旋轉倒立擺的起擺與穩(wěn)擺研究與實現(xiàn)

姜香菊　劉二林

(蘭州交通大學自動化學院1，甘肅 蘭州　730070;蘭州交通大學機電學院2，甘肅 蘭州　730070)

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旋轉倒立擺的起擺與穩(wěn)擺研究與實現(xiàn)

姜香菊1劉二林2

(蘭州交通大學自動化學院1，甘肅 蘭州730070;蘭州交通大學機電學院2，甘肅 蘭州730070)

針對倒立擺系統(tǒng)的起擺與穩(wěn)擺問題，利用Lagrange方程建立了單擺與倒立擺的完整數(shù)學模型。采用正反饋控制算法進行單擺的起擺控制，采用雙PID算法進行倒立擺的穩(wěn)擺控制。設計了基于擺桿角度和角速度的兩種能量控制切換模式，并進行了仿真驗證和實物驗證。仿真和實際運行結果表明，所設計的針對角速度的正反饋控制器起擺速度更快，所提出的兩種切換模式可以使控制更穩(wěn)定。

正反饋控制器雙PID旋轉倒立擺單擺起擺穩(wěn)擺動力學分析Lagrange方程

0　引言

倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定、多變量、強耦合的欠驅動非線性機械系統(tǒng)，可以作為典型的控制對象進行研究。倒立擺的種類很多，有直線倒立擺、旋轉倒立擺等。旋轉倒立擺受力分析較其他倒立擺復雜，具有不穩(wěn)定性及非線性，對控制算法有更高的要求[1-2]。

本文采用直流電機、減速機構、微控制器、電機驅動芯片和1 024線小型位置式編碼器等，設計了一個一級旋轉倒立擺；同時，利用Lagrange方程對系統(tǒng)進行了動力學分析，建立了單擺和倒立擺的數(shù)學模型，設計了起擺和穩(wěn)擺控制器。將設計的控制器移植到微控芯片中進行實際測試，結果表明，設計的系統(tǒng)機械結構合理、響應速度快、魯棒性好[3-14]。

1　旋轉倒立擺基本結構

倒立擺簡化模型如圖1所示[3-5]。

圖1　倒立擺簡化模型

旋轉倒立擺主要由微控制器芯片、支撐機架、擺桿、旋臂、小型直流電機、減速器、1 024線位置式編碼器和H橋電路(BT7960)組成。

旋轉倒立擺的旋臂與減速器的旋轉軸連接，直流電機驅動減速器輸出動力，將高速低扭矩旋轉轉換為低速高扭矩旋轉；位置式編碼器1的齒輪與減速器輸出軸的齒輪嚙合，用來檢測旋轉臂轉過的角度，為旋臂位置PID控制提供實時數(shù)據(jù)；位置式編碼器2安裝在旋轉臂末端，并通過轉軸與擺桿連接，為擺桿角度PID控制提供實時數(shù)據(jù)。

2　旋轉倒立擺數(shù)學模型

對于倒立擺系統(tǒng)，當?shù)沽[處于單擺狀態(tài)時，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；當系統(tǒng)處于倒立擺狀態(tài)時，系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)的整個運行過程包括：①對穩(wěn)定的單擺進行控制，使其脫離穩(wěn)定狀態(tài)，并盡快擺至最上方，且角速度接近于0，以達到倒立要求；②對不穩(wěn)定的倒立擺進行控制，使其穩(wěn)定直立。所以，整個系統(tǒng)模型應該包括單擺模型和倒立擺模型。

對于倒立擺系統(tǒng)，擺桿有一個自由度α、旋轉臂有一個自由度θ，可分別令α和θ為廣義坐標系。分析能量組成，可得:

T=T1+T2+T3+T4

(1)

(2)

(3)

(4)

對式(3)進行處理,得式(5)：

(5)

對式(4)進行處理，得式(6)：

(6)

將式(5)、式(6)聯(lián)立得式(7)，式(7)即為該系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程。

(7)

式中:N1=-0.224 6;N2=2.969 7;N3=-0.008 7;N4=-0.679 5;N5=-95.454 5;N6=-0.278 3;N7=4.887 3;N8=4.363 6。

狀態(tài)方程中各參數(shù)如表1所示。

表1　狀態(tài)方程中各參數(shù)列表

(8)

3　旋轉倒立擺控制器設計

3.1單擺的起擺控制

單擺的起擺問題是控制理論中的一個經(jīng)典問題。文獻[8]利用Bang-Bang控制使單擺擺起，但是由于在控制時沒有考慮擺桿角速度的問題，會造成能量的損失，使起擺速度較慢。文獻[9]對單擺的起擺問題進行了探討，并利用能量反饋方法來完成倒立擺的起擺控制，效果良好。文獻[9]的控制規(guī)律Vm=n×g×sign(a×cosα)是根據(jù)單擺基于能量模型得到的。

針對建立的單擺數(shù)學模型，可以利用針對角速度的正反饋比例控制算法，使其迅速震蕩起來。

其控制規(guī)律為：

(9)

圖2　單擺控制系統(tǒng)仿真曲線圖

通過圖2可以看出，擺桿在1.5 s時，擺起角度已經(jīng)接近3.14 rad，即經(jīng)過1.5 s，單擺就能達到擺起要求。由于模型中擺桿初始角度的存在，所以旋臂會朝著一個方向旋轉。同時，由于仿真時輸出限幅為-10～+10 V，所以再增大K，控制效果也無明顯變化。

通過仿真可知，基于式(9)的起擺方法較Bang-Bang控制等傳統(tǒng)方法效果更好[8]。

3.2倒立擺的穩(wěn)定控制

為了實現(xiàn)控制目標，采用雙PID控制。在控制器中，控制器1對倒立擺擺桿的角度α進行控制，控制器輸出極性為正；控制器2對旋臂的角速度θ進行控制，控制器輸出極性為負。

雙PID控制仿真系統(tǒng)結構如圖3所示。

圖3　雙PID控制仿真系統(tǒng)結構圖

在仿真過程中，取Kp1=100、Kd1=0、Ki1=0、Kp2=2.2、Kd2=0.08、Ki2=0.01。

控制器2輸出的電壓值限幅范圍為：-5～+5 V，控制器總體輸出的電壓值限幅范圍為：-10～+10 V。

在控制切換時，倒立擺有以下兩種模式：

①僅考慮擺桿角度，在|α|=0.175 rad時進行切換。在模型中，令α=-0.175 rad、a=0 rad/s，其仿真結果見圖4(a)～圖4(d)所示。

②考慮擺桿角度及角速度，在擺桿的動能和勢能之和接近2m2gL時進行切換。在模型中，令α=-0.175 rad、a=1.728 rad/s，仿真結果見圖4(e)～圖4(h)。

通過對兩種不同控制切換方式的仿真結果對比可以看出：當采用方式2對控制方式進行切換時，擺桿幾乎沒有超調，旋臂旋轉幅度非常小[9-12]。

圖4　控制切換模式仿真結果圖

4　旋轉倒立擺實際運行數(shù)據(jù)分析

將控制算法移植到FreescaleXS128單片機中，通過上位機，對擺桿的角度及旋轉轉臂的角速度進行監(jiān)控。倒立擺運行波形圖如圖5所示。

圖5　倒立擺運行波形圖

在倒立擺系統(tǒng)運行之初，系統(tǒng)角度為0；在起擺控制方式下，系統(tǒng)開始震蕩；在震蕩2次以后，系統(tǒng)角度達到倒立擺控制的要求，系統(tǒng)進入穩(wěn)擺控制模式，倒立擺擺桿被穩(wěn)定控制在直立位置。由于系統(tǒng)傳動齒輪的嚙合問題及傳感器精度和安裝問題，倒立擺穩(wěn)擺后擺桿有些震蕩。

在實際運行時，對兩種不同的起擺、穩(wěn)擺控制切換方式進行對比，在相同電壓(8.2 V)下，基于能量原則的起擺切換方式需要的電流更小。

5　結束語

利用Lagrange方程，建立了單擺數(shù)學模型及倒立擺數(shù)學模型。采用針對角速度的正反饋比例控制算法，可以使穩(wěn)定的單擺系統(tǒng)震蕩，迅速達到倒立擺的起擺要求。該算法較Bang-Bang控制等算法起擺更迅速；使用雙PID控制算法使倒立擺穩(wěn)擺，并對兩種不同的控制切換方法進行了對比。與常規(guī)切換方式相比，基于能量原則的控制切換方式可以使控制更穩(wěn)定。

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ResearchandImplementationoftheSwing-upandStabilizingOperationforRotationalInvertedPendulum

Inordertosolvetheswing-upandstabilizingissuesfortheinvertedpendulum,thecompletemathematicalmodelsforsimplependulumandinvertedpendulumarebuiltbasedonLagrangeequation.Thepositivefeedbackcontrolalgorithmisusedforcontrollingswing-upofthesimplependulum,andthedual-PIDalgorithmisusedtocontrolstabilizingoperationoftheinvertedpendulum.Theenergycontrolswitchingoverbasedonangleofswinglinksandangularvelocityisdesigned,andthesimulationverificationandphysicalverificationareconducted.Theresultsofemulatedandphysicaloperationshowthatthepositivefeedbackcontrollerdesignedforangularvelocitymakesfasterswing-up,Theproposedtwokindsofswitchingmodemakemorestablecontrol.

PositivefeedbackcontrollerDualPIDRotationalinvertedpendulumSimplependulumSwingupStabilizingpendulumDynamicsanalysisLagrangeequation

姜香菊(1979—)，女，2003年畢業(yè)于蘭州交通大學自動控制專業(yè)，獲碩士學位，副教授；主要從事計算機控制及傳感器技術等方向的研究。

TH-3;TP13

ADOI:10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201609002

甘肅省高等學校科研基金資助項目(編號：2014-A-041)。

修改稿收到日期：2016-02-17。