Banach空間中線性離散時間系統(tǒng)的非一致冪二分性

陳丹丹

（湖北汽車工業(yè)學院理學院，湖北十堰442002）

Banach空間中線性離散時間系統(tǒng)的非一致冪二分性

陳丹丹

（湖北汽車工業(yè)學院理學院，湖北十堰442002）

給出了Banach空間中線性差分方程非一致冪二分性的若干性質，將已知的冪性不穩(wěn)定和指數(shù)二分性結論推廣到非一致冪二分性。

非一致冪二分性；線性離散系統(tǒng)；Lyapunov序列

0　引言

近年來，對有限和無限維空間中的演化方程解的漸近性質的研究已經取得了突破性的進展［1-6］。除了穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性，關于演化方程的二分性研究也引起了較多學者的關注，由于演化方程的二分性存在的問題區(qū)別于穩(wěn)定和不穩(wěn)定性，研究動力系統(tǒng)的漸近行為二分法是一種強有力的工具。在文獻［7］中Perron首次引進了（一致）指數(shù)二分法的概念，這在動力學中起著核心作用，特別是在離散和連續(xù)時間的穩(wěn)定和不穩(wěn)定不變流形的研究中，存在著大量的線性微分方程具有指數(shù)二分性。［8-10］

另一方面，在動力學研究中指數(shù)二分法條件太苛刻，這樣就引起人們去尋找更一般的二分性條件。主要原因是從遍歷理論的角度來看，幾乎所有的變分方程在有限維空間中都具有非一致指數(shù)二分性。最近，一個特殊的非一致冪二分性概念即冪不穩(wěn)定性，由Popa，Ceau?u和Megan在文獻［11-12］中給出。

本文中主要介紹Banach空間中線性離散時間系統(tǒng)的非一致冪二分性的概念，并給出Banach空間中線性離散時間系統(tǒng)的非一致冪二分性的若干性質，將經典的不穩(wěn)定性結論［12］和指數(shù)二分性結論［13］推廣到了非一致冪二分性的性質。作為應用，利用Lyapunov序列得到相關概念的刻畫。

1　符號表示和預備知識

X表示一個實或者復的Banach空間，記空間X上的范數(shù)及其上面的有界線性算子全體B（X）中的范數(shù)為，X上的恒等算子記作I，并記

線性離散時間系統(tǒng)的差分方程為

對所有（m，n）∈Δ，映射φ∶Δ→B（X） 定義為

特殊地，當式（1）是自治的，即對于?n∈N，A（n）=A∈B（X），則有φ（m，n）=Am-n，?（m，n）∈Δ。

定義1 一個映射P∶N→B（X）稱為是X上的一個投影族，如果滿足

對于所有n∈N。

定義2 稱投影族P（n）與系統(tǒng)（1）是相容的，如果滿足

對所有n∈N。

定義2中的等式對于補投影Q（n）也是成立的，且有

對所有（m，n ）∈Δ。

定義3線性離散時間系統(tǒng)（1）稱為是一致冪二分的，如果存在2個常數(shù)D≥1和r∈（0，1），使得

對所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

線性離散時間系統(tǒng)（1）是一致冪二分的，當且僅當存在2個常數(shù)D≥1和r∈（0，1），使得

對于所有（m，n，j）∈TX都成立。

例1令X=R2，c＞1，映射A∶N→B（R2）定義為

定義4線性離散時間系統(tǒng)（1）稱為是非一致冪二分性的，如果存在一個常數(shù)r∈（0， 1）和一個非減序列D∶N→［1，+∞）使得

對于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

當P（n=0）時，可得到非一致冪不穩(wěn)定性的性質，因此一個非一致冪不穩(wěn)定的線性離散時間系統(tǒng)是非一致冪二分的；當Q（n=0）時，可得到非一致冪穩(wěn)定的性質，而且易知若線性離散時間系統(tǒng)是非一致冪穩(wěn)定的，則意味著是非一致冪二分的；當r=時，可以得到非一致指數(shù)二分性的特性。

線性離散時間系統(tǒng)（1）是一個非一致冪二分性的，當且僅當存在一個常數(shù)r∈（0，1）及一個非減序列D∶N→［1，+∞） ，使得

對于所有（m，n，j，x）∈TX都成立。

如果系統(tǒng)（1）是一致冪二分的，則一定是非一致冪二分的，反之未必成立。

例2令X=R2，c＞1及映射定義為

考慮投影族P，Q∶N→B（R2）

則有

本工程建筑平面長寬約為333m×105m，為超長結構，為解決大體積混凝土澆筑易產生的溫差、混凝土收縮以及塔樓與裙房的不均勻沉降等問題，將地上各單體進行分縫處理，地下室部分聯(lián)成一體設置后澆帶處理。根據地質報告提供的土質狀況，東、西翼塔樓基礎采用樁筏，樁基采用直徑800mm的泥漿護壁鉆孔灌注樁基礎；裙房部分采用整體筏板，柱下加下柱墩解決筏板沖切問題。通過上述基礎設置，可有效防止整體建筑的不均勻沉降，并控制柱間的沉降差，使之滿足相關規(guī)范的要求。

其中

進而

通過定義4知系統(tǒng)（1）是非一致冪二分的。

另一方面，如果假設系統(tǒng)（1）是一致冪二分的，那么就存在2個常數(shù)D≥1及r∈（0，1）使得

特別地，當m=n+1=2p+1，得到

當p→+∞即可得出矛盾。因此系統(tǒng)（1）不是一致冪二分性的。

定義5映射L∶ΔX→R+稱為系統(tǒng)（1）的一個Lyapunov序列，如果存在一個常數(shù)l＞1使得

2　主要結論

設系統(tǒng)（1）是Banach空間X上的一個線性離散時間系統(tǒng)，Pn是與系統(tǒng)（1）相容的投影族。

定理1線性離散時間（1）是非一致冪二分性，當且僅當存在2個非減序列

對所有（m，n，x）∈ΔX都成立。類似于文獻［12］中的命題1。

推論1線性離散時間系統(tǒng)（1）是一致冪二分，當且僅當存在一個非減序列 f∶N→，使得

對所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

定理2線性離散時間系統(tǒng)（1）是非一致冪二分性的，當且僅當存在一個常數(shù)d＞1和一個非減序列h∶N→［1，+∞）使得

對于所有（m，n，j），x∈TX都成立。

2）充分性由于

進而可得到

對于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。因此

類似可得

通過上述2個不等式可得系統(tǒng)（1）是非一致冪二分的。

推論2線性離散時間系統(tǒng)（1）是一致冪二分性，當且僅當存在常數(shù)d＞1，h≥1使得

對于所有（m，n，j，）x∈TX都成立。

定理3線性離散時間系統(tǒng)（1）是非一致冪二分性的，當且僅當存在2個常數(shù)d＞1，P＞0和一個非減序列h∶N→［1，+∞）使得

對于所有（m，n，j，x）∈TX都成立。

2）充分性不等式（8）意味著

進而

對于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。因此

類似可得到利用以上2個不等式可得到系統(tǒng)（1）是非一致冪二分的。

推論3線性離散時間系統(tǒng)（1）是一致冪二分性的，當且僅當存在常數(shù)d＞1，p＞0及h≥1使得

對于所有（m，n，j，）x∈TX都成立。

定理4線性離散時間系統(tǒng)（1）是非一致冪二分性的，當且僅當存在一個Lyapunov序列和一個非減序列θ∶N→［1，+∞）使得

對于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

對于定義5中的l∈（1，β），通過簡單的驗證可知L是系統(tǒng)（1）的一個Lyapunov序列。接下來，對于所有（m，n，x）∈ΔX有

因此，不等式（10）是成立的。

2）充分性由條件LS1可得對?（m，n，x）∈ΔX有

由條件LS2～LS3可知，對于所有（m，n，x）∈ΔX

由此，利用式（11）～（12）以及定理1可得到系統(tǒng)（1）是非一致冪二分的。

推論4線性離散時間系統(tǒng)（1）是一致冪二分性，當且僅當存在一個Lyapunov序列和一個常數(shù)θ≥1使得

對于所有（m，n，x）∈ΔX都成立。

［1］Popa I L，Ceau Su T，Megan M.On Exponential Stability for Linear Discrete-time Systems in Banach Spaces［J］. Comput Math Appl，2012，63：1497-1503.

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［13］Popa I L，Megan M，Ceau Su T.Exponential Dichoto?mies for Linear Discrete-time Systems in Banach Spac?es［J］.Appl Anal Discr Math，2012（6）：140-155.

Nonuniform Power Dichotomy for Linear Discrete-time Systems in Banach Spaces

Chen Dandan
（School of Science，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China）

Several characterizations for the nonuniform power dichotomy of the linear difference equations in Banach spaces were given.The well-known results for the power instability and exponential dichoto?my were extended to the case of nonuniform power dichotomy.

nonuniform power dichotomy；linear discrete-time system；Lyapunov sequence

O177.2

A

1008-5483（2016）02-0054-05

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.02.013

2016-01-24

陳丹丹（1988-），女，河南商丘人，碩士，從事計算數(shù)學方面的研究。E-mail：609527301@qq.com