基于投影空間重構(gòu)的小信號(hào)波束形成

謝少彪，倪濤

（1.上海航天技術(shù)研究院上海201109；2.上海衛(wèi)星工程研究院上海200240）

基于投影空間重構(gòu)的小信號(hào)波束形成

謝少彪1，倪濤2

（1.上海航天技術(shù)研究院上海201109；2.上海衛(wèi)星工程研究院上海200240）

針對(duì)基于特征空間（Eigen Space_Based A1gorithm）的自適應(yīng)波束形成算法在小信號(hào)條件下會(huì)出現(xiàn)的主瓣偏移，波束畸變，輸出性能急劇下降的現(xiàn)象，提出了一種投影子空間重構(gòu)的方法。該方法利用噪聲在時(shí)間上不相關(guān)的特性，對(duì)投影空間進(jìn)行重構(gòu)，在此過(guò)程中削弱噪聲能量，從而有效維持信號(hào)、噪聲子空間的正交性，改善了傳統(tǒng)EBS算法在低信噪比下的性能。實(shí)際計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明了本文算法的有效性和優(yōu)越性。

小信號(hào)；波束畸變；波束形成；特征空間；投影空間重構(gòu)

自適應(yīng)波束形成技術(shù)是陣列信號(hào)處理中一個(gè)重要分支，它能夠根據(jù)實(shí)際環(huán)境變化，實(shí)時(shí)調(diào)整權(quán)值來(lái)降低陣列誤差的對(duì)波束形成性能的影響，具有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用前景。采樣矩陣求逆算法（Samp1e Matrix Inversion）是最常用的自適應(yīng)波束形成算法，該算法收斂速度快，易于實(shí)現(xiàn)。但是SMI在少快拍，高信噪比條件下會(huì)導(dǎo)致主瓣偏移，波束畸變，輸出SINR下降。為了彌補(bǔ)SMI的缺陷，出現(xiàn)了很多新的算法，其中包括最為常見(jiàn)的對(duì)角加載算法［1_2］和子空間投影算法［3_4］。

對(duì)角加載通過(guò)對(duì)Capon最小方差問(wèn)題進(jìn)行正則化處理，相當(dāng)于給陣列采樣協(xié)方差矩陣加上一個(gè)對(duì)角陣，從而減弱小特征值對(duì)應(yīng)的噪聲波束的影響，抑制波束圖畸變。文獻(xiàn)［5_7］對(duì)對(duì)角加載算法進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，但是這些算法并沒(méi)有給出加載因子的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，存在局限性，不能廣泛適用。特征空間法是將最優(yōu)權(quán)值向信號(hào)子空間投影，摒棄噪聲空間的分量。該算法因具有較快的收斂速度和較強(qiáng)的穩(wěn)健性，也出現(xiàn)了很多改進(jìn)算法。文獻(xiàn)［8_10］通過(guò)對(duì)來(lái)波方向進(jìn)行重新估算來(lái)加強(qiáng)算法穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［11］利用矢量旋轉(zhuǎn)方法對(duì)預(yù)定導(dǎo)向矢量進(jìn)行校正。文獻(xiàn)［12］為降低算法運(yùn)算量，利用協(xié)方差矩陣的高次冪來(lái)逼近信號(hào)空間。文獻(xiàn)［13_15］使用Forward_Backward法對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)。這些改進(jìn)方法或針對(duì)矩陣分解求逆來(lái)降低運(yùn)算復(fù)雜度，或通過(guò)較正預(yù)設(shè)導(dǎo)向矢量來(lái)提高自身魯棒性，但都未考慮算法在弱信號(hào)條件下性能的嚴(yán)重衰落。本文首先分析了噪聲對(duì)波束形成的影響，繼而利用白噪聲在時(shí)間上的互不相干的特性，提出了投影矩陣的重構(gòu)方法，降低了噪聲能量，有利于維持噪聲子空間與信號(hào)子空的正交性。該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，以很小的復(fù)雜度大大改善了ESB算法在低信噪比少快拍條件下的輸出性能。

1　特征空間投影算法

考慮陣列模型如下：k個(gè)信源信號(hào)（包括1個(gè)期望信號(hào)，k_1個(gè)干擾信號(hào)）入射到陣元數(shù)為m，（k＜m）陣元間距為半波長(zhǎng)（λ/2）的均勻線陣上。其中：期望信號(hào)與干擾信號(hào)為兩兩互不相關(guān)的窄帶信號(hào)；各陣元噪聲為平穩(wěn)高斯白噪聲。則t時(shí)刻接收到的陣列信號(hào)為：

其中A=［a（θd），a（θ2），……，a（θk）］，a（θd）和a（θ2）…a（θk）分別為期望信號(hào)與干擾信號(hào)的空間導(dǎo)向矢量；s（t）=［s1（t），s2（t）…sk（t）］，s1（t）與s2（t）…sk（t）分別為期望信號(hào)和干擾信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；n（t）為高斯白噪聲。陣列輸出信號(hào)為：X（t）=ωHx（t）。容易求得期望信號(hào)方向約束條件下的權(quán)向量為：

其中μ為常數(shù)，a（θd）為期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，R=E［x（t）xH（t）］為接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣。對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，得到：

其中｛λ1≥λ2≥……λk｝為R的k個(gè)大特征值，u1，…，uk為其對(duì)應(yīng)的特征向量，這些特征向量張成信號(hào)子空間Es；同時(shí)為R的m_k個(gè)小特征值，對(duì)應(yīng)特征向量uk+1，…，um，這些特征向量張成噪聲子空間En。在理想情況下，期望信號(hào)位于信號(hào)子空間，在噪聲子空間投影為0，即有（θd）=0，由式（3）可得：

可以看出，EBS算法只保留了權(quán)矢量在信號(hào)子空間的分量，摒棄了在噪聲子空間的分量。這樣消除了了噪聲波束對(duì)算法的影響，保證期望與干擾信號(hào)的輸出功率不變，而輸出噪聲功率減小，因而輸出SINR增大，且收斂速度加快。但該算法的性能優(yōu)勢(shì)只能在強(qiáng)期望信號(hào)下得到保證。因?yàn)樵诘托旁氡葧r(shí)，信號(hào)_干擾子空間與噪聲子空間存在頻繁的交換使得子空間之間的正交特性不能被維持，從而導(dǎo)致自適應(yīng)波束形成器遭受嚴(yán)重的性能衰落。

2　改進(jìn)的投影子空間重構(gòu)算法

Em為m維單位矩陣，將式（5）代入式（2），記a（θd）為ad得到：

定義方向圖函數(shù)F（ω，θ）=ωHa（θ），由式（6）得則有：

可見(jiàn)在SMI算法中波束不能快速收斂甚至于產(chǎn)生畸變的根本原因在于噪聲波束及其對(duì)應(yīng)的小特征值的波動(dòng)影響，EBS算法可以分離信號(hào)子空間與噪聲子空間，但在期望信號(hào)過(guò)小時(shí)，信號(hào)空間與噪聲空間就會(huì)混疊。極端情況是信號(hào)空間完全不包含期望信號(hào)。為了能在低信噪比條件下更好的分離信號(hào)子空間與噪聲子空間，考慮相關(guān)矩陣：

由于信源為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，頻帶遠(yuǎn)小于載頻，包絡(luò)緩慢變化，即有S（t+△t）=S（t）ejω*△t；噪聲為平穩(wěn)白噪聲，在時(shí)間上的相關(guān)性較弱，即有由式（9）化簡(jiǎn)得：

此時(shí)，相關(guān)矩陣中的噪聲分量以已被大量削減。但是新的協(xié)方差矩陣引入了復(fù)數(shù)特征值，在波束形成的過(guò)程中會(huì)形成偽波束，影響權(quán)值確定。為了消除復(fù)數(shù)特征值引入：

為了便于描述，定義運(yùn)算［X］為取矩陣X的特征向量。對(duì)新構(gòu)造的協(xié)方差矩陣R′分析可得：

設(shè)ARsAH矩陣的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為α，則存在：

即有［R］=［R′］，也就是說(shuō)本文方法在少快拍，低信噪比條件下能更好的分離信號(hào)空間與噪聲空間，保持兩空間的正交性；在高信噪比條件下得到的投影空間與傳統(tǒng)算法得到的投影空間一致，仍保持穩(wěn)健的輸出性能。

3　仿真與分析

為了驗(yàn)證本文算法的正確性和優(yōu)越性，這里給出計(jì)算機(jī)仿真實(shí)例。實(shí)驗(yàn)中，假定陣列模型為8元均勻等距線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，來(lái)波信號(hào)均為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，且信源不相干，背景噪聲為高斯白噪聲。以下所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果均是基于300次Monte Car1o實(shí)驗(yàn)。

仿真實(shí)例1：目標(biāo)信號(hào)與干擾信號(hào)分別來(lái)自0°、30°，干噪比為20 dB，快拍數(shù)為30，k取5，在信噪比分別為0 dB、_ 20 dB條件下得到波束形成方向如圖1、圖2所示。

圖1　SNR=0 dB時(shí)波束方向圖

圖2　SNR=20 dB時(shí)波束方向圖

由圖1可以看出在低快拍條件下，CAPON算法不能正常的形成波束，但是本文算法能夠保持EBS算法在低快拍條件下的優(yōu)越性，正常的維持波束。圖2可以看到在低快拍，低信噪比條件下EBS完全失效，CAPON算法性能較優(yōu)但也無(wú)法維持良好的波束圖形，但是本文改進(jìn)算法雖然相比0 dB信噪比條件下旁瓣升高，但是依然維持較好的波束形成圖。說(shuō)明本文算法較CAPON算法與EBS算法更具優(yōu)越性，適用范圍更加廣泛。

仿真實(shí)例2：目標(biāo)信號(hào)與干擾信號(hào)分別來(lái)自0°、30°，干噪比為20 dB，快拍數(shù)為30，k取5，信噪比區(qū)間為_(kāi)20～20 dB，在此條件下得到輸出SINR圖。

由圖3可以看出，隨著SNR的升高CAPON算法的輸出SINR損失嚴(yán)重；EBS算法改善了CAPON的缺陷，但是正如文中所述在低信噪比條件下，性能很差；本文算法不僅改善了EBS算法在低信噪比下的性能，并且在信噪比升高同時(shí)也保持了較好的輸出性能。

仿真3：目標(biāo)信號(hào)與干擾信號(hào)分別來(lái)自0°、30°，干噪比為20 dB，信噪比_20 dB，快拍數(shù)30，k取5，指向誤差區(qū)間0～10。在此條件下得到輸出SINR圖。

圖3　輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線

圖4　輸出SINR隨指向誤差變化曲線

由圖4不難看出CAPON算法隨指向誤差的增大，性能急劇惡化；EBS具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，其性能隨指向誤差的增大也會(huì)出現(xiàn)周期性的惡化但是變化幅度很小；而本文算法保持了EBS的穩(wěn)健性，在弱期望信號(hào)下輸出性能依然良好，同前面的分析是一致的。

4　結(jié)論

本文研究了弱信號(hào)、低快拍條件下CAPON算法和EBS算法的性能，分析了噪聲對(duì)波束形成的影響。同時(shí)利用噪聲在時(shí)間上不相關(guān)的特點(diǎn)提出了投影子空間的重構(gòu)算法。該方法能夠在一定程度上削減噪聲能量，加強(qiáng)信號(hào)能量，從而有效維持噪聲_信號(hào)子空間的正交性，改善了EBS算法在弱信號(hào)下的性能。計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性與優(yōu)越性。

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Weak slgnal beamformlng based on elgen sPace reconstructlon

XIE Shao_biao1，NI Tao2
（1.Shanghai Academy of Spaceflight Technology，Shanghai 201109，China；2.Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai 200240，China）

Aiming at the prob1em of main_1obe offset，beam distortion，and output performance degradation in Eigen Space_ Based A1gorithm，this paper presents an improved a1gorithm based on Eigen space reconstruction，to rep1ace the traditiona1 Eigen space and rea1ize the separation of noise and signa1 space.Simu1ation resu1ts show that the proposed method can efficient1y maintain orthogona1 of noise and signa1 space and improve the SINR performance under the conditions of 1ow SNR.The improved a1gorithm has better steady and app1icative properties.

weak signa1j beam distortionj beamforming j eigen spacej projection space reconstruction

TN911

A

1674_6236（2016）10_0032_03

2016_03_03稿件編號(hào)：201603031

航天科技創(chuàng)新基金（CASC2015021）

謝少彪（1980—），男，貴州普安人，碩士，高級(jí)工程師。研究方向：衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾技術(shù)。