三桿張拉整體折展過程動力學分析

羅阿妮，李旭，李全賀，程建軍，劉賀平

（哈爾濱工程大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

三桿張拉整體折展過程動力學分析

羅阿妮，李旭，李全賀，程建軍，劉賀平

（哈爾濱工程大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

本文針對三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的折展問題，提出一種索驅(qū)動的方法。利用矩陣法分析，使用節(jié)點廣義坐標和連接矩陣描述結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件的位置和空間分布，建立結(jié)構(gòu)數(shù)學模型；通過索構(gòu)件長度協(xié)調(diào)變化，桿構(gòu)件長度不變來分析結(jié)構(gòu)的折展過程。在考慮構(gòu)件彈性的情況下，對水平索為主動構(gòu)件實現(xiàn)結(jié)構(gòu)向軸線方向折疊的運動過程進行了動力學分析。通過仿真分析驗證了此折疊方案的可行性。并對折展過程中構(gòu)件的長度和內(nèi)力的變化進行了分析，分析結(jié)果表明：張拉整體結(jié)構(gòu)通過構(gòu)件長度協(xié)調(diào)變化可實現(xiàn)折展功能，此方法可使用于三桿張拉整體單元以及以三桿張拉整體單元為基礎(chǔ)的復雜張拉整體結(jié)構(gòu)。

張拉整體；節(jié)點廣義坐標；連接矩陣；構(gòu)件內(nèi)力；可展結(jié)構(gòu)

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種由連續(xù)受拉的索和不連續(xù)的受壓桿構(gòu)件組成的自應力穩(wěn)定結(jié)構(gòu)［1］。結(jié)構(gòu)質(zhì)量較傳統(tǒng)的可展結(jié)構(gòu)輕，且折疊后體積緊湊［2］，因此，張拉整體結(jié)構(gòu)的可展研究具有重要意義。

張拉整體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為可展結(jié)構(gòu)的研究中，折展方式和運動過程的動力學分析是兩個重要方面。本文突破了以構(gòu)件為研究對象的傳統(tǒng)動力學模型構(gòu)建方法，基于節(jié)點廣義坐標［3-5］、連接矩陣、系統(tǒng)剛度矩陣［6-9］建立分析模型。為便于分析本文以三桿張拉整體［10-12］單元為基礎(chǔ)進行折展方式的研究及運動過程的動力分析。

1　三桿張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)建

三桿張拉整體結(jié)構(gòu)如圖1所示，由正三棱柱，下端面固定，各棱繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn)150°［3，10］得到。以棱柱下底面形心 o為原點，x軸由形心o指向節(jié)點1，z軸由下底面形心指向上表面形心。結(jié)構(gòu)有6個節(jié)點、9根索、3根桿（細線表示索，粗線表示桿）。

1.1節(jié)點坐標

節(jié)點廣義坐標矢量矩陣［10］:

其中

式中:r為棱柱底面節(jié)點構(gòu)成三角形外接圓半徑，h為棱柱的高度（見圖1）。

圖1　三桿張拉整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Three-bar tensegrity structure diagram

1.2分析構(gòu)件連接矩陣及構(gòu)件矢量陣

連接矩陣的一行，代表系統(tǒng)的一個節(jié)點廣義坐標與系統(tǒng)所有構(gòu)件的關(guān)系（起點“-1”、終點“1”、無關(guān)“0”）。連接矩陣的一列代表系統(tǒng)的一個構(gòu)件與系統(tǒng)所有節(jié)點廣義坐標之間的關(guān)系［3-5］（起點“-1”、終點“1”、無關(guān)“0”）。

桿連接矩陣［10］為

通過節(jié)點矩陣及桿連接矩陣可以得到桿的空間向量:

索的連接矩陣［10］為

通過節(jié)點矩陣及索連接矩陣可以得到索的空間向量:

對構(gòu)件向量求模，可得到桿構(gòu)件長度。

2　折展分析

2.1折展方式

改變桿構(gòu)件或索構(gòu)件的長度都可以促使結(jié)構(gòu)展開和折疊。由于索構(gòu)件長度容易改變，而且其柔性也降低了展收的難度。因此，選擇桿構(gòu)件長度不變，只調(diào)節(jié)索構(gòu)件長度來促使結(jié)構(gòu)折展。

具體有兩種折疊方式:通過水平索主動縮短，斜索隨動伸長，就可以使結(jié)構(gòu)向軸線折疊為一束；通過斜索主動縮短，水平索隨動伸長，就可以使結(jié)構(gòu)向端面折疊。這兩種折疊過程是相反的，文中選擇水平索為主動索這一折疊方式進行分析。

2.2折展分析的方法

2.2.1節(jié)點位移

本文以節(jié)點為研究對象，對結(jié)構(gòu)進行動力學分析。設結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為m，將總質(zhì)量等效到系統(tǒng)節(jié)點上。由于所有節(jié)點到達結(jié)構(gòu)形心的距離相等，所以等效在六個節(jié)點上的質(zhì)量相等，均為m/6。則結(jié)構(gòu)的運動方程為［9］

令Δt為時間增量。根據(jù)中心差分公式［11］，得到此節(jié)點的加速度表達式:

進一步推導可得其速度表達式為

將式（5）、（6）代入式（4），經(jīng)過整理后可以得到

由于索桿結(jié)構(gòu)的振動過程中阻尼很小，對結(jié)構(gòu)運動影響不大，可以忽略，因此式（7）可以改寫為

由式（8）可以得到位移的增量Δδt:

這樣就可以求出節(jié)點的新坐標:

根據(jù)上式得到的新的節(jié)點矩陣分析此時運動狀態(tài)是否已達到折疊要求。

2.2.2節(jié)點受力分析

任意構(gòu)件只與兩個節(jié)點相連，構(gòu)件只受軸向力作用［12］，單個構(gòu)件受力如圖2。

圖2　構(gòu)件受力分析圖Fig.2 Member stress analysis

構(gòu)件兩端節(jié)點受力與位移關(guān)系如下:

式中:E為材料的彈性模量，A為構(gòu)件橫截面積，δi、δj分別為i與j節(jié)點的位移，F(xiàn)i、Fj分別為i與j節(jié)點所受的力，lij為該構(gòu)件的原始長度。將式（11）寫成矩陣的形式:

將節(jié)點力與位移分為x、y、z三個方向:

式中:α、β、γ分別為力與位移在矢量方向上與三坐標軸的夾角。將式（11）的矩陣等號兩邊同時做成夾角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，通過結(jié)合式（12）～（14）可以得到

式中:矩陣 K稱為剛度矩陣［9］，剛度矩陣是對稱矩陣。

在對單個桿、索單元兩個節(jié)點位移分析的基礎(chǔ)之上，可以得到單元的剛度矩陣，在預應力已知的情況下可以得到節(jié)點位移。為了直接得到整個系統(tǒng)的位移需要知道體系的總剛度矩陣，這里引入?yún)f(xié)調(diào)矩陣T，協(xié)調(diào)矩陣是將某節(jié)點剛度矩陣內(nèi)的元素放置在總體剛度矩陣對應的位置上，其余位置為0，其目的是為了將單元剛度矩陣的維數(shù)擴大到總剛度矩陣的維數(shù)，得到體系的單元剛度矩陣［9］:

將經(jīng)過擴充后的所有單元剛度矩陣相加得到結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣:

式中:u是構(gòu)件數(shù)目。通過系統(tǒng)總剛度矩陣，可以得到等式:

可以利用該式在節(jié)點位移已知的情況下求解此時系統(tǒng)節(jié)點受力情況。節(jié)點所受合力為

3　折展過程仿真分析

水平索收縮，斜索隨動伸長，驅(qū)動結(jié)構(gòu)向軸線折疊為一束。運動過程中，為了適應斜索長度隨動變化，用彈簧替代斜索。設在運動的初始狀態(tài)替代斜索的彈簧伸長量為0。

水平索上施加恒力來驅(qū)動結(jié)構(gòu)運動，設桿的長度為10 m，初始位置時r為3 m，總質(zhì)量為150 kg，每根水平索的驅(qū)動力大小為。彈簧剛度系數(shù)為1 000 N/m，桿的彈性模量Eb=2.06×1011Pa，桿的橫截面積Ab=7.85×10-5m2。根據(jù)前面的分析，通過MATLAB編寫程序?qū)Y(jié)構(gòu)的折疊過程進行仿真分析。圖3為仿真分析所獲得的三桿張拉整體結(jié)構(gòu)的運動過程仿真圖。這一分析結(jié)果證明了收縮水平索驅(qū)動結(jié)構(gòu)折疊的這一方案是可行的。

在結(jié)構(gòu)運動過程中，構(gòu)件長度和內(nèi)力都是在不斷變化的，構(gòu)件的長度變化曲線如圖4所示。

圖3　結(jié)構(gòu)折疊過程Fig.3 The folding process

圖4　構(gòu)件長度、速度、加速度變化曲線Fig.4 The length，velocity，acceleration curve

由圖4（a）可知，在結(jié)構(gòu)運動過程中，在考慮彈性變形的條件下，桿的長度也有所變化，但是由于桿的彈性模量相對較大，所以桿的長度變化很小。斜索一直被逐漸拉長，直到長度與桿長相等，因此斜索利用拉簧張緊既可。水平索作為驅(qū)動構(gòu)件，它的長度隨著結(jié)構(gòu)運動不斷變短。

從圖4（b）發(fā)現(xiàn)，由于桿構(gòu)件的長度變化微小，所以其長度變化速度的變化很小。斜索和水平索的長度變化速度都為先增大后減小，在運動結(jié)束時速度趨于0。比較而言，斜索的長度變化速度較平穩(wěn)，而水平索長度變化要劇烈得多。

由圖4（c）可知，水平索的長度變化加速度從運動開始時變化較小，接近結(jié)束時，其加速度迅速變大，其變化幅度較其他構(gòu)件大好多倍。由于運動變化較為劇烈，所以應該通過一定的控制策略來減小水平索的長度變化加速度。在運動的終止段減小驅(qū)動力是一種可取的改進方案。

結(jié)構(gòu)運動過程中，構(gòu)件的受力變化如圖5所示。由于水平索為驅(qū)動構(gòu)件，其驅(qū)動力為定值，這里就沒有分析。由于斜索由彈簧替代，在運動過程中一直伸長，因此其內(nèi)力是逐漸變大的，圖5也反映了這一變化規(guī)律。因此在設計此彈簧時，只要考慮運動起始點和終止點其長度值即可。

桿的內(nèi)力波動幅度較大，這也說明其長度在運動過程中也是按此規(guī)律變化。桿構(gòu)件的抖動，勢必會引起整個結(jié)構(gòu)在運動的過程中發(fā)生振動，因此張拉整體結(jié)構(gòu)在運動過程中的抖動是不可避免的。當此類結(jié)構(gòu)作為像星載可展結(jié)構(gòu)等對振動有嚴格要求的機械設備來使用時，這一振動現(xiàn)象必須要進一步分析。

圖5　構(gòu)件內(nèi)力變化曲線Fig.5 Internal force curves

4　結(jié)論

本文通過節(jié)點廣義坐標和連接矩陣建立三桿張拉整體結(jié)構(gòu)數(shù)學模型；介紹了通過收縮水平索促使結(jié)構(gòu)折疊的方法，分別分析了在折展過程中節(jié)點的位移與受力變化。

通過分析，有以下結(jié)論:

1）提出通過收縮水平索，斜索隨動伸長，促使結(jié)構(gòu)收縮為一束這種結(jié)構(gòu)折疊方法。

2）在折疊過程中，桿構(gòu)件的抖動會引起整個結(jié)構(gòu)在運動的過程中抖動。因此，此方法應用于對振動有嚴格要求的機械設備時，需對此振動現(xiàn)象進一步分析。

3）此折疊方法不止適用于三桿棱柱型張拉整體結(jié)構(gòu)，對其他張拉整體可展結(jié)構(gòu)也同樣適用。

［1］FULLER R B.Tensile-integrity structures:United States，3063521［P］.1962-11-13.

［2］劉錫良，陳志華.一種新型空間結(jié)構(gòu)-張拉整體體系［J］.土木工程學報，1995，28（4）:51-57. LIU Xiliang，CHEN Zhihua.A new type of space structurestensegrity systems［J］.Journal of civil engineering，1995，28（4）:51-57.

［3］SKELTON R E，OLIVEIRA M C.Tensegrity systems［M］. New York:Springer Science Business Media，2009.

［4］LUO Ani，SKELTON R E，LIU Heping，et al.Structure of the ball tensegrity robot［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics.Paris，2014.

［5］GONZáLEZ A，LUO A N，LIU H P.Construction of a unit cell tensegrity structure［C］//Proceedings of the 14th World Congress in Mechanism and Machine Science.Taipei，2015: 25-30.

［6］ZHANG Liyuan，LI Yue，CAO Yanping，et al.Stiffness matrix based form-finding method of tensegrity structures［J］. Engineering structures，2014，58:36-48.

［7］GUEST S D.The stiffness of tensegrity structures［J］.Institute of mathematics and its applications journal of applied mathematics，2011，76（1）:57-66.

［8］GUEST S.The stiffness of prestressed frameworks:a unifying approach［J］.International journal of solids and structures，2006，43（3/4）:842-854.

［9］孔令營.圓環(huán)張拉整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)型及分析方法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學，2015:62-67. KONG Lingying.The research on configuration and analytical method of torus-type tensegrity structures［D］.Harbin: Harbin Engineering University，2015:62-67.

［10］LIU Heping，LI Xu，CHENG Jianjun，et al.The folding course for the tensegrity basic unit［C］//Proceedings of the ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Houston，Texas，USA，2015.

［11］張幸鏘，袁行飛.新型三棱柱張拉整體平板結(jié)構(gòu)研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)，2011，41（3）:24-27，77. ZHANG Xingqiang，YUAN Xingfei.Research of a new triangular prism tensegrity plate structure［J］.Building structure，2011，41（3）:24-27，77.

［12］陳志華，史杰，劉錫良.張拉整體三棱柱單元體試驗［J］.天津大學學報，2004，37（12）:1053-1058. CHEN Zhihua，SHI Jie，LIU Xiliang.Experimental study on triangular prism unit of tensegrity［J］.Journal of Tianjin university，2004，37（12）:1053-1058.

本文引用格式：

羅阿妮，李旭，李全賀，等.三桿張拉整體折展過程動力學分析［J］.哈爾濱工程大學學報，2016，37（7）:974-978.

LUO Ani，LI Xu，LI Quanhe，et al.Dynamic analysis of the three-bar tensegrity deployable structure［J］.Journal of Harbin Engineering University，2016，37（7）:974-978.

Dynamic analysis of the three-bar tensegrity deployable structure

LUO Ani，LI Xu，LI Quanhe，CHENG Jianjun，LIU Heping
（College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The string drive method is used to deploy the three-bar tensegrity structure.Based on the matrixes analysis，the mathematical model is built up with the generalized node coordinates and connectivity matrixes expressed positions and arrangements of members.The lengths of strings are adjusted with the bars＇length constant to deploy the structure.Based on the flexible of the members，shortening the level strings to make the structure fold towards its＇axis，it is analyzed that the dynamics of the structure.The simulation proved this deployable method is feasible. The changings of the lengths and inner forces of the members are given.The results show that adjusting the strings lengths could make the structure deployment.This method can be used in the three-bar tensegrity deployable structure and other structures which build up with the three-bar basic units.

tensegrity；generalized node coordinates；connectivity matrix；dynamic analysis；deployable structure

10.11990/jheu.201505069

TH113

A

1006-7043（2016）07-974-05

2015-05-25.網(wǎng)絡出版日期：2016-05-13.

黑龍江省自然基金項目（11202128）；機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室（HIT）開放研究項目（SKLRS（HIT）2014 ZD 05，SKLRS（HIT）2015 M 01）.

羅阿妮（1978-），女，副教授，博士；劉賀平（1975-），男，副教授，博士.

劉賀平，E-mail:liuheping@hrbeu.edu.cn.

網(wǎng)絡出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160513.1344.006.html