基于RQPSO的顆粒粒徑分布反演算法

張彪，李舒，許傳龍，王式民

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基于RQPSO的顆粒粒徑分布反演算法

張彪1，李舒2，許傳龍1，王式民1

(1. 東南大學(xué)能源熱轉(zhuǎn)換及其過(guò)程測(cè)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京，210096；2. 南京市計(jì)量監(jiān)督檢測(cè)院科技發(fā)展部，江蘇南京，210037)

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法(BQPSO)，提出改進(jìn)量子微粒群算法(IQPSO)和含正則化項(xiàng)的改進(jìn)量子微粒群算法(RQPSO)，并將它們引入到粒徑分布的反演中，利用光全散射法在獨(dú)立模式下，通過(guò)測(cè)量可見(jiàn)光波段內(nèi)不同波長(zhǎng)下的光譜消光值反演幾種粒徑分布，其中正問(wèn)題利用反常衍射近似(ADA)計(jì)算得到估計(jì)值，測(cè)量值則通過(guò)Mie理論計(jì)算得到。研究結(jié)果表明：與BQPSO相比，IQPSO在計(jì)算效率和穩(wěn)定性上得到很大提升；在粒徑分布的反演中，RQPSO提高IQPSO的維數(shù)極限，并具有更高的反演精度、穩(wěn)定性和抗噪性，為粒徑分布的反演提供一種新的方法。

粒徑分布；量子微利群算法；正則化；光全散射法；獨(dú)立模式

顆粒粒徑及其尺寸分布是顆粒技術(shù)最重要的參數(shù)和技術(shù)指標(biāo)之一，在許多情況下，顆粒粒徑不僅直接影響到產(chǎn)品的性能和質(zhì)量，而且與能源的高效利用、環(huán)境污染的防治、生產(chǎn)工藝的優(yōu)化、人身健康的保障等等都密切相關(guān)[1?3]，因此，準(zhǔn)確、快速、穩(wěn)定的顆粒粒徑測(cè)量技術(shù)對(duì)國(guó)防、氣象、煤礦、動(dòng)力、化工等方面有重要意義。光散射法近30年來(lái)隨著激光和計(jì)算機(jī)等技術(shù)的迅速發(fā)展而得到了普遍應(yīng)用，是一種重要的燃燒診斷手段。它通過(guò)測(cè)量顆粒的散射光強(qiáng)來(lái)反演顆粒粒徑分布，能夠?qū)崿F(xiàn)非接觸式在線測(cè)量，具有適用性廣、測(cè)量范圍寬、響應(yīng)快、易于實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化等特 點(diǎn)[4?6]。該方法的最大難點(diǎn)在于如何通過(guò)衰減光譜的反演獲得準(zhǔn)確的粒徑分布，在理論上歸結(jié)于第一類(lèi)Fredholm積分方程的求解。這是一個(gè)典型的不適定問(wèn)題，直接求解具有很大的困難，因此，粒徑分布反演算法的研究受到了眾多研究者的重視[7?9]。光全散射粒徑測(cè)量方法分為獨(dú)立模式算法和非獨(dú)立模式算法，獨(dú)立模式算法事先無(wú)須假定粒徑分布，通過(guò)求解離散線性方程組得到粒徑分布；非獨(dú)立模式算法需要假設(shè)被測(cè)顆粒系的顆粒尺寸分布滿足某個(gè)已知的分布函數(shù)，通過(guò)一定的優(yōu)化方法確定分布函數(shù)中的待定參數(shù)。事實(shí)上，在絕大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，往往不知道被測(cè)顆粒系的粒徑分布規(guī)律，或者顆粒系的尺寸分布無(wú)法簡(jiǎn)單地用某個(gè)分布來(lái)描述，這就使非獨(dú)立模式求得的結(jié)果變得不可靠[10]。目前已經(jīng)發(fā)展了多種獨(dú)立模式下的粒徑分布反演算法，每種算法都有各自的應(yīng)用背景和局限性。傳統(tǒng)算法如：Phillips-Twomey算法、Chahine迭代算法、共軛梯度法等，這些算法存在目標(biāo)函數(shù)及導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)雜、抗噪聲能力差及多峰粒徑重建困難等問(wèn)題。近年來(lái)，遺傳算法、模擬退火法等智能算法也已用于解決粒徑測(cè)量問(wèn)題，與傳統(tǒng)方法相比，智能算法具有很好的全局搜索和抗噪聲能力，但進(jìn)化速度慢，反演結(jié)果不穩(wěn)定等缺點(diǎn)突出[11?12]。本文作者利用光全散射法在獨(dú)立模式下反演了幾種粒徑分布，其中正問(wèn)題利用反常衍射近似(ADA)計(jì)算得到估計(jì)值，測(cè)量值則通過(guò)Mie理論計(jì)算得到；反問(wèn)題方法采用量子微粒群算法，并在標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)提出改進(jìn)量子微粒群算法，在目標(biāo)函數(shù)中利用Markov隨機(jī)場(chǎng)建立正則化項(xiàng)，提升了算法的反演能力，并進(jìn)行了數(shù)值反演驗(yàn)證。

1 正問(wèn)題模型

1.1 光全散射法測(cè)量原理

光全散射法以光的散射理論為基礎(chǔ)，當(dāng)一束光強(qiáng)為0，波長(zhǎng)為的平行單色光照射到厚度為的懸浮待測(cè)顆粒系時(shí)，由于顆粒對(duì)入射光的吸收和散射作用，穿過(guò)顆粒系透射光的光強(qiáng)將減弱。根據(jù)Lambert-Beer定律，如果假設(shè)顆粒系為服從一定粒徑分布范圍的多分散球形粒子系，并且顆粒間滿足不相關(guān)單散射的條件(忽略多次散射效應(yīng))，則多分散球形顆粒系在波長(zhǎng)為時(shí)的消光值可以表示為[13]

式中：0為入射激光強(qiáng)度；為透射光強(qiáng)；為波長(zhǎng)為的消光值，它可以通過(guò)人工實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到；為待測(cè)顆粒系的顆?？倲?shù)；為顆粒系的體積頻度分布；max和min分別為顆粒粒徑分布的上、下限；為消光系數(shù)，它是波長(zhǎng)介質(zhì)復(fù)折射率以及顆粒粒徑的函數(shù)。

將粒徑分布區(qū)間劃分為個(gè)子區(qū)間后，積分項(xiàng)可以變成離散項(xiàng)求和：

式中：c為數(shù)值積分系數(shù)；為整個(gè)待測(cè)粒徑范圍[min,max]內(nèi)劃分的子區(qū)間個(gè)數(shù)；D為各子區(qū)間的等效粒徑。

1.2 Mie理論計(jì)算公式

Mie理論是一種球形顆粒散射特性的嚴(yán)格計(jì)算方法，Mie散射利用光的電磁波性質(zhì)，應(yīng)用Maxwell方程對(duì)散射顆粒形成的邊界條件進(jìn)行求解，以得到光散射的物理量?？捎糜谟?jì)算在單色平行光照射下任意尺寸和任意成分的球形顆粒的散射場(chǎng)[1]。利用Mie理論推導(dǎo)得到的顆粒消光系數(shù)的計(jì)算公式為

(4)

(6)

(7)

1.3 ADA計(jì)算公式

由于Mie理論公式計(jì)算繁瑣，特別是計(jì)算中涉及到無(wú)窮級(jí)數(shù)求和問(wèn)題，占用大量?jī)?nèi)存資源和計(jì)算時(shí)間，不適合作為在線檢測(cè)的正問(wèn)題求解模型。反常衍射近似(ADA)假設(shè)顆粒的消光主要是吸收以及透射光與衍射光之間的干涉引起的，它的計(jì)算速度要遠(yuǎn)快于Mie理論的計(jì)算速度。最初的ADA只能適用于滿足＞＞1和＜＜ 1條件的粒子，ZHAO等[14]引入邊界效應(yīng)，提出了修正ADA算法，擴(kuò)展了的適用范圍。

(9)

當(dāng)粒徑為0.1~10 μm時(shí)，修正消光系數(shù)為

2 反問(wèn)題模型

2.1 標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法(BQPSO)

量子微粒群算法是由SUN等[15]提出。量子微粒群算法將PSO系統(tǒng)看成是一個(gè)量子系統(tǒng)，每個(gè)粒子具有量子行為，量子的狀態(tài)由波函數(shù)決定，為粒子的位置的概率密度。在第次迭代中，粒子在維搜索空間內(nèi)以粒子的局部吸引因子為中心在領(lǐng)域內(nèi)搜索。

(12)

(13)

式中：，1和2為[0,1]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；1和2為加速系數(shù)；p為粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)位置在第維上的坐標(biāo)；為群體歷史最優(yōu)位置在第維上的坐標(biāo)；為吸引擴(kuò)散系數(shù)，在＜1.781時(shí)可以保證量子微粒群的全局收斂。

2.2 改進(jìn)量子微粒群算法(IQPSO)

對(duì)于一般的優(yōu)化過(guò)程來(lái)說(shuō)，初始粒子位置相對(duì)分散有利于群體的尋優(yōu)，在標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法中，初始化中是利用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生位置的，這樣有可能在初始化的過(guò)程中，產(chǎn)生位置相近的粒子，本文將典型的logistic映射應(yīng)用于產(chǎn)生混沌的信號(hào)，這樣初始化得到的粒子位置會(huì)相對(duì)分散。

如同其他群體智能優(yōu)化算法一樣，標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法在進(jìn)化后期容易喪失種群的多樣性，這樣也不利于優(yōu)化，本文引進(jìn)了基因變異機(jī)制，它可以幫助粒子逃出局部最優(yōu)位置而增加種群的多樣性。位置更新可由下式來(lái)確定：

(17)

2.3 含正則化項(xiàng)的量子微粒群算法(RQPSO)

當(dāng)反演參數(shù)過(guò)多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法和改進(jìn)量子微粒群算法容易達(dá)到維數(shù)極限，導(dǎo)致反演結(jié)果不穩(wěn)定而失效，這時(shí)通常需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行光滑化處理。本文在改進(jìn)量子微粒群算法的基礎(chǔ)上，利用Markov隨機(jī)場(chǎng)理論認(rèn)為每個(gè)待測(cè)粒徑范圍[min,max]的子區(qū)間上的體積頻率密度僅僅與它鄰近子區(qū)間的體積頻率密度有關(guān)，與其他子區(qū)間內(nèi)的體積頻率密度無(wú)關(guān)，整個(gè)待測(cè)粒徑范圍內(nèi)的體積頻率密度為一個(gè)Markov隨機(jī)場(chǎng)，因而建立起目標(biāo)函數(shù)的正則化項(xiàng)，其中目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式如下：

(20)

式中：為測(cè)量值；為估計(jì)值；為光順矩陣；為向量的2-范數(shù)。

3 結(jié)果與討論

3.1 正問(wèn)題驗(yàn)證

為了驗(yàn)證ADA的可靠性，本文通過(guò)Mie理論的計(jì)算結(jié)果來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。在可見(jiàn)光范圍內(nèi)，光全散射法的最佳粒徑測(cè)量范圍為0.1~10.0 μm[1]，本文粒子的復(fù)折射率參照典型飛灰粒子，它的范圍分別為和[6]。因此，分別利用Mie理論和ADA計(jì)算復(fù)折射率為的粒子在波長(zhǎng)為0.45 μm下消光因子和復(fù)折射率為的粒子在波長(zhǎng)為0.73 μm下消光因子，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

(a) m=1.44+1.00i，λ=0.45 μm; (b) m=1.235+0.01i，λ=0.73 μm

從圖1可以看出：ADA的計(jì)算結(jié)果與Mie理論的計(jì)算結(jié)果十分吻合，但ADA的計(jì)算效率是Mie理論的1 758倍。因此，ADA適合作為粒徑反演中正問(wèn)題的求解方法，而Mie理論的計(jì)算結(jié)果可以作為粒徑反演中的測(cè)量值。

3.2 函數(shù)反演

為了比較標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法(BQPSO)和改進(jìn)量子微粒群算法(IQPSO)的性能，文中通過(guò)選用Sphere函數(shù)、Rastrigin函數(shù)和Schaffer函數(shù)3種標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)這2個(gè)算法進(jìn)行研究，其具體參數(shù)如表1所示。

在這2種算法中粒子的總數(shù)都為p=50，最大迭代次數(shù)都為t=50 000，吸引擴(kuò)散系數(shù)隨著迭代從0.9線性下降到0.4，在改進(jìn)量子微粒群算法中混沌系數(shù)為3.9，變異因子為0.05，本文中若未作特別說(shuō)明，算法的參數(shù)設(shè)置保持不變。為了對(duì)比這3種算法的計(jì)算效率和魯棒性，將每種算法都獨(dú)立執(zhí)行100次，計(jì)算結(jié)果如表2所示。從表2可以看出：隨著測(cè)試函數(shù)維數(shù)的增加，這2種算法的迭代次數(shù)均增加，標(biāo)準(zhǔn)偏差也在增大；相比于標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法而言，改進(jìn)量子微粒群算法在計(jì)算效率和穩(wěn)定性上得到了很大的提升，說(shuō)明了改進(jìn)量子微粒群算法在性能上具有很大的優(yōu)勢(shì)。在后續(xù)的算例中，本文都采用改進(jìn)量子微粒群算法作為反問(wèn)題的求解方法。

表1 3個(gè)測(cè)試函數(shù)的具體參數(shù)

表2 在固定精度下3種算法執(zhí)行100次的迭代次數(shù)

3.3 單峰分布反演

為了考察量子微粒群算法在粒徑反演中的效果，本文利用改進(jìn)量子微粒群算法(IQPSO)和含正則化項(xiàng)的改進(jìn)量子微粒群算法(RQPSO)反演1個(gè)服從單峰R-R分布的顆粒系，表達(dá)式為

已知顆粒系的粒徑范圍為0.01~1.00 μm，顆粒的復(fù)折射率為。首先將粒徑范圍均勻的分成10個(gè)子區(qū)間，通過(guò)在可見(jiàn)光波段內(nèi)選擇10個(gè)波段來(lái)測(cè)量粒子系的消光值，反演出10個(gè)子區(qū)間內(nèi)的體積頻率密度，反演結(jié)果如圖2(a)所示，其中算法的搜索范圍為。為了衡量反演結(jié)果的優(yōu)劣，定義誤差為

(22)

式中：ret和ori分別為顆粒體積頻率密度的反演值和真值。

為了考察2種算法的維數(shù)極限，將粒徑分布范圍的子區(qū)間劃分成20份，反演的誤差水平分別為和，反演結(jié)果如圖2(b)所示。從圖2(b)可以看出：IQPSO算法的反演結(jié)果已經(jīng)嚴(yán)重偏離真實(shí)分布，而RQPSO算法的反演結(jié)果能很好地符合真實(shí)分布。

為了考察RQPSO算法能力的提升程度，將粒徑分布范圍的子區(qū)間分別劃分成30份和50份，它們的反演誤差水平分別為和，反演結(jié)果分別如圖2(c)~(d)所示。從圖2可以看出：反演的分布都基本符合真實(shí)分布。說(shuō)明RQPSO的反演能力得到了很大提升，不僅提高了反演的維數(shù)極限，而且提高了反演的精度。

子區(qū)間數(shù)量/份：(a) 10；(b) 20；(c) 30；(d) 50

3.4 雙峰分布反演

為了進(jìn)一步的考察含正則化項(xiàng)的改進(jìn)量子微粒群算法的性能，本文利用其反演了1個(gè)服從雙峰R-R分布的顆粒系，表達(dá)式為

(23)

顆粒系的粒徑范圍和復(fù)折射率與上述顆粒系相同，分別將粒徑范圍劃分成20份和30份，它們的反演誤差水平分別為和，反演結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：反演的分布都基本符合真實(shí)分布，進(jìn)一步證明了RQPSO算法的可靠性。

3.5 誤差分析

為了考察測(cè)量誤差對(duì)反演結(jié)果的影響，本文以單峰分布為例，將粒徑范圍劃分成30份，分別加入0，2%，5%和10%的測(cè)量誤差后，反演誤差水平分別為，，和，反演結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出：隨著測(cè)量誤差的增大，反演的誤差水平有所增加，但反演的分布基本符合真實(shí)分布，說(shuō)明了含正則化的改進(jìn)量子微粒群算法具有很好的抗噪性能。

子區(qū)間數(shù)量/份：(a) 20；(b) 30

測(cè)量誤差/%：1—Original；2—0；3—2；4—5；5—10。

4 結(jié)論

1) 針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法，提出了改進(jìn)量子微粒群算法和含正則化項(xiàng)的改進(jìn)量子微粒群算法，通過(guò)函數(shù)反演證明了改進(jìn)量子微粒群算法相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量子微粒群算法具有更高的效率和穩(wěn)定性。

2) 將改進(jìn)的量子微粒群算法引入到粒徑分布的反演當(dāng)中，利用光全散射法在獨(dú)立模式下反演了服從單峰分布和雙峰分布的顆粒系粒徑分布，得出含正則化項(xiàng)的改進(jìn)量子微粒群算法提高了改進(jìn)量子微粒群算法的維數(shù)極限，并具有更高的精度和可靠性。

3) 含正則化項(xiàng)的改進(jìn)量子微粒群算法具有很好的抗噪性能，為獨(dú)立模式下的粒徑分布反演提供了一個(gè)新的方法。

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(編輯 陳愛(ài)華)

Retrieval of particle size distribution based on RQPSO algorithm

ZHANG Biao1, LI Shu2, XU Chuanlong1, WANG Shimin1

(1. Key Laboratory of Energy Thermal Conversion and Control of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China;2. Technology Development Department, Nanjing Institute of Measurement and Testing Technology, Nanjing 210037, China)

An improved quantum behavior particle swarm optimization (IQPSO) and regularized quantum behavior particle swarm optimization (RQPSO) were developed based on basic quantum behavior particle swarm optimization (BQPSO). Furthermore, these three algorithms were introduced in retrieval of particle size distribution (PSD). Several types of PSDs were retrieved by measuring the spectral extinction values in the visible spectrum, which used total light scattering method under independent mode. In the direct problem, the anomalous diffraction approximation was used to calculate the estimation values, and Mie theory was used for measurement values. The results show that the efficiency and stability of the IQPSO algorithm was proved to be more greatly improved than the BQPSO algorithm. For the retrieval of these PSDs, the RQPSO algorithm has better performances on dimension limit, accuracy, stability and noise immunity than the IQPSO algorithm. Thus, this algorithm provides a new method for retrieving of PSDs.

particle size distribution; quantum behavior particle swarm optimization; regularization; total light scattering; independent mode

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.11.040

TP212

A

1672?7207(2016)11?3922?07

2016?01?02；

2016?03?20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51506030, 51376049)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20150622)；國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局科技計(jì)劃項(xiàng)目(2012QK176) (Projects(51506030, 51376049) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(BK20150622) supported by theNatural Science Foundation of Jiangsu Province; Project(2012QK176) supported by the State Administration of Quality Supervision, Inspection and Quarantine Science and Technology)

許傳龍，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事多相流測(cè)試方面的研究；E-mail: chuanlongxu@seu.edu.cn