序半群模糊理想的新推廣

顏鳳

（羅定職業(yè)技術學院 教育系，廣東 羅定 527200）

序半群模糊理想的新推廣

顏鳳

（羅定職業(yè)技術學院 教育系，廣東 羅定 527200）

從序模糊點的角度介紹序半群的）-模糊理想的概念，并研究它的相關性質。進而，介紹序半群的素）-模糊理想的概念，并且給出這些概念的刻畫。作為這些結果的應用，通過適當修改可以在普通半群中得到相應的性質。

序半群；強凸模糊集）-模糊理想；素）-模糊理想

1965年，Zadeh引入的模糊集概念，奠定了模糊集理論的基礎。利用模糊集的概念，Rosenfeld［1］將代數(shù)結構模糊化，介紹了模糊子群的概念，這是對經(jīng)典代數(shù)理論的推廣。需要指出的是Bhakat和Das在模糊點和模糊子群之間使用“屬于”關系（∈）和“擬一致”關系（q）給出了-模糊子群的概念，并且介紹了）-模糊子群的概念［2］。事實上）-模糊子群是對Rosenfeld的模糊子群的一個重要且實用的推廣，這個概念也被進一步研究［3，4］。

Kehayopulu和Tsingelis首先在序半群中引入序模糊子集［5］，然后將序半群中一些有用的概念“類似”地推廣到模糊序半群中。近來，序半群的模糊集理論被不斷研究［6-12］。特別是，謝祥云和唐劍介紹了序半群的序模糊點的概念［9］，并且研究了序半群的素模糊理想［11］。他們利用序半群的模糊點，給出了序半群的-模糊理想和-模糊（廣義）雙理想，并且利用這些概念刻畫了正則序半群。本文的目的是研究序半群的一類新的模糊理想，稱為-模糊理想；進而給出序半群利用-模糊理想概念得出一些相應的結論；最后，本文引入了序半群的素-模糊理想的概念，并利用其研究了它們的一些有趣的性質。這篇文章是從序半群理論到“模糊”序半群理論過渡的一個例子。作為本文結果的應用，在半群中經(jīng)過適當修改便可得到相應的結論。

1　預備知識

在本文中，S是一個序半群，即半群S上有偏序關系“≤”使得

（a，b，x∈S）a≤b?xa≤xb，ax≤bx。

S到單位閉區(qū)間［0，1］的映射 f稱為S的模糊子集。序半群S本身是一個模糊子集，使得S（x）=1，?x∈S。

用F（S）表示S的所有模糊子集的集合，對于f，g∈F（S），如果（?x∈S）f（x）≤g（x），則稱 f?g。對于?x∈S，f?g，f?g定義如下：

容易證明（F（S），?，?，?）形成一個以S為最大元和0為最小元的完備格，其中0是一個從S到單位閉區(qū)間［0，1］的映射，定義如下：

0:S→［0，1］，x→0（x）:=0，?x∈S。

容易知道，這個運算“°”滿足結合律，（F（S），°，?）構成一個序半群。

假設S為序半群。對于H?S，定義：

對于H=｛a｝，用（a］代替（｛a｝］。對于S的子集A和 B，有：（1）A?（A］；（2）如果 A?B，那么（A］?（B］；（3）（A］（B］?（AB］（參見［13］）。

序半群S的一個非空子集A稱為S的左（右）理想，如果A滿足：（1）SA?A（AS?A）；（2）如果a∈A，且S?b≤a，那么b∈A。如果A既是S的左理想又是S的右理想，那么A叫做S的（雙邊）理想［13］。S的理想 A叫做素理想，如果（?x，y∈S）xy∈A，那么x∈A或y∈A。

序半群S的模糊子集 f稱為S的模糊左（右）理想，如果f滿足：

（1）x≤y?f（x）≥f（y），

（2）（?x，y∈S）f（xy）≥f（y）（f（xy）≥f（x））。

S的模糊子集 f稱為S的模糊理想，如果它既是S的模糊左理想，又是S的模糊右理想（見［5］）。

定義1［9］假設 f是S的模糊子集，定義（f］如下：

S的模糊子集 f稱為強凸的，如果 f=（f］。由定義1，對于序半群S的模糊點aλ和強凸模糊子集 f，有aλ∈f當且僅當 f（a）≥λ。

引理1［9］假設 f是序半群S的強凸模糊子集，則

引理2［11］假設 f是S的模糊子集，則 f是S的強凸模糊子集當且僅當對任意 x，y∈S，x≤y?f（x）≥f（y）。

定義2［9］序半群S的序模糊點aλ稱為不屬于（不擬一致）S的模糊子集 f，記作aλ∈-f（aλq-f），如果 f（a）＜λ（f（a）+λ≤1）。如果aλ∈-f或aλq-f，我們寫作aλ∈-∨q-f。

引理3［9］假設aλ，bμ（λ≠0，μ≠0）是序半群S的序模糊點，f，g是S的模糊子集，則下列條件成立：

（1）對于 S的所有序模糊點 aλ，bμ，有aλ°bμ=（ab）λ∧μ。特別地，aλ°aλ=（a2）λ；

（2）如果 f，g是 S的模糊理想，那么f°g，f?g是S的模糊理想；

本文未定義的術語可以參考文獻［9，14］。

作為aλq-f概念的推廣，我們將，定義為：f（a）+λ+k≤1，這里k∈［0，1）。如果或我們寫作。本節(jié)我們定義在［6］中給出的序半群的）-模糊理想的一個廣義形式，并介紹令）-模糊理想，這里除非特殊指明，否則k∈［0，1）。

定理1假設S是一個序半群，f是S的模糊子集，則 f是S的-模糊左理想當且僅當對于，f滿足：

反之，假設條件（1）和（2）成立。 令x，y∈S，t∈（0，1］，使得（xy）t∈--f。那么由于 f是S的強凸模糊子集，有 f（xy）＜t?？紤]下面兩種情況：

情況1：如果 f（xy）≥f（y），那么 f（y）＜t。因此

類似定理1，我們有下面兩個定理。

定理2假設S是一個序半群，f是S的模糊子集，則 f是S的）-模糊右理想當且僅當對于?x，y∈S，f滿足：

定理3假設S是一個序半群，f是S的模糊子集，則 f是S的）-模糊理想當且僅當對于?x，y∈S，f滿足：

例1序半群S:=｛a，b，c，d｝，它的乘法運算“·”和序關系“≤”定義如下：

≤:=｛（a，a），（b，b），（b，a），（c，c），（c，a），（c，b），（d，d）｝。

假設 f是S的模糊子集，使得

f（a）=0.2，f（b）=0.3，f（c）=0.4，f（d）=0.2。

定理4假設S是一個序半群，f是S的強凸模糊子集。則 f是S的-模糊理想當且僅當對任意］，

f的水平截集是S的理想。

進一步地，若x≤y，則（f°g）（x）≥（f°g）（y）。事實上，如果Ay=?，那么（f°g）（y）=0。由 f°g是S的模糊子集得 （f°g）（x）≥0=（f°g）（y）。如果Ay≠?，那么由x≤y得Ay?Ax。因此，

證明 類似于定理5，這里略之。

證明 由定理4和定理5，顯然。

定理7假設｛fi|i∈I｝是序半群S的）-模糊理想的集合，則是S的-模糊理想，這里

進一步地，若x≤y，則 f（x）≥f（y）。事實上，由每一個 fi（i∈I）都是S的）-模糊右理想，得。于是，

類似于上面的定理，可以得出下面的結論：

3　序半群的素-模糊理想

例2考慮例1中的序半群，并定義S的模糊子集f如下：

f（a）=0.2，f（b）=0.3，f（c）=0.4，f（d）=0.3。

反之，假設對任意?x，y∈S，都有

則f （x）＜t，f （y）＜t。

情況1：若t＞1-k，則 f（xy）≤t，即（xy）∈-f。因此，（xy）t∈-∨q--kf。

定理10設S是一個序半群，f是S的強凸模糊子集，則 f是S的素）-模糊理想當且僅當對于任意的］，f的水平截集是S的素理想。

［1］ Rosenfeld A.Fuzzy groups［J］.Journal of MathematicalAnalysis and Applications，1971，35（3）：512-517.

［2］ Bhakat S K，Das P.（∈，∈∨q）-fuzzy subgroup［J］. Fuzzy Sets and Systems，1996，80（3）：359-368.

［3］ Jun Y B，Khan A，Shabir M.Ordered semigroups characterized by their（∈，∈∨q）-fuzzy bi-ideals［J］.Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society，2009，32（3）：391-408.

［4］ Shabir M，Jun Y B，Nawaz Y.Semigroups characterized by（∈，∈∨qk）-fuzzy ideals［J］.Computers& Mathematics with Applications，2010，60（5）：1473-1493.

［5］ Kehayopulu N，Tsingelis M.Fuzzy sets in ordered groupoids［J］.Semigroup Forum，2002，65：128-132.

［6］ Khan A，Jun Y B，Shabir M.A study of generalized fuzzy ideals in ordered semigroups［J］.Neural Computing&Applications，2012，21（1）：S69-S78.

［7］Tang J，Xie X Y.A study on ordered fuzzy points of ordered semigroups［J］.Journal of Information and Computational Science，2012，17（9）：5425-5432.

［8］ Tang J，Xie X Y.On（∈，∈∨qk）-fuzzy ideals of ordered semigroups［J］.Fuzzy Information and Engineering，2013，5（1）：57-67.

［9］ Xie X Y，Tang J.Fuzzy radicals and prime fuzzy ideals of ordered semigroups［J］.Information Sciences，2008，178（22）：4357-4374.

［10］Xie X Y，Tang J.Regular ordered semigroups and intra-regular ordered semigroups in terms of fuzzy subsets［J］.Iranian Journal of Fuzzy Systems，2010，7（2）：121-140.

［11］Xie X Y，Tang J，Yan F.A characterization of prime fuzzy ideals of ordered semigroups［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2008，22（1）：39-44.

［12］Xie X Y，Yan F.Fuzzy ideals extension of ordered semigroups［J］.Lobachevskii Journal of Mathematics，2005，19：29-40.

［13］Kehayopulu N，Tsingelis M.On weakly prime ideals oforderedsemigroups［J］.MathematicaJaponica，1990，35（6）：1051-1056.

［14］謝祥云.序半群引論［M］.北京：科學出版社，2001.

A new generalization of fuzzy ideals in ordered semigroups

YAN Feng

（Department of Education，Luoding Polytechnic，Luoding Guangdong 527200，China）

In this paper，the concept of）-fuzzy ideals of an ordered semigroup S is introduced by the ordered fuzzy points of S，and related properties are investigated.Furthermore，the concept of prime）-fuzzy ideals of ordered semigroups is introduce，and some characterizations of this notion are given.As an application of these results，the corresponding results in ordinary semigroups can be also obtained by moderate modification.

ordered semigroup；strongly convex fuzzy subset；-fuzzy ideal；prime）-fuzzy ideal

O152.7

A

1004-4329（2016）02-007-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-007-05

2016-02-27

國家自然科學基金（11361027，11271040）；廣東省自然科學基金（2014A030313625）；廣東省教育廳重大項目（自然科學類）（2014KZDXM055）；安徽省高等學校自然科學研究重點項目（KJ2015A161）；2015年廣東省高等職業(yè)教育質量工程項目資助。

顏鳳（1980－），女，碩士，講師，研究方向：模糊代數(shù)。