.getValue() + " 的條件概率為：" + probability);

(9)

3 兩種概率粗糙集模型下的決策情形

本節(jié)主要使用上一節(jié)提出的基于元素最小描述并集的概率粗糙集模型，并結(jié)合一般的基于等價(jià)關(guān)系建立的概率粗糙集模型，對(duì)Pawlak粗糙集、0.5-概率粗糙集和概率粗糙集共三種粗糙集模型進(jìn)行決策。比較以上兩種概率粗糙集模型下三種粗糙集的決策情形。

下面通過(guò)案例對(duì)比兩種不同情況下的決策模型。

表1 病癥表現(xiàn)

a) 基于等價(jià)關(guān)系的概率粗糙集決策模型

（3）等價(jià)關(guān)系下的條件概率：

(4)根據(jù)以上計(jì)算所得條件概率，可做出決策如下，決策結(jié)果見(jiàn)表2：

表2 基于等價(jià)關(guān)系的決策情形（令= 0.4，= 0.75）

模型 Pawlak粗糙集 概率粗糙集 （）-概率粗糙集

3.2 元素最小描述并集下的概率粗糙集決策模型

(1) 對(duì)論域中的對(duì)象根據(jù)病癥分類如下：

(2) 論域U的一個(gè)覆蓋：

(3)程序運(yùn)行元素最小描述結(jié)果如下：

（4）程序運(yùn)行元素最小描述并集下的條件概率結(jié)果如下：

（5）根據(jù)以上計(jì)算所得條件概率，可以做出如下決策，決策結(jié)果見(jiàn)表3：

表 3 元素最小描述并集下的決策情形（設(shè)β= 0.4，α= 0.75）

4 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)算法并計(jì)算了元素最小描述并集下的條件概率，分析了一般基于等價(jià)關(guān)系的概率粗糙集模型進(jìn)行決策的弊端。對(duì)一般的概率粗糙集模型進(jìn)行優(yōu)化，給出了基于元素最小描述并集的決策粗糙集模型，并結(jié)合應(yīng)用實(shí)例對(duì)兩種模型的決策結(jié)果進(jìn)行了比較。

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Probabilistic Rough Set Model Based on the Union of Minimal Descriptions of Elements and Its Applications

CAI Kecan , LIU Caihui

(Department of Mathematics and Computer Science, Gannan Normal University, Ganzhou Jiangxi 341000, China)

This paper proposed a new kind of probability rough set based on the union of minimal description of elements. Some algorithms are designed for the proposed model to compute the union of minimal description of elements and corresponding probabilities. Finally, an example is employed to compare the feasibility between the existing model and the proposed model.

Rough sets; Covering; Minimal description; Probability rough sets; Decision-theoretic rough sets

1672-9129(2016)01-0048-05

TP18

A

2016-06-14；

2016-06-24。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61305052）。

蔡克參(1992-)，女，江西撫州人，碩士研究生，主要研究方向：粒計(jì)算方法在農(nóng)業(yè)信息化中的應(yīng)用；劉財(cái)輝(1979-)，男，江西于都人，副教授，博士，主要研究方向：粗糙集、粒計(jì)算、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘等。

(*通訊作者電子郵箱：1208008641@qq.com)