不可測集的數(shù)理分析

馮彪

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不可測集的數(shù)理分析

馮彪

（湛江技師學(xué)院 職業(yè)教育研究所，廣東 湛江 524037）

根據(jù)宇宙球面空間時(shí)空四維流形的變模效應(yīng)，運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)和測度論對(duì)宇宙全集的可測性和不可測的量進(jìn)行分析，提出宇宙中存在不可測空間，并解釋了物理常數(shù)、時(shí)間之矢、物質(zhì)壽命、雙生子佯謬和奧伯斯之謎.

時(shí)空流形；變模效應(yīng)；時(shí)間之矢；不可測集；測不準(zhǔn)原理

人類對(duì)宇宙空間的認(rèn)識(shí)是以歐氏空間為參照進(jìn)行度量的，用測度來表達(dá)空間產(chǎn)生和存在的可觀測性，在對(duì)時(shí)空的認(rèn)識(shí)上，空間應(yīng)作為觀測者的函數(shù)，觀測者對(duì)空間的測度取決于其所處的客觀條件. 對(duì)不可測集的分析可知宇宙中存在不可測空間和不可測的量，并解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.

1 空間的測度與度量

由集合論和拓?fù)鋵W(xué)可知，全集和空集互為余集（兩者同是開集或同是閉集），因此全集的宇宙空間由空集產(chǎn)生，即宇宙集為零測集；根據(jù)測度的非負(fù)性可得任一子集（空間流形）的測度：

根據(jù)球面空間的定義和宇宙集的全對(duì)稱性可知宇宙空間是球面空間，一般地維歐氏空間與去掉一點(diǎn)的維球面空間是同胚的，即：.人類度量宇宙空間是基于人類觀測者將所處觀測系(本文中所述的觀測者與觀測系是等價(jià)含義）作為球面空間的特殊點(diǎn)（如宇宙中心），從而使宇宙空間具有差異性并成為可測性的邏輯起點(diǎn). 由于人類能夠直觀感知的空間維度最大是三維，因此，如要感知一維的時(shí)間則必須通過物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)進(jìn)行對(duì)比才能感知，即

a.宇宙球面空間坐標(biāo)系???????????b.歐氏空間坐標(biāo)系

圖1 四維宇宙球面空間和歐氏空間坐標(biāo)系示意圖

2 宇宙中存在不可測空間

由Lebesgue（勒貝格）集合測度論和Caratheodory(卡拉泰奧多里)可測條件得集合可測的充分必要條件是其余集可測.可測集類對(duì)有限的并、交、差運(yùn)算是封閉的，即零測度集的任何子集是零測度集；有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測度集之并是零測度集. 可以證明宇宙集內(nèi)存在不可測集，由不可測集的存在可知宇宙中有不可測空間和不可測的量.

人類的認(rèn)知來源于客體的可測性，由于光速極限和紅移現(xiàn)象，人類所處宇宙空間平分為可測和不可測兩部分：可測部分（圖1中位于時(shí)間坐標(biāo)軸右側(cè)的半圓周）的測模為正值，稱為正空間，人類生活于正空間，有正質(zhì)量、正能量；不可測部分（圖1中位于時(shí)間坐標(biāo)軸左側(cè)的半圓周）為負(fù)空間，有負(fù)質(zhì)量、負(fù)能量. 正負(fù)空間在總體上互相抵消，故宇宙集為零測集. 由于宇宙時(shí)空四維球面空間是變模空間，因此時(shí)空的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)（變模效應(yīng)）將時(shí)空流形的慣性轉(zhuǎn)化為質(zhì)量、能量，進(jìn)而演變?yōu)楦鞣N形式的宇宙萬物，物質(zhì)的各種形態(tài)是時(shí)空結(jié)構(gòu)的不同表現(xiàn)形式，事物量變質(zhì)變的不同過程取決于時(shí)空結(jié)構(gòu)的變模方式. 物質(zhì)結(jié)構(gòu)是時(shí)空流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，事物變化發(fā)展具有無限性是因?yàn)闀r(shí)空拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有無限可拓性. 另一方面，可測性與維度有關(guān)，由拓?fù)淅碚摽芍?，四維歐氏空間上存在著無窮多種微分結(jié)構(gòu)，因此，物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式等價(jià)于時(shí)空的變模方式，變模等價(jià)于變維，在整數(shù)維結(jié)構(gòu)之外存在大量的分維結(jié)構(gòu).由于距離（測模）的定義形式和度量方式是無限的，按勒貝格測度得整維（高維）等價(jià)于分維，同一流形因測模不同可有不同的變模維度（連續(xù)統(tǒng)維度），因此全維度即是連續(xù)維度（具有連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)）. 變模的分維（連續(xù)維）具有無限可能性，故物質(zhì)結(jié)構(gòu)的變化具有無限可能性，這就是事物變化的無限可能性即事物發(fā)展的動(dòng)力[2].

3 運(yùn)動(dòng)與光速

由于宇宙空間是全維度、全對(duì)稱、無差別的點(diǎn)集，因此人類認(rèn)識(shí)宇宙依賴于觀測對(duì)象因變模效應(yīng)而產(chǎn)生的可區(qū)分性.由此可見，運(yùn)動(dòng)來源于差異性，變模效應(yīng)即是運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，速度來源于運(yùn)動(dòng).

4 時(shí)間之矢與物質(zhì)壽命

人類對(duì)時(shí)間的感知來源于運(yùn)動(dòng)效應(yīng)的速度比較，物質(zhì)的壽命就是其時(shí)空流形結(jié)構(gòu)由確定性狀態(tài)因紅移效應(yīng)變化到不確定性（衰變或衰老至解體）狀態(tài)的過程所持續(xù)的時(shí)間.

4.1 時(shí)間之矢

4.2 物質(zhì)壽命

按拓?fù)鋵W(xué)的流形定義，滿足Hausdorff公理的拓?fù)淇臻g中每個(gè)點(diǎn)的局部都同胚于維空間，在宇宙球面空間中，物質(zhì)就是時(shí)空，時(shí)空是無形的物質(zhì)，物質(zhì)是有形的時(shí)空，物質(zhì)結(jié)構(gòu)就是時(shí)空的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3]. 事物就是有確界的空間子集（集合閉包），也即物質(zhì)流形具有定域性（有界性）. 實(shí)體在空間中的存在取決于其拓?fù)淇臻g的分離性和緊致性（有確定的邊界），物質(zhì)結(jié)構(gòu)的存在性和穩(wěn)定性滿足拓?fù)鋵W(xué)定理，實(shí)數(shù)的連續(xù)性反映時(shí)空結(jié)構(gòu)的連續(xù)可測性，其可分性反映粒子性. 一個(gè)事物的性質(zhì)由一系列的量來描述，可看成是有窮維或無窮維以時(shí)間為自變量的向量值函數(shù)，事物的變化無非是各向量值的變化. 變模方式就是事物的變化方式，人類“以直代曲”通過變模效應(yīng)認(rèn)識(shí)宇宙時(shí)空流形的慣性，這是質(zhì)量、能量的起源和本質(zhì). 連續(xù)性是保持實(shí)體局域性的邊界約束，如果產(chǎn)生不連續(xù)則意味該子集（流形）的不確定（對(duì)生物形態(tài)而言則意味著死亡）. 量子、原子、分子、細(xì)胞、物體、星球天體等實(shí)物物質(zhì)都具有有界性，基本粒子的衰變過程是時(shí)空流形結(jié)構(gòu)變化的過程，由基本粒子組成原子、分子以至宇宙萬物均是時(shí)空流形的拓?fù)潢P(guān)系.由于紅移效應(yīng)，觀測者在覺得光波頻率紅移的同時(shí)所對(duì)應(yīng)物質(zhì)流形的物理結(jié)構(gòu)和性質(zhì)也發(fā)生了相應(yīng)的變化. 宇宙中任何兩個(gè)不同宇宙點(diǎn)的觀測者，都互相覺得對(duì)方有同樣的紅移. 在宇宙紅移條件下正物質(zhì)世界的人只能看見正物質(zhì)世界的那部分，這是可測性的極限，蘊(yùn)含萬物新陳代謝的極限，也就是任何事物必會(huì)“死亡”的本質(zhì).

法國物理學(xué)家朗之萬（Paul. Langevin）曾提出著名的雙生子佯謬，以雙生子佯謬的思想實(shí)驗(yàn)對(duì)狹義相對(duì)論的時(shí)間膨脹效應(yīng)提出質(zhì)疑——設(shè)想一對(duì)雙胞胎兄弟，一個(gè)留在地球上，另一個(gè)乘坐火箭以接近光速到太空旅行，在太空旅行的雙胞胎回到地球時(shí)只不過增加兩歲，而他的兄弟早已去世，因?yàn)榈厍蛏弦呀?jīng)過去200年了. 以紅移效應(yīng)的觀點(diǎn)來看，雙生子佯謬并不成立. 因?yàn)樘章眯谐霭l(fā)去程時(shí)，雙胞胎兩兄弟的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是相互遠(yuǎn)離（紅移），回程時(shí)則相反（紫移），兩者各自以為（觀測到）對(duì)方發(fā)生紅移（去程時(shí)）或紫移（回程時(shí)）且有相同的變化值，即各自經(jīng)歷的時(shí)間是相同的.

5 時(shí)空流形拓?fù)涞倪B通性與因果性

宇宙萬物的本原均是時(shí)空流形（光子是球面流形拓?fù)浠?，四維時(shí)空流形的投影（變模）既可表現(xiàn)為波動(dòng)性（簡諧振動(dòng)或其復(fù)合運(yùn)動(dòng)），也可表現(xiàn)為粒子性（投影積聚性），即四維時(shí)空流形具有波粒二象性. 光子（波）的傳播是正負(fù)空間交界的事物，是可測性的臨界（視界）. 物質(zhì)結(jié)構(gòu)（時(shí)空流形）既是光子的組合結(jié)構(gòu)，又是光波（簡諧振動(dòng)）的共振方式（共振態(tài)）. 四維球面可理解為“膜”，其投影為余弦函數(shù)即簡諧振動(dòng)的弦（宇宙圓周向直徑上投影），因此，國際物理學(xué)界提出的膜理論和弦理論是統(tǒng)一的，都可反映時(shí)空流形的結(jié)構(gòu). 全維度的宇宙空間流形被縮減為四維表示，超過四維的都以“運(yùn)動(dòng)”來包含，被縮減的其他維度以運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜形式來表現(xiàn)其空間結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性；因此要了解運(yùn)動(dòng)規(guī)律就需要從高維進(jìn)行拓?fù)浞治觯f物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的約束條件就是拓?fù)洳蛔兞俊?、同調(diào)、同倫、同態(tài)、同構(gòu)、連通性、緊致性、可分性、可微性、連續(xù)性等，拓?fù)涞牟⑴c交的方式是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的根本方式.

由于連通性是宇宙空間的拓?fù)湫再|(zhì)，宇宙空間由無差別的點(diǎn)組成零測度的連續(xù)流形，因此萬物是普遍關(guān)聯(lián)的，如圖1所示宇宙圓周的正、負(fù)空間是連通的，負(fù)空間不可測不具有“實(shí)”的存在性，但其與正空間是關(guān)聯(lián)的，具有關(guān)聯(lián)存在性（“虛”的存在性）. 根據(jù)拓?fù)淇臻g的連通性、分離性、緊致性等拓?fù)洳蛔冃钥梢悦枋隽餍蔚慕Y(jié)構(gòu)，流形的交使流形在時(shí)空中受到約束（自由度減?。┒@示為有序性，按拓?fù)湫再|(zhì)可將不同的有序性進(jìn)行分類. 在物質(zhì)的原子、分子層面上有同分異構(gòu)現(xiàn)象（如各種有機(jī)物分子的組成相同而空間結(jié)構(gòu)可以不同）與同原異構(gòu)現(xiàn)象（原子組成相同而結(jié)構(gòu)不同，如石墨和金剛石）. 所謂分離性是指拓?fù)淇臻g的點(diǎn)或子集如何被分離，例如：分離點(diǎn)和點(diǎn)的T2公理（即Hausdorff公理）、分離點(diǎn)和閉集的T3公理（正則性）、分離閉集與閉集的T4公理（正規(guī)性）. 分離性體現(xiàn)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的粒子性及其拓?fù)湫问剑ㄐ螤钅Ｊ剑┖妥兡７绞剑ǚ较蚰Ｊ剑?，而一致連續(xù)性則反映事物變化的因果鏈，在因果鏈中因果性分為直接因果和間接因果. 量子糾纏現(xiàn)象表明互為因果，直接因果的“同時(shí)性”，即共同來源的兩個(gè)粒子，無論相互距離多么遙遠(yuǎn)，當(dāng)其中一個(gè)被操作（例如量子測量）而狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)也會(huì)即刻發(fā)生相應(yīng)的狀態(tài)變化. 量子糾纏是非定域的，并且是無時(shí)延的，糾纏關(guān)系一旦發(fā)生，就會(huì)保持下去，這種直接因果既是因同時(shí)又是果，因?yàn)樽饔门c反作用具有同時(shí)性（如牛頓第三定律），所以粒子具有“記憶能力”，能夠“區(qū)分和識(shí)別”與其有糾纏關(guān)系的特定粒子，能夠不受時(shí)空限制地“認(rèn)識(shí)”和“記住”這種糾纏關(guān)系. 量子糾纏現(xiàn)象的這種因果性正是時(shí)空流形的連通性和“自在性”的一種表現(xiàn)，是可測與不可測、可知與不可知之間的關(guān)聯(lián)實(shí)在性（存在性）.

6 物理常數(shù)與奧伯斯之謎

物質(zhì)實(shí)在性就是空間結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)實(shí)在性，物理常數(shù)來源于流形空間結(jié)構(gòu)的一致性（固有屬性）. 物理常數(shù)的本質(zhì)是時(shí)空流形結(jié)構(gòu)關(guān)系的幾何常數(shù)，表達(dá)物理世界特征的所有可測量的參數(shù)原則上都是可以根據(jù)流形的幾何關(guān)系進(jìn)行推算.

6.1 物理常數(shù)的計(jì)算示例

例1 計(jì)算精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)：電中性的光基量子8個(gè)（正十六胞體一半可測）組成能量最小的電中性粒子的變模交角與光基量子變模交角相差，而粒子流形的能量（質(zhì)量）與變模交角的指數(shù)成正比[4]19，因此可計(jì)算得精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)（本文稱為波粒比例常數(shù)）即

例2 計(jì)算宇宙圓周的最大半徑：根據(jù)光子（波）的紅移效應(yīng)，宇宙圓周半徑是由能量（質(zhì)量）最大（流形半徑為）的粒子（波）紅移到能量最小時(shí)的流形，等效于變模效應(yīng)（變模角）最大的正、反粒子湮滅為變模角為零的過程，變模最大的正、反粒子的變模角[4]19分別是：

這一計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)值相比有誤差，但在宇宙大尺度下具有相同的數(shù)量級(jí).

6.2 奧伯斯之謎的解釋

德國天文學(xué)家奧伯斯（Olbers. Wilhelm)提出“夜空為什么是黑的”稱為奧伯斯之謎——說的是由于宇宙中有許許多多發(fā)光的恒星，因此光線在宇宙中應(yīng)當(dāng)是均衡的，那么宇宙空間應(yīng)該是明亮的，沒有黑暗、沒有星星閃亮. 但是，這顯然與事實(shí)不符.

由圖1的宇宙圓周可知，宇宙空間平分為可測（正空間、正物質(zhì)世界）和不可測（負(fù)空間、負(fù)物質(zhì)世界）兩部分；可測部分（正空間）中的正物質(zhì)（相對(duì)于負(fù)物質(zhì)而言）按電荷的正負(fù)又平分為正物質(zhì)（相對(duì)于反物質(zhì)而言電荷相反）和反物質(zhì)，因此宇宙中任一觀測者對(duì)全宇宙各方面的測度是互相抵消的（宇宙集為零測集）. 光波紅移到宇宙半徑最大處時(shí)形成微波背景輻射（不可見光），由此可解釋“夜空是黑的”. 另一方面，由于變模效應(yīng)使處于正空間中的觀測者可觀測到的物質(zhì)質(zhì)量占全宇宙質(zhì)量的比例為，看到的星光正是紅移過程中的光波（正物質(zhì)的可見光），這就解釋了夜空中有星星閃亮.

7 測不準(zhǔn)原理與不可知空間

這就是海森伯（W. Heisenberg）測不準(zhǔn)原理的公式. 測不準(zhǔn)原理揭示了測量的“精度”和測量極限，確定了時(shí)空流形邊界的臨界性. 一個(gè)觀測者對(duì)宇宙的感知是由其與時(shí)空球面空間的測模關(guān)系去確定的，因此人類不可能感知另一個(gè)宇宙是否存在. 在宇宙內(nèi)的觀測者對(duì)其所處宇宙的總測度在各方面是互相抵消，整個(gè)宇宙可湮沒為虛無，也可以從虛無變?yōu)檎麄€(gè)宇宙. 例如負(fù)電子（正物質(zhì)）與正電子（反物質(zhì)）相遇時(shí)變?yōu)閮蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)方向相反的光子，這兩個(gè)光子經(jīng)過紅移最后可變?yōu)檫吔琰c(diǎn)，因此對(duì)另外的每個(gè)宇宙最多只能認(rèn)為是一個(gè)虛無的幾何點(diǎn)（邊界點(diǎn)）；在宇宙球面空間中，每個(gè)點(diǎn)都可看作是宇宙球面空間的中心點(diǎn)，也都可看作是邊界點(diǎn)，因此可有無窮多個(gè)別的宇宙存在.

宇宙空間中事物的質(zhì)是通過量來描述并由量所構(gòu)成，而量是由可測性來確定，可測性的度量則由測模決定. 存在不可測的量就必然存在不可測的質(zhì). 負(fù)空間中存在不可測的負(fù)物質(zhì)，負(fù)空間的不可測性造成對(duì)稱性破缺引起宇稱不守恒，意味著丟失不可測的量. 對(duì)時(shí)空流形全曲率的度量反映在作用量上，由于零測集的任一子集為零測集，因此宇宙空間內(nèi)任一范圍（任一局部）的測度和為零，即作用量的積分為零，這就是最小作用量原理成立的本質(zhì). 測不準(zhǔn)原理和不可測空間的存在使人類對(duì)宇宙萬物的認(rèn)知分為3種情形： 1）可測可知；2）不可測可知；3）不可測不可知. 根據(jù)哥德爾不完備定理存在不可判定的命題，不可測空間中存在不可知領(lǐng)域，真理之“真值”是不可測的，人類不可能獲得真值（準(zhǔn)確值），只能獲得極限值（理論上的確值而不是實(shí)踐上的確值）. 因此人類對(duì)世界的認(rèn)識(shí)只有相對(duì)真理，不存在絕對(duì)真理. 另一方面，人類是自然的產(chǎn)物是宇宙的一部分，因此人類意識(shí)是宇宙空間的連通空間，不可測、不可知的量雖然不能被表達(dá)但具有關(guān)聯(lián)存在性.

8 結(jié)論

宇宙空間中事物的質(zhì)通過量來描述并由量所構(gòu)成，而量由可測性來確定，可測性的度量則由測模決定，存在不可測的量就必然存在不可測的質(zhì). 宇宙空間自身的存在具有自在性（自然性），其拓?fù)溥B通的一切作用量是自在的、決定性（確定性）的，而時(shí)空測度是觀測者的函數(shù)，人類觀測者選取不同的基準(zhǔn)點(diǎn)就有不同的變模效應(yīng)，也就有不同的結(jié)果，因此宇宙與人類的關(guān)系既是絕對(duì)的（決定的）又是相對(duì)的（可改變的）. 宇宙萬物的存在性取決于關(guān)聯(lián)性，可分為實(shí)在性（實(shí)的關(guān)聯(lián)性）和虛在性（虛的關(guān)聯(lián)性）. 宇宙空間存在測不準(zhǔn)的事物和不可測的空間，也就存在不可知的“虛存在”，這為人們留下了不可知的領(lǐng)域，也為宗教信仰、神學(xué)研究和哲學(xué)分析留下了空間.

參考文獻(xiàn)：

[1] 馮彪. 物理空間的測度分析[J]. 五邑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010, 24(1): 33-34.

[2] 馮彪. 宇宙空間的變模分析[J]. 五邑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012, 26(2): 33-35.

[3] 馮彪. 物質(zhì)結(jié)構(gòu)的拓?fù)浞治鯷J]. 五邑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013, 27(1): 47-48.

[4] 馮彪. 基本粒子的結(jié)構(gòu)分析[J]. 五邑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016, 30(1): 15-23.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

A Mathematical-physic Analysis of Unmeasured Sets

FENGBiao

(Vocational Education Research Institute, Zhanjiang Technician College, Zhanjiang 524037, China)

According to a variable mold effect of the space-time four-dimensional manifold in the universe spherical space, the universe collection testability and the amount of unmeasured is analyzed by using topology and the measure theory. It is pointed out that the unmeasurable space exist in the universe, and it explains physical constants, the arrow of time, the life of matter, the twin paradox and the Olbers mystery.

space-time manifold; variable mode effect; arrow of time; unmeasurable set; uncertainty principle

1006-7302（2016）04-0021-07

O411.1

A

2016-06-13

馮彪（1967—），男，廣東湛江人，高級(jí)講師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)物理.