全支付拍賣的支付規(guī)則與期望收益研究

黃　俊，冉茂盛，鄭　宇

(1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶400030；2.南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)中心，天津300071)

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全支付拍賣的支付規(guī)則與期望收益研究

黃俊1，冉茂盛1，鄭宇2

(1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶400030；2.南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)中心，天津300071)

為探討全支付拍賣環(huán)境下支付規(guī)則對(duì)拍賣結(jié)果的影響，分別基于獨(dú)立私人價(jià)值和關(guān)聯(lián)價(jià)值前提，構(gòu)建了一類廣義的全支付拍賣模型，此時(shí)贏者支出為最高報(bào)價(jià)和次高報(bào)價(jià)的線性凸組合，未獲得物品的投標(biāo)人支付其報(bào)價(jià).運(yùn)用博弈理論，在得出貝葉斯納什均衡策略及其存在性條件的基礎(chǔ)上，分析了支付規(guī)則對(duì)投標(biāo)策略及其區(qū)間的影響，進(jìn)一步研究表明：在獨(dú)立私人價(jià)值假設(shè)下，收益等價(jià)性定理成立，全支付拍賣的期望收益與支付規(guī)則無(wú)關(guān)；在關(guān)聯(lián)價(jià)值假設(shè)下，收益等價(jià)性定理不再成立，拍賣期望收益依賴于支付規(guī)則，參數(shù)越大期望收益越高.

獨(dú)立私人價(jià)值；關(guān)聯(lián)價(jià)值；全支付拍賣；支付規(guī)則；期望收益

1　引　言

拍賣的理論研究始于Vickrey[1]，之后Myerson[2]和Riley等[3]基于獨(dú)立私人價(jià)值(IPV)假設(shè)得出了著名的收益等價(jià)性定理.然而現(xiàn)實(shí)中，競(jìng)標(biāo)人對(duì)物品的價(jià)值并不總是相互獨(dú)立的.因此，Milgrom等[4]首先引入關(guān)聯(lián)價(jià)值(AV)假設(shè)，對(duì)4種標(biāo)準(zhǔn)拍賣方式的期望收益進(jìn)行比較，此時(shí)收益等價(jià)性定理不再成立，進(jìn)一步得出了“連接原理”(linkage principle)：如果有更多的關(guān)聯(lián)信息被連接到贏者的付價(jià)，那么賣者的期望收益會(huì)更高.此后，大量文獻(xiàn)基于關(guān)聯(lián)價(jià)值假設(shè)對(duì)各種拍賣形式的投標(biāo)策略、期望收益、拍賣效率等進(jìn)行討論和拓展[57].

關(guān)于期望收益的比較，早期拍賣理論主要關(guān)注具有“有條件承諾”特性的拍賣形式，即只有滿足某種條件(贏得拍賣)時(shí)投標(biāo)人才會(huì)支付價(jià)格，又稱為贏者支付拍賣，例如英式、荷式、一級(jí)價(jià)格和二級(jí)價(jià)格等拍賣形式.而在經(jīng)濟(jì)社會(huì)生活中廣泛存在著類似于“無(wú)條件承諾”特性的拍賣，此時(shí)投標(biāo)人無(wú)條件向賣者支付價(jià)格，即全支付拍賣，又稱競(jìng)賽.全支付拍賣最早出現(xiàn)在理論生物學(xué)的研究文獻(xiàn)中[8]，其典型形式為全支付一級(jí)價(jià)格和二級(jí)價(jià)格拍賣(又稱消耗戰(zhàn)).在此拍賣形式下，喬恒等[9]基于獨(dú)立私人價(jià)值(IPV)假設(shè)，對(duì)全支付一級(jí)價(jià)格拍賣和全支付二級(jí)價(jià)格拍賣的均衡投標(biāo)策略和期望收益進(jìn)行比較，得出了收益等價(jià)性定理.

為了研究拍賣支付規(guī)則對(duì)期望收益的影響，有必要引入λ-拍賣.其本質(zhì)上是一種采用支付規(guī)則參數(shù)依賴的廣義密封拍賣，參數(shù)λ為拍賣的支付規(guī)則.最早由Güth等[10]提出，在獨(dú)立私人價(jià)值的贏者支付(winner-pay)λ-拍賣中，他們證明了支付規(guī)則影響投標(biāo)人的均衡策略，但不影響拍賣的期望收益，即收益等價(jià)性定理依然成立.同樣基于獨(dú)立私人價(jià)值和贏者支付前提，Plum[11]研究了兩個(gè)投標(biāo)人分布函數(shù)非對(duì)稱的贏者支付λ-拍賣中非對(duì)稱均衡投標(biāo)策略的存在性和唯一性.而在全支付λ-拍賣中，贏者支出仍為最高報(bào)價(jià)和次高報(bào)價(jià)的線性凸組合，但未獲得物品的投標(biāo)人也要支付其報(bào)價(jià)給賣者.在這方面的理論研究較少，只有Amann等[12]基于獨(dú)立私人價(jià)值假設(shè)，在非對(duì)稱的全支付λ-拍賣模型中研究了非對(duì)稱的均衡投標(biāo)策略的存在性和唯一性.此外，這一方法也被拓展到雙方叫價(jià)拍賣(double auction)中，此時(shí)參數(shù)λ被理解為買賣雙方議價(jià)的能力[1315].

現(xiàn)有文獻(xiàn)大多都是基于獨(dú)立私人價(jià)值前提下研究贏者支付的λ-拍賣[10，11]，包括投標(biāo)人的均衡投標(biāo)策略和拍賣期望收益及其與拍賣規(guī)則的關(guān)系，而關(guān)于全支付拍賣模型的研究較少.雖然Amann等[12]采用的模型與本文獨(dú)立私人價(jià)值模型部分類似，但其只分析了非對(duì)稱投標(biāo)人的均衡策略，未見在全支付拍賣模型中關(guān)于支付規(guī)則對(duì)均衡投標(biāo)策略及拍賣期望收益影響的系統(tǒng)研究.在現(xiàn)實(shí)中，全支付拍賣這種“無(wú)條件承諾”的拍賣類型被廣泛用于分析包含沖突和競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)社會(huì)問題，例如尋租行為[16]，專利和科技競(jìng)賽[17]以及軍備競(jìng)賽[18]等問題，因而對(duì)其均衡策略和期望收益進(jìn)行研究有著現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)意義.全支付λ-拍賣作為一類廣義的全支付拍賣，將全支付一級(jí)價(jià)格和全支付二級(jí)價(jià)格拍賣這兩種拍賣形式置于統(tǒng)一的分析框架下.一方面，從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度，有助于分析私人信息與最終支出的連接對(duì)拍賣收益的影響，并為實(shí)踐活動(dòng)提供更好的理論指導(dǎo).另一方面，該類拍賣又可理解為不完美信息下的全支付拍賣，因此被廣泛用于不確定環(huán)境中投標(biāo)人均衡策略的分析[19].

為此本文分別基于獨(dú)立私人價(jià)值前提和關(guān)聯(lián)價(jià)值前提，研究了全支付λ-拍賣中的投標(biāo)人均衡策略及其區(qū)間，并分析了支付規(guī)則對(duì)賣者期望收益的影響.

2　全支付拍賣模型

假定賣者有1個(gè)不可分割的物品通過(guò)拍賣出售，有n個(gè)潛在購(gòu)買者.用Xi表示投標(biāo)人i對(duì)物品價(jià)值擁有的私人信息.用Vi表示投標(biāo)人i對(duì)物品的最終消費(fèi)價(jià)值.

根據(jù)Amann等[12]，用如下規(guī)則來(lái)定義λ-全支付拍賣：n個(gè)投標(biāo)人同時(shí)報(bào)價(jià)，物品由出價(jià)最高的投標(biāo)人獲得.投標(biāo)人i的出價(jià)為bi，其支付(payoff)為

在λ-拍賣中，用β(x，λ)表示具有私人信息x的投標(biāo)人的對(duì)稱均衡投標(biāo)策略.假設(shè)具有私人信息x的投標(biāo)人的出價(jià)為b，則當(dāng)b=β(x，λ)時(shí)投標(biāo)人的期望收益最大，即

3　全支付獨(dú)立私人價(jià)值模型

在IPV模型中，投標(biāo)人對(duì)物品的最終消費(fèi)價(jià)值為其私人信息，即Vi=Xi.假設(shè)投標(biāo)人的私人信息在區(qū)間[0，a]上獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)F(·)及相應(yīng)密度函數(shù)在(0，a)上連續(xù)可微且為正.

根據(jù)式(1)，私人信息為x=v的投標(biāo)人的出價(jià)為b，從而有

其中λ0是常數(shù)，，相應(yīng)的為其密度函數(shù).

當(dāng)b=β(x，λ)時(shí)，上式最大，于是有

下面給出拍賣的均衡投標(biāo)策略.

定理1在獨(dú)立私人價(jià)值模型中，給定邊界條件β(0，λ)=0，全支付λ-拍賣的均衡投標(biāo)策略為

證明先證必要性.由式(2)并結(jié)合邊界條件β(0，λ)=0，可得均衡投標(biāo)策略β(x，λ)，即式(3)所示.再證充分性.因?yàn)樗饺诵畔閤的投標(biāo)人的出價(jià)為β(z，λ)時(shí)的期望收益為

其中βy表示β(y，λ)對(duì)y的一階偏導(dǎo)數(shù).

由于對(duì)所有x＞y，有(x-y)g(y)＞0，對(duì)所有x＜y，有(x-y)g(y)＜0，故E[Wi(β(z，λ)，x)]在z= x時(shí)取最大值，即滿足激勵(lì)相容(IC)條件.同時(shí)

投標(biāo)者選擇參與拍賣，即滿足個(gè)體理性(IR)條件.

推論1在獨(dú)立私人價(jià)值模型中，支付規(guī)則λ越大，投標(biāo)人的報(bào)價(jià)越“積極”.即對(duì)所有x∈(0，a)，如果λ1＜λ2，則β(x，λ1)＜β(x，λ2)成立.

定理2在獨(dú)立私人價(jià)值模型中，若支付規(guī)則λ∈[0，1)，則均衡策略有上界且

證明若支付規(guī)則λ=0，可得

若λ∈(0，1)，則有

由定理2可以看出，在λ∈[0，1)時(shí)，投標(biāo)人的均衡投標(biāo)策略均有界；而當(dāng)λ=1時(shí)，即全支付二級(jí)價(jià)格拍賣的均衡投標(biāo)策略無(wú)上界.在對(duì)投標(biāo)人的均衡策略及其區(qū)間進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，再比較賣者在λ-拍賣中的期望收益.

定理3在獨(dú)立私人價(jià)值模型中，全支付λ-拍賣中的賣者期望收益與支付規(guī)則無(wú)關(guān)，即對(duì)所有支付規(guī)則λ∈[0，1]，拍賣的賣者期望收益相等.

證明用e(x)表示擁有私人信息x的投標(biāo)人的期望支出，于是

將式(2)和式(3)代入上式，得

也就是說(shuō)，投標(biāo)人的期望支出與支付規(guī)則無(wú)關(guān)，從而拍賣產(chǎn)生的期望收益相等. 證畢

從上述定理可以看出，雖然均衡投標(biāo)策略隨著支付規(guī)則λ的增大而增大，但一類廣義全支付拍賣產(chǎn)生的期望收益依然相等，收益等價(jià)性定理在λ∈[0，1]上成立.從信息關(guān)聯(lián)角度解釋，盡管λ-拍賣在贏者支出與次高報(bào)價(jià)之間建立了連接(linkage)，但由于IPV模型中私人信息獨(dú)立的假設(shè)意味著最終支付與次高價(jià)的連接不會(huì)影響投標(biāo)人對(duì)物品的估價(jià)，所以投標(biāo)人期望支出不變，從而拍賣產(chǎn)生的期望收益不變.因此，結(jié)論意味著賣者設(shè)置的支付規(guī)則不會(huì)改變拍賣的結(jié)果及其期望收益，進(jìn)而在IPV環(huán)境的拍賣實(shí)踐中賣者不必過(guò)于關(guān)心拍賣所采取的形式.如果將此類拍賣理解為不完美信息下的拍賣，那么結(jié)論意味著投標(biāo)人所處拍賣環(huán)境的不確定性不會(huì)對(duì)拍賣的期望收益產(chǎn)生影響.同時(shí)，喬恒等[9]證明了全支付一級(jí)價(jià)格拍賣(λ=0)和全支付二級(jí)價(jià)格拍賣(λ=1)的收益等價(jià)性，定理3是其結(jié)論在λ∈[0，1]整個(gè)區(qū)間上的推廣和一般化.實(shí)際上，同樣可以證得全支付λ-拍賣產(chǎn)生的期望收益也等于贏者支付λ-拍賣的期望收益.

4　全支付關(guān)聯(lián)價(jià)值模型

該模型描述了對(duì)物品的價(jià)值和私人信息分布這兩種相關(guān)性：1)投標(biāo)人對(duì)物品的最終消費(fèi)價(jià)值不僅取決于自己的私人信息，也取決于其他投標(biāo)人對(duì)物品的私人信息；2)所有競(jìng)標(biāo)者對(duì)物品的估價(jià)有正相關(guān)性，體現(xiàn)在分布函數(shù)上，當(dāng)一個(gè)投標(biāo)人私人信息較高時(shí)，其他投標(biāo)人私人信息也高的概率更大.用X= (X1，X2，...，Xn)表示n個(gè)投標(biāo)人在區(qū)間[0，a]上的私人信息(或信號(hào))向量.用S=(S1，S2，...，Sm)表示其他影響物品價(jià)值，但不能被投標(biāo)人所觀察到的隨機(jī)變量，而S中的某些變量可能被賣者所觀察到，則物品對(duì)投標(biāo)人的最終價(jià)值為

其中u是非負(fù)、連續(xù)的且關(guān)于各變量嚴(yán)格遞增，同時(shí)滿足E[Vi]＜∞.

隨機(jī)變量S1，S2，...，Sm，X1，X2，...，Xn的聯(lián)合密度函數(shù)f(S，X1，X2，...，Xn)滿足所謂的“關(guān)聯(lián)性質(zhì)”，即對(duì)所有z和z′有

其中z∨z′=(max｛z，z′｝)為向量z和z′各分量最大部分組成的向量；z∧z′=(min｛z，z′｝)為向量z 和z′各分量最小部分組成的向量.

根據(jù)式(1)，給定Xi=x時(shí)，報(bào)價(jià)為b的投標(biāo)人期望支付(payoff)為

選擇合適的b以最大化投標(biāo)者的期望支付，此時(shí)b=β(x，λ)，β(x，λ)對(duì)x的一階偏導(dǎo)數(shù)

于是，給出均衡策略β(x，λ).為了驗(yàn)證充分性，為此有必要增加約束條件.

證明先證必要性.由式(5)并結(jié)合邊界條件β(0，λ)=0，可得均衡投標(biāo)策略β(x，λ)，即式(6)所示.再證充分性.私人信息為x的投標(biāo)人的出價(jià)為β(z，λ)時(shí)的期望收益為

將式(5)和式(6)代入上式，得

因而E[Wi(β(z，λ)，x)]在z=x時(shí)取最大值，即滿足激勵(lì)相容(IC)條件，此時(shí)

投標(biāo)者選擇參與拍賣，即滿足個(gè)體理性(IR)條件.

推論2在關(guān)聯(lián)價(jià)值模型中，支付規(guī)則λ越大，投標(biāo)人的報(bào)價(jià)同樣越“積極”，即對(duì)所有x∈(0，a)，如果λ1＜λ2，則β(x，λ1)＜β(x，λ2)成立.

以上推論可由式(6)和定理4直接得出，與推論1類似，投標(biāo)人的均衡策略也取決于拍賣的支付規(guī)則.特別的，全支付一級(jí)價(jià)格拍賣和二級(jí)價(jià)格拍賣的均衡策略分別為

此時(shí)全支付二級(jí)價(jià)格拍賣的投標(biāo)策略同樣比全支付一級(jí)價(jià)格拍賣更積極，即β(x，0)＜β(x，1).若給定支付規(guī)則，此時(shí)投標(biāo)人策略區(qū)間上限的性質(zhì)如下.

進(jìn)一步，若λ=0，可得

由定理5可知，當(dāng)投標(biāo)人的私人信息趨向于上限(x→a)時(shí)，即使物品的最終價(jià)值v(a，a)是有限的，全支付二級(jí)價(jià)格拍賣(λ=1)的均衡投標(biāo)策略依然無(wú)上界.在對(duì)投標(biāo)人的均衡策略及其區(qū)間進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，再比較賣者在λ-拍賣中的期望收益.

證明用e(x，λ)表示λ-拍賣中擁有私人信息x的投標(biāo)人的期望支出，于是

將式(5)和式(6)代入上式，得到

則對(duì)所有的λ1，λ2∈[0，1]且λ1＜λ2有

而由于FYi(y|x)關(guān)于x單調(diào)遞減，可知對(duì)所有y＜x有FYi(y|y)＞FYi(y|x).再由上式可得

所以，對(duì)所有λ1＜λ2，有e(x，λ1)＜e(x，λ2)，從而支付規(guī)則λ越大，拍賣的期望收益越高.證畢.

由定理6可以看出，與獨(dú)立私人價(jià)值情形不同，關(guān)聯(lián)價(jià)值前提下收益等價(jià)性定理不再成立，拍賣產(chǎn)生的期望收益依賴于支付規(guī)則.支付規(guī)則參數(shù)λ越大，拍賣的期望收益越高.從信息關(guān)聯(lián)角度解釋，λ-拍賣在投標(biāo)人支出與次高報(bào)價(jià)之間建立了連接(linkage)，在關(guān)聯(lián)價(jià)值假設(shè)下，投標(biāo)人對(duì)物品私人信息較高往往意味著其他投標(biāo)人的私人信息也較高，從而次高報(bào)價(jià)就較高，這樣投標(biāo)人對(duì)物品的私人信息通過(guò)支付規(guī)則影響其最終支付.所以，投標(biāo)人對(duì)物品的私人信息傳導(dǎo)到次高報(bào)價(jià)的程度越充分(即λ越大)，投標(biāo)人的期望支出進(jìn)而拍賣的期望收益越高.與經(jīng)典理論中的連接原理(linkage principle)[4]強(qiáng)調(diào)新增信息的作用不同，上述定理突出了既有信息前提下的信息向下關(guān)聯(lián)程度對(duì)賣方期望收益的影響，從而對(duì)連接原理進(jìn)行了理論擴(kuò)展，發(fā)現(xiàn)既有信息的向下關(guān)聯(lián)程度越高賣方期望收益越高.從不完美信息角度，定理也可理解為在投標(biāo)人面對(duì)的不確定拍賣環(huán)境中，拍賣為全支付二級(jí)價(jià)格拍賣的概率越大，則拍賣的期望收益越高.

特別地，作為全支付λ-拍賣的極端形式，當(dāng)λ=0和λ=1時(shí)定理同樣成立，也就是說(shuō)全支付一級(jí)價(jià)格拍賣產(chǎn)生的期望收益大于全支付二級(jí)價(jià)格拍賣(消耗戰(zhàn))所產(chǎn)生的期望收益，即e(x，0)＜e(x，1).

5　數(shù)值分析

圖2　在IPV模型中，支付規(guī)則對(duì)期望收益的影響Fig.2 The effect of pricing rule λ on seller’s expected revenue in IPV model

支付規(guī)則參數(shù)λ對(duì)賣方期望收益的影響如圖4所示，可以看出AV前提下拍賣的期望收益隨參數(shù)λ單調(diào)遞增，即為定理6的結(jié)論.

圖3　在AV模型中，當(dāng)λ分別為0，0.5和1時(shí)的投標(biāo)策略Fig.3 The bidding strategies for pricing rule λ equals 0，0.5 and 1 in AV model

圖4　在AV模型中，支付規(guī)則對(duì)期望收益的影響Fig.4 The effect of pricing rule λ on seller’s expected revenue in AV model

6　結(jié)束語(yǔ)

本文分別基于獨(dú)立私人價(jià)值和關(guān)聯(lián)價(jià)值的λ-拍賣模型研究了全支付拍賣的支付規(guī)則對(duì)投標(biāo)人均衡策略和賣者期望收益的影響.在獨(dú)立私人價(jià)值假設(shè)下，根據(jù)期望收益最大化目標(biāo)，推出投標(biāo)人的貝葉斯納什均衡投標(biāo)策略，并發(fā)現(xiàn)：雖然投標(biāo)人的均衡報(bào)價(jià)隨支付規(guī)則λ而遞增，但支付規(guī)則對(duì)賣者的期望收益沒有影響，收益等價(jià)性定理成立.然后，在關(guān)聯(lián)價(jià)值假設(shè)下，給出對(duì)稱貝葉斯納什均衡策略存在的充分條件，并得出均衡策略的解析解.此時(shí)，收益等價(jià)性定理不再成立，賣者的期望收益依賴于支付規(guī)則.支付規(guī)則λ越大，拍賣的期望收益越高，當(dāng)拍賣為全支付二級(jí)價(jià)格拍賣(消耗戰(zhàn))時(shí)，期望收益達(dá)到最大.不同于連接原理所強(qiáng)調(diào)的新增信息對(duì)賣方收益的影響，本文的結(jié)論強(qiáng)調(diào)既有信息的向下(次高報(bào)價(jià))關(guān)聯(lián)程度越高賣方期望收益越高.此外，還對(duì)投標(biāo)人均衡策略的區(qū)間進(jìn)行了分析.本文假設(shè)不存在預(yù)算約束，未來(lái)可以對(duì)包含預(yù)算約束的模型進(jìn)行研究，分析預(yù)算約束對(duì)投標(biāo)人策略及賣者收益的影響；另外，賣方所擁有信息的披露政策對(duì)賣方收益的影響也是一個(gè)值得研究的課題[21].

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Research on pricing rules and expected revenue under all-pay auctions

Huang Jun1，Ran Maosheng1，Zheng Yu2
(1.School of Economics and Business administration，Chongqing University，Chongqing 400030，China；2.Center for Combinatorics，Nankai University，Tianjin 300071，China)

In order to study the influence of pricing rules on auction outcomes，this paper examines a large class of all-pay auctions within the independent private values(IPV)paradigm and the affiliated values(AV) paradigm，respectively.The explicit solutions of symmetric Bayesian-Nash equilibrium bidding strategies in all-pay auctions are determined.From the seller’s perspective，if the bidders’types are independently distributed，the seller is indifferent between the auctions with the whole continuum of pricing rules，thus the revenue-equivalence theorem holds.Given a sufficient condition for the existence of an equilibrium，the seller’s preference is biased from the theorem if bidders’types are affiliated：the seller then prefers auctions with higher parameters of pricing rules.That is，the seller’s expected revenue depends on the pricing rules.

independent private values；affiliated values；all-pay auctions；pricing rules；expected revenue

F016

A

1000-5781(2016)03-0328-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.03.005

黃俊(1987-)，男，江蘇鹽城人，博士生，研究方向：拍賣理論，最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)，Email：huangjun@cqu.edu.cn；

冉茂盛(1963-)，男，重慶云陽(yáng)人，博士，教授，研究方向：拍賣理論，金融經(jīng)濟(jì)，投融資理論，Email：ranmaosheng@cqu.edu.cn；

鄭宇(1989-)，男，河南光山人，博士生，研究方向：組合數(shù)學(xué)，拍賣理論，Email：antid@126.com.

2014-07-20；

2015-12-20.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71071171).