圓，妙不可言

鄒紅豐

近年來(lái)，中考對(duì)有關(guān)《圓》這部分內(nèi)容作了調(diào)整，將圓從高高在上的位置上降了下來(lái)，圓的證明題減少、難度降低；但圓又隨時(shí)“潛伏”在中考的考題中，它可以“圓滑”地安裝在幾何圖形中，它也可以與三角函數(shù)相“混搭”。下面以部分中考題為例，來(lái)體會(huì)“圓”的妙不可言之處。

一、圍繞“定義”做文章

圓有兩個(gè)定義：①平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長(zhǎng)為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡(jiǎn)稱圓；②到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。根據(jù)這兩個(gè)定義我們可以在幾何圖形中找到圓的影子。

例1.如圖1，⊙P在第一象限，半徑為3。動(dòng)點(diǎn)A沿著⊙P運(yùn)動(dòng)一周，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B，再以AB為邊作等邊三角形△ABC，點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)C隨點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為—。

【評(píng)析】如圖2，連接CO，利用等邊三角形的性質(zhì)，CO=AO，點(diǎn)C隨點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)成圓。點(diǎn)A在以P為圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)定義②，那么動(dòng)點(diǎn)C的集合也應(yīng)該是一個(gè)圓。當(dāng)OA經(jīng)過(guò)圓心P與⊙P交于A1A2兩點(diǎn)，且OA1≤OA≤OA2，則OA1≤OC≤OA2，所以由點(diǎn)C組成的圓的直經(jīng)C1C2=A1A2=6，S=27。

在教材中，雖然對(duì)圓的概念教學(xué)是“認(rèn)知”“理解”，但是按照學(xué)生思維發(fā)展的自然規(guī)律，學(xué)生已經(jīng)對(duì)圓的“定義”具備了分析、運(yùn)用的能力。在有些幾何問(wèn)題中圓的條件并不明顯，特別是一些動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，我們可以通過(guò)畫圖分析尋找規(guī)律（動(dòng)點(diǎn)的軌跡），將“潛伏”在圖中的圓的幾何特征代數(shù)化—如果存在某個(gè)定點(diǎn)（圓心），動(dòng)點(diǎn)到這個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（半徑）或者與已知線段有一定數(shù)量關(guān)系，這樣我們就可以構(gòu)造一個(gè)圓來(lái)解決，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的巧用，同時(shí)通過(guò)這一轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

二、小心“角”里藏玄機(jī)

有些題目中，會(huì)提到一個(gè)角，它是一個(gè)定值，它的頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)，要找這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置。圓里面的圓周角和圓心角都有上面的特點(diǎn)，當(dāng)弧長(zhǎng)一定時(shí)，它所對(duì)的圓周角和圓心角是相等的，這時(shí)，我們只要構(gòu)造一個(gè)圓，把這個(gè)動(dòng)點(diǎn)“引導(dǎo)”到圓上的特殊位置，問(wèn)題就能迎刃而解。

例2.如圖3，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)E在邊AB上，且AE=1，已知點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，過(guò)點(diǎn)O作直線EP的垂線段，垂足為點(diǎn)H，在點(diǎn)P從點(diǎn)F（0，）運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O的過(guò)程中，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為—。

【評(píng)析】如下圖4所示，題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，H，我們首先要找到動(dòng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡，因?yàn)镺H⊥EP，∠OHE=90°所以點(diǎn)H在以O(shè)E為直徑的圓上（直徑所對(duì)的圓周角等于90°）。點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑?jīng)Q定了點(diǎn)H在圓上的起始位置，即求H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)就是求某段弧長(zhǎng)。OE=，以O(shè)E為直徑構(gòu)造半圓，圓心是點(diǎn)D。點(diǎn)P從F（0， ）運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O（0，0），則EP與半圓的交點(diǎn)從點(diǎn)G到原點(diǎn)O，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是弧OG，所以O(shè)G⊥EF，OE= ，半徑DO=DG= ，利用面積求OG=。因?yàn)镺D2+DG2==25=OG2。

所以△ODG為直角三角形，∠ODG=90°，lOG=

本題中∠OHE=90°，所以O(shè)E是構(gòu)造的圓的直徑，找圓心和半徑比較容易。在解決這一類問(wèn)題時(shí)，我們巧妙地“挖掘”出圓中圓周角、圓心角，靈活地利用了垂徑定理，讓學(xué)生看到圓的價(jià)值，體現(xiàn)圓的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓的興趣。

三、“三角函數(shù)”來(lái)混搭

例3.如圖5，直線y=﹣x+3與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P（2，1）。

（1）求該反比例函數(shù)的關(guān)系式。

（2）設(shè)PC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′。①求△A′BC的周長(zhǎng)和sin∠BA′C的值；②對(duì)大于1的常數(shù)m，求x軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得sin∠BMC= 。

【評(píng)析】本題綜合性比較強(qiáng)，難度系數(shù)比較大，特別是最后一小題，題目的條件是很難發(fā)現(xiàn)圓的。關(guān)鍵地方是∠BMC的正弦值中1和m都是已知的，由BC=2，sin∠BMC= ，我們可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，它的直角邊=BC=2，斜邊長(zhǎng)=2m，則該直角邊所對(duì)的角就等于∠BMC，這時(shí)候我們就可以聯(lián)想到在以BC為弦，半徑為m的⊙E上找點(diǎn)M。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們依次挖掘出圓周角、三角函數(shù)、圓與直線的位置關(guān)系這些條件，將這些條件得到的結(jié)論相結(jié)合，使得棘手的問(wèn)題迎刃而解。在整個(gè)解題過(guò)程中，圓的知識(shí)所起的作用雖不是驚心動(dòng)魄，但確實(shí)不可或缺，似有一種潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的感覺(jué)，三角函數(shù)在此題中的運(yùn)用也絕妙無(wú)比，這正說(shuō)明了數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它不可能孤立地研究某一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，只能是在全面認(rèn)知的基礎(chǔ)上有所突破。

四、幾點(diǎn)反思

中考對(duì)于圓的考查，從容易到難都會(huì)有，關(guān)鍵是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要善于挖掘圓的條件，將圓的知識(shí)作為轉(zhuǎn)化和過(guò)渡，這就要求教師在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，具體而言要做到以下三點(diǎn)：

1.知識(shí)過(guò)關(guān)：對(duì)于圓的定義、基本元素及其性質(zhì)，垂徑定理，圓與直線的位置關(guān)系等要熟練掌握并會(huì)運(yùn)用。

2.善于分析：有的問(wèn)題單純考查圓的知識(shí)，難度不大；但有些問(wèn)題中沒(méi)有明顯提到圓，所以要善于分析，挖掘出圓的哪些知識(shí)點(diǎn)，并加以轉(zhuǎn)化構(gòu)造出圓來(lái)解決問(wèn)題。

3.善于觀察聯(lián)想：通過(guò)觀察圖形發(fā)現(xiàn)基本定理、性質(zhì)和定義等所對(duì)應(yīng)的圖形，建立條件之間的聯(lián)系，逐步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化。特別是解綜合題，它是一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的系統(tǒng)工程，需要在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步培養(yǎng)這種能力。

因此，在中考復(fù)習(xí)中，對(duì)于“圓”的專題練習(xí)，教師要教會(huì)學(xué)生通過(guò)多種方法將并列的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)解決問(wèn)題，使它們始終圍繞著“圓”這一個(gè)主題進(jìn)行，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)到“圓”的妙不可言。同時(shí)，教師在教學(xué)過(guò)程中，要注重對(duì)學(xué)生的觀察、操作、分類、歸納等活動(dòng)進(jìn)行積極地評(píng)價(jià)，關(guān)注他們思維的多樣化和表達(dá)的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，教會(huì)他們用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)世界。