具有多元馬氏需求的易變質(zhì)多產(chǎn)品的EOQ模型

陳 杰陳志祥

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具有多元馬氏需求的易變質(zhì)多產(chǎn)品的EOQ模型

陳 杰1，2，陳志祥1

（1.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東廣州 510275；2.瓊州學(xué)院理工學(xué)院，海南三亞 572022）

本文研究一類新的易變質(zhì)多產(chǎn)品庫存控制策略，即具有多元馬氏需求特征的多產(chǎn)品的最優(yōu)策略,該策略綜合考慮了市場需求在不同產(chǎn)品之間具有馬氏轉(zhuǎn)移特征和變質(zhì)率因素。論文首先建立了多產(chǎn)品多周期的多元馬爾可夫需求預(yù)測模型，并通過該模型確定了各種產(chǎn)品在訂貨周期內(nèi)的需求之間的關(guān)系。同時，在該關(guān)系的理論基礎(chǔ)上，進一步給出了多產(chǎn)品多周期庫存的最優(yōu)策略，進而結(jié)合算例給出模型的最優(yōu)策略的數(shù)值解。

易變質(zhì)產(chǎn)品；庫存；多元馬爾可夫模型；最優(yōu)策略

0 引言

易變質(zhì)產(chǎn)品是諸多產(chǎn)品的較為特殊的一類，以時質(zhì)性為顯著的特征。因此，基于易變質(zhì)產(chǎn)品的時質(zhì)性這個條件，對其庫存問題進行研究尤為重要。陳軍等[1]研究認為目前我國相關(guān)的易變質(zhì)產(chǎn)品供應(yīng)方缺乏訂貨決策的科學(xué)理論方法，還處在經(jīng)驗指導(dǎo)行動的粗放式操作階段。因此，導(dǎo)致我國易變質(zhì)產(chǎn)品的平均損耗率較大。第25屆世界批發(fā)市場大會研究報告的數(shù)據(jù)應(yīng)驗了這個結(jié)論，即我國生鮮產(chǎn)品采摘后的平均損耗率為25%-30%，而發(fā)達國家的平均損耗率大多數(shù)都低于5%，其中美國和日本的僅有1%-3%。當(dāng)然，造成這么懸殊的數(shù)據(jù)產(chǎn)生還存在其他客觀方面的原因，如地域氣候、保質(zhì)科學(xué)技術(shù)和物流技術(shù)等諸多因素。由此可見，在客觀因素既定的條件下，對易變質(zhì)多產(chǎn)品的庫存控制問題的研究是一個具有實踐意義的理論問題。目前理論界對易變質(zhì)多產(chǎn)品庫存的隨機聯(lián)合決策的研究雖有所涉及，但是現(xiàn)有文獻中針對此類庫存控制策略僅考慮獨立同分布的隨機需求狀態(tài),缺乏對產(chǎn)品間的需求具有相互轉(zhuǎn)移特征的庫存控制策略的研究。本文研究了具有多元馬氏需求的易變質(zhì)多產(chǎn)品的EOQ模型的最優(yōu)策略，構(gòu)造了相應(yīng)的理論分析模型并進行數(shù)值分析。

目前，國內(nèi)外對學(xué)者對易變質(zhì)產(chǎn)品的EOQ模型的研究有不少文獻。Ghare和Chrader[2]率先展開了對易變質(zhì)產(chǎn)品的庫存問題的研究，并奠定了指數(shù)型的EOQ模型的理論基礎(chǔ)。進而各國學(xué)者在這個理論支系的框架下，為了拓展易變質(zhì)產(chǎn)品EOQ模型理論的應(yīng)用性，加入庫存模型的各種要素，如折扣因子、價格、允許延期完全（部分）供給、資金時間價值、……，對模型理論展開深入的研究,并取得豐富的成果，進一步完善了各支系的理論體系。Chang和Dye[3]視需求為時變的條件下，提出了允許短缺發(fā)生并部分延期供給的EOQ模型，而Chuang和Lin[4]在相應(yīng)的EOQ模型的假設(shè)引入了帶折扣因子，并給出了該模型的最優(yōu)解。王道平等[5]則基于需求和采購價格均為時變的EOQ模型,進一步考慮物品的變質(zhì)對庫存系統(tǒng)的影響，并證明了在給定的條件下，計劃期內(nèi)庫存的總成本是關(guān)于服務(wù)水平的凸函數(shù)。Padmanabhan和Vrat[6]假定銷售率是以任意時刻庫存水平為變量的函數(shù),變質(zhì)率為常數(shù),在瞬時訂貨, 提前期為零的條件下,建立了變質(zhì)物品短缺量不允許拖后、部分拖后和完全拖后情形下使總利潤最大化的EOQ模型。在模型加入資金時間要素的條件下，Haley和Higgins[7]首次在庫存模型中考慮資金的時間價值；Moon和Giri[8]考慮了變質(zhì)物品和增值物品在通貨膨脹和時間價值折扣條件下的EOQ 模型；而文曉巍[9]則構(gòu)建了通貨膨脹下允許延期支付的非常數(shù)變質(zhì)率的易變質(zhì)商品的EOQ模型,并給出了總庫存成本最小的最優(yōu)庫存補充決策和算法?；陔S機變質(zhì)率的視角，Wee[10]假設(shè)變質(zhì)率服從雙參數(shù)的Weibull概率分布，研究了數(shù)量折扣下且允許回購的EOQ模型；Chakrabarty和Girl[11]則在三個參數(shù)的Weibull函數(shù)的條件下, 研究了變質(zhì)物品在瞬時供貨、需求函數(shù)為線性增函數(shù)、允許缺貨時的庫存系統(tǒng)的最優(yōu)EOQ模型；Papachristos和Skouri[12]在此模型的理論基礎(chǔ)上結(jié)合指數(shù)分布構(gòu)建了相應(yīng)的模型。在隨機需求環(huán)境下，Kalpakam和Shanthi[13，14]基于泊松需求提出了易變質(zhì)產(chǎn)品的EOQ 模型；Chatwin[15]考慮了基于連續(xù)時間的變質(zhì)產(chǎn)品庫存問題，認為在泊松需求的條件下，產(chǎn)品的需求和價格形成反比的關(guān)系，并得出模型的最優(yōu)定價策略是分段常數(shù)。而在假定產(chǎn)品的需求具有馬氏性的前提條件下，國外學(xué)者對EOQ 模型優(yōu)化的問題也進行了研究。Karlin[16]建立了時間離散型的馬氏庫存模型，并給出模型的最優(yōu)（s,S）策略，而在基于時間為連續(xù)的以及庫存成本函數(shù)為線性的條件下，Song和Zipkin[17]提出了時間連續(xù)型的馬氏調(diào)制泊松過程模型，研究的結(jié)果表明模型的最優(yōu)（s,S）策略是狀態(tài)依賴的。Cheng和Sethi[18]拓展了上述的研究成果，認為只有在未滿足需求定義為失銷和零提前期的條件下，最優(yōu)（s,S）策略才是狀態(tài)依賴的，Chen和Song[19]則進一步發(fā)展了馬氏庫存模型，即建立了多級庫存模型。Raftery[20]在傳統(tǒng)馬氏理論基礎(chǔ)上提出更一般化的高階馬氏模型，而Ching 等[21]則進一步推廣該模型，提出了多元馬爾可夫模型，并建立了多產(chǎn)品的需求預(yù)測模型。雖然基于上述庫存優(yōu)化模型的各種條件所取得的研究成果日趨于成熟，但是對多產(chǎn)品的需求的關(guān)聯(lián)性問題的研究還處于初步周期，缺乏基于多元馬爾可夫模型對多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化控制問題進行深入的研究。

總之,從國內(nèi)外文獻看,就作者所知,目前文獻尚沒有關(guān)于以多元馬氏過程作為理論工具，對易變質(zhì)多產(chǎn)品庫存控制策略的研究。本文主要利用多元馬爾可夫模型作為理論工具，建立易變質(zhì)多產(chǎn)品庫存模型，并求出其最優(yōu)策略。研究結(jié)果表明，當(dāng)易變質(zhì)多產(chǎn)品的需求狀態(tài)滿足相關(guān)性時，我們就可以根據(jù)其歷史的狀態(tài)軌跡，來確定各種產(chǎn)品在下周期的需求狀態(tài)的相關(guān)性以及對它們未來的需求做出合理的預(yù)測，進而達到優(yōu)化庫存的目的。

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第1節(jié)主要介紹模型的有關(guān)假設(shè)和符號定義，進而提出了易變質(zhì)多產(chǎn)品庫存模型。第2節(jié)利用多元馬氏模型論證了各種產(chǎn)品的需求的關(guān)系和介紹了模型參數(shù)的估計法，并提出了多產(chǎn)品多周期的最優(yōu)策略的相關(guān)命題。第3節(jié)結(jié)合文中的理論模型，給出具體的算例，得出了多產(chǎn)品多周期的最優(yōu)策略。最后對本文做出全面的總結(jié)和一些研究展望。

1 模型描述

在競爭激烈的市場環(huán)境中,銷售商往往會基于消費者的個人消費能力、偏好和實際需要等眾多因素，對所銷售的商品的結(jié)構(gòu)進行多元化調(diào)整，以滿足顧客的多樣性的需求。如某水果銷售商，其銷售：等種水果。當(dāng)顧客面臨著多種選擇時, 他們有可能因為選擇購買了水果，而不會再選擇購買其它種類的水果；或者在某個時期內(nèi)選擇購買，而在下個周期選擇購買其他水果。顯然，在這樣的需求環(huán)境下，不同種類的水果的需求量之間具有一定的相關(guān)性。因此，當(dāng)決策者對庫存進行優(yōu)化管理時, 若僅單一考慮產(chǎn)品自身的需求，而忽略不同類產(chǎn)品間的需求的關(guān)聯(lián)性，則必然會導(dǎo)致未來的決策缺合理性和科學(xué)性。由此可見, 供應(yīng)商在對需求具有相關(guān)性的多產(chǎn)品制定優(yōu)化庫存的策略時,應(yīng)研究多產(chǎn)品的需求量的關(guān)聯(lián)性。

為了便于模型的論述，我們進行以下的符號說明。

接下來我們對本文的模型做出一些基本假設(shè)：①各種產(chǎn)品的需求狀態(tài)（）具有馬爾可夫性和時齊性；②交貨提前期為非固定；③產(chǎn)品的變質(zhì)率為常數(shù)；④產(chǎn)品的進價和訂購費為固定的；⑤允許短缺發(fā)生并全部延期供給；⑥各種產(chǎn)品的需求狀態(tài)集保持一致性，即各狀態(tài)集的元素個數(shù)和取值都相等。

（2）

（4）

在該訂貨期間的期望庫存費用為：

而延期短缺費用為：

（6）

（7）

正如上文我們所述，易變質(zhì)的各產(chǎn)品的需求間存在關(guān)聯(lián)性，所以這里只需建立單個產(chǎn)品的平均總費用模型，并利用該模型的最優(yōu)解，進而確定其他產(chǎn)品的庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購策略。由于為固定常數(shù)，故由（3）和（4）式可知，第種產(chǎn)品于第周期內(nèi)的最高庫存水平，依賴著和的取值；而每周期末的缺貨量則僅與，和的取值有關(guān)。因此，只需利用多元馬爾可夫預(yù)測模型，預(yù)測出各種產(chǎn)品的需求量以及通過優(yōu)化平均總費用的期望模型（即費用最小化），求出和的最優(yōu)值，我們就可以達到優(yōu)化庫存管理的目標(biāo)。

圖1 庫存系統(tǒng)各周期動態(tài)訂購模型示意圖

圖1表明了該庫存系統(tǒng)的庫存水平的隨著時間推移而發(fā)生變化的情況。

2 易變質(zhì)多產(chǎn)品EOQ模型的最優(yōu)策略

。 （9）

相合性被認為是對估計的一個最起碼的要求，如果一個估計量，在樣本量不斷增加時，它都不能把被估參數(shù)估計到任意指定的精確度，那么這個估計是值得懷疑的。命題3表明，本文對需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計值滿足了估計的相合性的優(yōu)良性質(zhì)，即依概率收斂于。

這樣我們就可以根據(jù)概率分布的情況來確定各種產(chǎn)品需求狀態(tài)之間的關(guān)系。事實上，第種產(chǎn)品于第階段與其他產(chǎn)品及自身的需求狀態(tài)的平穩(wěn)概率分布的關(guān)系為：

（15）

（16）

接下來我們研究（17）式的最優(yōu)解的存在性，即求出其最優(yōu)值和，使得

（18）

。

（19）

注：由推論1的結(jié)論可知，單產(chǎn)品的最優(yōu)策略等效于總產(chǎn)品的最優(yōu)策略。

期望最高庫存水平：

最優(yōu)期望缺貨量：

（21）

至此，通過多元馬氏模型，我們不但已從理論上解決了多產(chǎn)品的需求量間的關(guān)聯(lián)性問題，而且進一步給出了各種產(chǎn)品的期望需求量。再由（17）式，進而確定了，和的最優(yōu)值。今將這三個變量的最優(yōu)值寫成矩陣的形式，即，并稱之為多產(chǎn)品EOQ模型于第周期的最優(yōu)策略。該策略給決策者提供了非常有價值的信息矩陣，因為我們可以從這個矩陣獲取第種產(chǎn)品于第周期庫存處于零水平的時刻點以及最佳訂購周期的長度和最優(yōu)訂購量，其中。有了這些信息，我們就可以對該庫存系統(tǒng)進行優(yōu)化管理，即當(dāng)缺貨時間等于時，管理者必須做出訂貨決策，從而達到最小化費用函數(shù)的目標(biāo)，進而獲得最大的收益。

3 數(shù)值算例分析

限于篇幅，本算例只考慮3種產(chǎn)品的情形。設(shè)某超市需要訂購A、B和C三種水果，并根據(jù)消費者的需求程度（以千克為單位），將其劃分為淡季、一般、較好和旺季等四個需求狀態(tài)，并依此分別用數(shù)值1,2,3,4表示。即各需求狀態(tài)集，其中各需求狀態(tài)的具體定義如下：；；；。于是，通過映射建立了需求量和需求狀態(tài)之間的對應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)?shù)诜N產(chǎn)品于第周期的需求量落在需求小區(qū)間時，則用數(shù)值來表示其所相應(yīng)的需求狀態(tài)。為了計算方便，不妨假設(shè)，即當(dāng)時，其概率密度為。并且知A、B和C水果在過去12個周的需求狀態(tài)的歷史分別為：，和，且其需求狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移的關(guān)系如圖2所示：

圖2 不同產(chǎn)品間需求狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖

基于A、B和C水果的需求狀態(tài)的歷史，易估計出它們前12周的需求狀態(tài)的平穩(wěn)分布：

將以上的相關(guān)數(shù)據(jù)代入（13）式，得：

（23）

由（19）式，再利用LINGO軟件可求得各種水果在第13周的最優(yōu)零庫存水平時刻和最佳訂購周期的長度（每周按七天計算），即和（周）；和（周）。將其分別代入（22）式，得相應(yīng)的最優(yōu)定購量分別為：和（千克）。于是，EOQ模型于第13周的最優(yōu)策略為：

在易變質(zhì)產(chǎn)品的庫存系統(tǒng)的優(yōu)化控制過程中，如何推算庫存水平等于零時的時間、定貨周期的長度和訂購量是極其重要的問題，即確定、和的最優(yōu)值。當(dāng)這三個變量的取值過大時，意味著變質(zhì)的產(chǎn)品就越多，從而損失的成本就越高。本算例基于有關(guān)的參數(shù)值，計算出它們的最優(yōu)值。決策者可以根據(jù)這些數(shù)值制定準(zhǔn)確的訂購時間，做出科學(xué)的訂貨量決策，以減少損失成本，獲取最大的經(jīng)濟效益，從而提高庫存優(yōu)化管理水平。

4 結(jié)論與展望

易變質(zhì)多產(chǎn)品的庫存控制問題是個具有實踐意義的理論問題。鑒于現(xiàn)有文獻對易變質(zhì)多產(chǎn)品庫存控制策略的研究僅考慮隨機需求互為獨立的情形,本文基于需求具有相互轉(zhuǎn)移特征的條件下，建立了多元馬氏需求模型，并利用該模型對需求具有相互轉(zhuǎn)移特征的易變質(zhì)多產(chǎn)品在下個周期的需求狀態(tài)進行預(yù)測，同時確定了它們需求之間的關(guān)系，進而提出了多產(chǎn)品單位時間內(nèi)總期望費用模型。在總期望費用模型的條件下，理論上對多產(chǎn)品的最優(yōu)庫存控制策略進行了研究，并證明了其存在性。模型的相關(guān)結(jié)論表明，在實現(xiàn)單個產(chǎn)品的收益最優(yōu)化的條件下，可以達到總產(chǎn)品的最優(yōu)水平，即單產(chǎn)品的最優(yōu)策略等效于總產(chǎn)品的最優(yōu)策略。最后，用算例分析了該方法的應(yīng)用以及驗證了本文提出的新的庫存控制策略的可行性。較于以往的模型，新的模型具有一定的優(yōu)越性，即解決了需求具有相互轉(zhuǎn)移特征的易變質(zhì)多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化決策問題。新模型不但提出了科學(xué)的需求預(yù)測新方法和庫存系統(tǒng)的最優(yōu)策略，同時還為決策者深入了解需求間的關(guān)聯(lián)性提供了可靠的理論依據(jù)。然而新模型在理論上還存在一定的局限性，還不能解決由各產(chǎn)品的需求狀態(tài)集不一致時所產(chǎn)生的相應(yīng)模型的決策優(yōu)化問題。比如在A產(chǎn)品有三種需求狀態(tài)而B產(chǎn)品有四種需求狀態(tài)的情況下，如何預(yù)測產(chǎn)品的需求和建立相應(yīng)的模型。模型理論上所存在這樣的局限性，有待于今后在模型的理論設(shè)計過程中進一步完善和克服。

在本文的基礎(chǔ)上，除了上文提到的新模型所存在的問題還需要進一步研究外，以下問題可作為下一步的研究內(nèi)容和方向：可以將此模型推廣到有限或無限周期模型，給出系統(tǒng)的相應(yīng)的最優(yōu)策略；在有限周期或無限周期模型的基礎(chǔ)上可以引入折扣因子，這樣解決實際問題更加有效；作為更一般化的研究，可將系統(tǒng)的決策時刻為時間離散的推廣到為時間連續(xù)的模型，并可研究建立相應(yīng)的帶有折扣因子、有限周期和無限周期等模型。

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The EOQ Model with Multivariate Markov Demand for Deteriorating Items

CHEN Jie1,2,CHEN Zhi-xiang1

（1.School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275,China; 2. School of Science and Engineering, Qiongzhou University, Sanya 572022, China)

The deteriorating item is a special one in the commodity market because a significant characteristic of its quality is time dependent. However, the suppliers of perishable products in China rely on their experiences to make ordering decisions instead of scientific methods. This has resulted in high average wastage rate of perishable products in China. The problem of perishable inventory control under the condition established by objective factors is a theoretical issue with practical significance. There are many references about joint decision of perishable multi-product inventory under stochastic term. However, the existing literature on inventory control policy considers the random demand state that is independently distributed. There is a lack of study on inventory control policy with mutual transfer characteristics of the multi-product demand.

Based on multi-product demand with mutual transfer characteristics, the multivariate Markov demand model is established to forecast demand state of perishable multi-products for the inventory system in the next period. The relationships of demand for various products are determined. Meanwhile, the model of total expected cost per unit time for multi-product is proposed. The optimal control policy for multi-product inventory has been studied systematically under the total expected cost model. In this study, we propose a new class of control policy for perishable multi-product inventory which is the optimality ofpolicy for multi-product inventory with multivariate Markov demand. How to calculate the timeof the inventory level when it is equal to zero, the lengthof ordering period and ordering quantityare extremely important for the process of optimizing control system to manage perishable inventory. When the three variable values are too large, it means that the more deteriorated products, the higher cost of the loss. The optimality ofpolicy not only comprehensively considers the market demand with Markovian transfer characteristics and deteriorated rate of product, but also the optimum value of variable,andis determined. The relevant conclusions of the model also show that the optimal level of total products should be achieved under the condition of realizing the optimal benefits of single product, namely the optimal policy of single product is equivalent to total product’s optimal policy. Finally, we use a numerical example todemonstrate the effectiveness and feasibility of the new optimal policy of the inventory control.Decision-maker can place the exact ordering time and make a scientific decision of ordering quantity by the optimality ofpolicy, to realize the optimization of economic efficiency，thus improving the management of inventory optimization.

deteriorating items; inventory; multivariate markov model; optimality ofpolicy

中文編輯：杜 ??；英文編輯：Charlie C. Chen

O211.62；F253.4

A

1004-6062(2016)04-0093-09

10.13587/j.cnki.jieem.2016.04.012

2013-07-17

2014-05-25

國家自然科學(xué)基金資助項目(71372154)；海南省自然科學(xué)基金資助項目(20151008)；海南省高等學(xué)?？茖W(xué)研究基金資助項目(HJKJ2012-42)

陳杰(1979—)，男，海南臨高人；瓊州學(xué)院理工學(xué)院副教授，中山大學(xué)管理學(xué)院博士研究生,主要從事馬爾可夫決策過程、供應(yīng)鏈等研究。