帶有隨機激活機制的鈍化網(wǎng)絡模型研究

王學文,羅月娥,潘偉偉,楊　豐

(1.貴州師范學院物理與電子科學學院，貴州貴陽　550018;2.景德鎮(zhèn)陶瓷學院機械電子工程學院，江西景德鎮(zhèn)　333403)

?

帶有隨機激活機制的鈍化網(wǎng)絡模型研究

王學文1,羅月娥1,潘偉偉1,楊豐2

(1.貴州師范學院物理與電子科學學院，貴州貴陽550018;2.景德鎮(zhèn)陶瓷學院機械電子工程學院，江西景德鎮(zhèn)333403)

在一般的鈍化網(wǎng)絡模型中，節(jié)點從活性態(tài)到鈍化態(tài)的變化是一個絕對鈍化過程，即不可逆的老化過程.在實際情況中，已經(jīng)失去活性的節(jié)點在某一情況下又會被重新激活，成為活性態(tài)節(jié)點.本文提出了帶有隨機激活行為的鈍化網(wǎng)絡模型,采用差分方程和率方程分別對網(wǎng)絡演化過程中的活性態(tài)節(jié)點和休眠態(tài)節(jié)點進行了描述，對網(wǎng)絡中的度分布進行解析求解和數(shù)值模擬，得到了相一致的結果.

鈍化網(wǎng)絡；鈍化；激活；度分布；

復雜網(wǎng)絡是研究復雜系統(tǒng)的有力工具.如果網(wǎng)絡中用節(jié)點來代表個體，用節(jié)點之間的連邊來表示個體間的相互作用，真實系統(tǒng)就能夠抽象成網(wǎng)絡來進行研究[1-2].自從BA模型提出以來，有關增長網(wǎng)絡模型的性質和動力學得到了深入研究[3-6].然而在真實的網(wǎng)絡世界中，節(jié)點的老化效應也非常重要，由此人們對于老化網(wǎng)絡也進行了深入研究[7-11].Dorogovtsev等[7]在BA模型的基礎上考慮了時間因素的影響，提出了新進節(jié)點與老節(jié)點的連接概率正比于老節(jié)點連接度和老節(jié)點年齡的冪τ-α.他們通過理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當α>1時網(wǎng)絡的無標度屬性消失.2003年，Zhu等[8]也在BA模型的連接概率中引入了與節(jié)點年齡相關的指數(shù)衰減函數(shù).根據(jù)理論分析與數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)生成的網(wǎng)絡除了度分布發(fā)生變化之外還有很多明顯的變化.另外，Klemm和Eguiluz[9-10]通過研究科學引文網(wǎng)絡，觀察到了節(jié)點年齡和連接概率之間存在負相關.在此基礎上，他們考慮了個體的有限集體記憶并提出了一個高聚類系數(shù)的無標度網(wǎng)絡模型.該模型解釋了三種經(jīng)驗特征,偏好連接，冪律分布以及節(jié)點年齡與連接概率之間的負相關性.但是在這個模型中，節(jié)點一旦老化就再也不能獲得新的連接，這個條件太過于絕對.

在真實網(wǎng)絡中，廣泛存在著老化態(tài)節(jié)點再次被激活的現(xiàn)象.最近,Xiong等[11]在綜合考慮了基于節(jié)點個體消耗的老化過程和鈍化態(tài)節(jié)點通過與活性態(tài)節(jié)點相鄰來進行激活的效應，提出了一個帶有鄰居激活機制的耗散網(wǎng)絡模型.在這個模型中，隨著新節(jié)點的不斷加入，活性節(jié)點可能疲于相互作用而慢慢地失去活性成為老化態(tài)節(jié)點.但是，這些老化態(tài)節(jié)點又有可能通過與活性態(tài)節(jié)點相鄰而被激活.他們通過數(shù)值模擬得到了冪律形式的度分布，并且得到了高的聚集系數(shù)和度正相關性.

本文在鈍化網(wǎng)絡模型的基礎上，提出了一個帶有隨機激活行為的鈍化網(wǎng)絡模型.將網(wǎng)絡中節(jié)點的狀態(tài)分為活性態(tài)和休眠態(tài)兩種.在該網(wǎng)絡模型中，同時考慮了新進活性態(tài)節(jié)點不斷地加入和老節(jié)點狀態(tài)不斷轉變的過程.并且就該模型給出了一致的網(wǎng)絡度分布的理論與模擬解析結果.

1　網(wǎng)絡模型

帶有隨機激活機制的鈍化網(wǎng)絡模型描述了帶有激活機制的有向增長網(wǎng)絡.網(wǎng)絡中已有節(jié)點的狀態(tài)分為兩種，活性態(tài)和休眠態(tài).新加入的節(jié)點一開始總是處于活性態(tài)，并且發(fā)出一定數(shù)目的連邊.隨著網(wǎng)絡的演化，活性態(tài)節(jié)點可能會老化暫時失去活性成為休眠態(tài)節(jié)點；然而由于某種原因，休眠態(tài)節(jié)點可能被選擇激活再次成為活性態(tài)節(jié)點.在整個網(wǎng)絡演化的過程中，只有活性態(tài)節(jié)點能夠被新進節(jié)點連接.下面就網(wǎng)絡演化模型進行具體介紹：

1)初始時刻有m0個度為m的節(jié)點，其中有m個為活性態(tài)節(jié)點(這里要求m0>m)，其他節(jié)點的狀態(tài)均為鈍化態(tài)；

3)激活新進節(jié)點i，即新進節(jié)點的初始狀態(tài)為活性態(tài)；

6)返回步驟2，進行演化直到網(wǎng)絡尺寸達到N為止.

該模型可以應用于引文網(wǎng)絡中，活性態(tài)節(jié)點通過老化可能成為休眠態(tài)節(jié)點，這個過程可以認為是一個“遺忘”的過程.休眠態(tài)節(jié)點也能夠通過再次被激活成為活性態(tài)節(jié)點，從而再次受到關注與新進的活性態(tài)節(jié)點連接，即再次被新的文獻引用，該過程也是一個知識的再認識過程.

2　度分布的理論計算及數(shù)值模擬

定義A(k′,t)和D(k′,t)分別為t時刻網(wǎng)絡中具有入度為k′的活性態(tài)節(jié)點和休眠態(tài)節(jié)點的數(shù)目.根據(jù)網(wǎng)絡的演化過程可以寫出網(wǎng)絡的演化方程.

對于活性態(tài)節(jié)點可以寫出差分方程

(1)

對于鈍化態(tài)節(jié)點可以寫出率方程

(2)

其中,μ(k′,t)和π(k′,t)分別為t時刻網(wǎng)絡中具有入度為k′的節(jié)點的激活和鈍化的概率.當網(wǎng)絡規(guī)模足夠大時，網(wǎng)絡中活性態(tài)節(jié)點的度分布趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即

代入(1)式有

(3)

(4)

為了便于分析，本文主要考慮了一種隨機激活和偏好鈍化的情況.在這種情況下，任意一個休眠態(tài)節(jié)點被激活的概率均相等，則t時刻入度為t休眠態(tài)節(jié)點被激活的概率為

(5)

應用極限條件D(k′)=tp(k′)，代入(5)式可得到

(6)

根據(jù)(4)式有

(7)

2.1隨機鈍化

此處的鈍化概率為隨機概率，即每個活性態(tài)節(jié)點被鈍化的概率相等，可得

(8)

將(7)式和(8)式代入(3)式得到

(9)

對上述方程進行求解有

(10)

根據(jù)初始條件可知A(0)的值為1，即表示新進的活性節(jié)點的入度為0.因此，可以得到整個網(wǎng)絡的入度分布為

(11)

為了得到網(wǎng)絡中節(jié)點的整體度分布，這里只需要把上述方程變換成如下的形式

(12)

其中k=k′+m.

生成網(wǎng)絡參數(shù)為m0=m+1，生成網(wǎng)絡的尺寸為n=105，實線為(12)式的最小二乘法擬合結果

圖1度分布的模擬和理論解析解的比較

Fig1Simulatedandtheoreticalresultsofdegreedistribution

圖1給出了這種情況下網(wǎng)絡規(guī)模為105的整個網(wǎng)絡的度分布的模擬和理論解析解的結果，通過最小二乘法擬合，得到對應于m=20，40和80的衰減指數(shù)1/(m+1)分別為0.048(8),0.024(7)和0.012(4).可以看出網(wǎng)絡度分布為指數(shù)分布，并且與解析結果完全一致.

2.2偏好鈍化

此處采用了偏好鈍化機制，即節(jié)點被鈍化的概率正比于該節(jié)點的入度.由此可以得到，當前活性節(jié)點j被鈍化的概率為

(13)

(14)

對上述方程進行求解有

(15)

由初始條件A(0)=1，代入(4)式可得到網(wǎng)絡入度的分布為

(16)

根據(jù)上式可得網(wǎng)絡中節(jié)點的整體度分布，這里將上式變換為

(17)

(18)

由上式可以看出，指數(shù)γ依賴于a和m的取值.當a=m+2時，γ=2.圖2給出了這種情況下網(wǎng)絡規(guī)模為105的整個網(wǎng)絡的度分布的模擬和解析解的結果.通過最小二乘法擬合，得到對應于m=20,40和80的衰減指數(shù)γ+1分別為2.83(7),2.91(6)和2.92(9).可以看出網(wǎng)絡度分布為冪律分布，并且與理論解析結果完全一致.

3　結束語

鈍化網(wǎng)絡模型考慮了節(jié)點的有限記憶性，能夠體現(xiàn)真實世界的許多特性，冪律度分布，高的集團系數(shù)和非負的連通相關性.但是鈍化網(wǎng)絡模型只考慮了不可逆的老化效應，節(jié)點從活性態(tài)到鈍化態(tài)的變化是一個絕對鈍化過程，而實際情況是鈍化態(tài)節(jié)點也有可能會被重新激活.本文在原有的鈍化網(wǎng)絡模型的基礎上考慮了隨機激活機制，采用率方程和差分方程分別對網(wǎng)絡中的活性態(tài)節(jié)點和鈍化態(tài)節(jié)點的演化過程進行了描述，并且找出了這兩個演化方程的內在聯(lián)系.本文就隨機鈍化和偏好鈍化兩種情況對網(wǎng)絡的度分布進行了理論解析求解和數(shù)值模擬.通過最小二乘法擬合，得到了與理論解析解相一致的結果.該模型拓展了原有的鈍化網(wǎng)絡模型，為網(wǎng)絡模型的進一步應用創(chuàng)造了條件.

生成網(wǎng)絡參數(shù)為m0=m+1，α=m+2,生成網(wǎng)絡的尺寸為n=105，實線為公式(17)的最小二乘法擬合結果

圖2度分布和理論解析解的比較

Fig2Simulatedandtheoreticalresultsofdegreedistribution

[1]ALBERTR,BARABASIAL.Statisticalmechanicsofcomplexnetworks[J].Reviews of Modern Physics,2002,74(1):47.

[2]NEWMAN M E J.The structure and function of complex networks[J].SocietyforIndustrialandAppliedMathematics,2003,45(2):167.

[3]BARABASI A L,ALBERT R.Emergence of scaling in random networks[J].Science,1999,286(15):509.

[4]BARABASI A L,ALBERT R,JEONG H.Mean-field theory for scale-free random networks[J].PhysicaA,1999,272(1-2):173.

[5]DOROGOVTSEV S N,MENDS J F F,SAMUKHIN A N.Structure of growth networks with preferential linking[J].PhysicalReviewLetters,2000,85(21):4633.

[6]SHI D H,CHEN Q H,LIU L M.Markov chain-based numerical method for degree distribution of growing networks[J].PhysicalReviewE,2005,71(3):036140.

[7]DOROGOVTSEV S N,MENDS J F F.Evolution of networks with aging of sites[J].PhysicalReviewE,2000,62(2):1842.

[8]ZHU H,WANG X R,ZHU J Y.Effect of aging on network structure[J].PhysicalReviewE,2003,68(5):056121.

[9]KLEMM K,EGUILUZ V M.Highly clustered scale-free networks[J].PhysicalReviewE,2002,65(3):036123.

[10]KLEMM K,EGUILUZ V M.Growing scale-free networks with small-worid behavior[J].PhysicalReviewE,2002,65(5):057102.

[11]XIONG F,LIU Y,ZHU J,et al.A dissipative network model with neighboring activation[J].TheEuropeanPhysicalJournalB,2011,84(84):115.

(責任編輯孫對兄)

The deactivation network model with random activation mechanism

WANG Xue-wen1,LUO Yue-e1,PAN Wei-wei1,YANG Feng2

(1.School fo Physics and Electronic Sciences,Guizhou Normal College,Guiyang 550018,Guizhou,China; 2.School of Mechanical and Electronic Engineering,Jingdezhen Ceramic Institute,Jingdezhen 333403,Jiangxi,China)

In the general deactivation network model,the state change of node is an absolutely deactivation process,it is an irreversible aging process.Considering the actual situation,an inactive node will be reactivated again and become an active node in some cases,this paper presents a deactivation network model with random activation behavior,and the finite difference equations and rate equations are used for describing network evolution process of the active node and dormant node respectively.This paper gives the network degree distributions of the theory analytical solution and numerical simulation,and obtains the consistent results.

deactivation network;deactivation;activation;degree distribution.

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.012

2016-04-23;修改稿收到日期:2016-07-29

貴州省教育廳自然科學研究項目(黔教合KY字[2015]355)；貴州師范學院自然科學研究基金項目(13BS013,13BS012)；貴州省科技廳自然科學研究項目 黔科合J字([2014]2143號)；江西省學位與研究生教育教學改革研究項目(JXYJG-2015-091)

王學文(1976—)，男，江西景德鎮(zhèn)人，副教授,博士.主要研究方向為復雜系統(tǒng)與復雜網(wǎng)絡.

E-mail:icewater0397@163.com

N 94

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0051-04