聯(lián)合角度和時(shí)差的單站無源相干定位加權(quán)最小二乘算法

趙勇勝　趙擁軍　趙 闖

（解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院 鄭州 450001）

聯(lián)合角度和時(shí)差的單站無源相干定位加權(quán)最小二乘算法

趙勇勝*趙擁軍趙 闖

（解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院 鄭州 450001）

針對利用單個(gè)觀測站接收多個(gè)外輻射源信號從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)定位的單站無源相干定位問題，該文提出了一種聯(lián)合角度和時(shí)差的加權(quán)最小二乘定位算法。首先，將角度和時(shí)差的觀測方程線性化處理，考慮方程中的各項(xiàng)誤差，將定位問題建立為加權(quán)最小二乘模型。然后利用迭代方法對模型求解。最后，對算法的定位性能進(jìn)行了理論分析。仿真結(jié)果表明，不同于僅時(shí)差定位方法至少需要3個(gè)外輻射源才能定位，聯(lián)合角度和時(shí)差定位方法僅需一個(gè)外輻射源即可定位，且在同樣數(shù)量外輻射源條件下估計(jì)精度高于僅時(shí)差定位；算法的均方誤差低于最小二乘算法，在時(shí)差測量噪聲較大時(shí)定位精度仍然能逼近克拉美羅界。此外，對系統(tǒng)幾何精度因子圖的分析表明，目標(biāo)及輻射源的位置對定位精度也有重要影響。

角度；時(shí)差；無源定位；外輻射源；加權(quán)最小二乘

引用格式：趙勇勝，趙擁軍，趙闖.聯(lián)合角度和時(shí)差的單站無源相干定位加權(quán)最小二乘算法［J］.雷達(dá)學(xué)報(bào)，2016，5（3）：302-311.DOI：10.12000/JR15133.

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1　引言

基于外輻射源的無源定位方法，又稱為無源相干定位（Passive Coherent Location，PCL）。作為一種特殊的雙基地雷達(dá)，PCL系統(tǒng)本身不輻射電磁波，而是利用第三方的非合作輻射源來探測目標(biāo)，具有結(jié)構(gòu)簡單，成本低，高隱蔽性，不占用頻譜資源，抗電子干擾，可探測隱形目標(biāo)等優(yōu)點(diǎn)［1］。多年來，一直是國際雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

無源定位中，對于本身可以輻射電磁波的輻射源目標(biāo)，可以通過接收其信號對其定位［2］。而當(dāng)目標(biāo)處于無線電靜默或目標(biāo)本身不能輻射電磁波時(shí)，上述方法將失效。此時(shí)，可以利用第三方的外輻射源來照射目標(biāo)，通過接收外輻射源的直達(dá)信號和目標(biāo)回波信號，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)定位［3］。外輻射源的選取需充分考慮所選信號的功率大小、瞬時(shí)帶寬及位置等參數(shù)［4］。目前，可用于定位的外輻射源包括模擬電視信號［5］，調(diào)頻廣播信號［6］，數(shù)字音頻廣播信號［7］，數(shù)字視頻廣播信號［7］，手機(jī)基站信號［8］，WIFI信號［9］等。而相比于多站系統(tǒng)，單站系統(tǒng)機(jī)動(dòng)性強(qiáng)，不存在時(shí)間和數(shù)據(jù)同步的問題。因此，研究高精度的單站無源相干定位方法具有重要意義。

目前對于固定目標(biāo)的無源定位方法主要包括基于信號到達(dá)強(qiáng)度（Received Signal Strength，RSS）［10］、信號到達(dá)角度（Direction Of Arrival，DOA）［11］、信號到達(dá)時(shí)差（Time Difference Of Arrival，TDOA）［12］，以及聯(lián)合其中兩種或者3種觀測信息的定位體制［13］。其中，基于RSS的定位方法受信號衰減的影響，定位精度較低。基于DOA的定位方法需要多個(gè)接收機(jī)，因而并不適用于單站無源相干定位模型。基于TDOA的定位方法通過測量外輻射源直達(dá)信號與經(jīng)目標(biāo)反射后的回波信號到達(dá)觀測站的時(shí)差來確定目標(biāo)位置。由于外輻射源位置已知，因此又稱“距離和定位”（外輻射源到目標(biāo)的距離與目標(biāo)到觀測站的距離之和）［14］。但現(xiàn)有的TDOA定位算法主要針對雙/多站無源定位系統(tǒng)，此時(shí)，時(shí)差指的是信號從目標(biāo)到達(dá)不同觀測站的時(shí)間差。這類算法常常需要兩步估計(jì)，或建立為帶約束的非線性優(yōu)化問題，求解算法較為復(fù)雜，包括兩步加權(quán)最小二乘算法［15］，約束加權(quán)最小二乘算法［16］，約束總體最小二乘算法［17］，以及以上一些算法的改進(jìn)算法。當(dāng)時(shí)差測量準(zhǔn)確時(shí)，TDOA定位方法的精度較高。但當(dāng)時(shí)差測量誤差較大時(shí)，TDOA定位方法的性能并不理想。而文獻(xiàn)［18］證明了對于多站無源定位系統(tǒng)，聯(lián)合角度和時(shí)差信息可以獲得比僅TDOA和僅DOA定位方法更高的定位精度。但由于定位模型不同，文獻(xiàn)［18］的定位算法并不能應(yīng)用于本文單站無源相干定位系統(tǒng)。

文獻(xiàn)［19］針對單站無源相干定位系統(tǒng)，提出了一種基于約束總體最小二乘的時(shí)差定位算法。但由于僅利用了時(shí)差一種信息，因而在時(shí)差測量誤差較大時(shí)，定位性能迅速下降。為此，本文針對利用外輻射源的單站無源相干定位問題，提出了一種聯(lián)合角度和時(shí)差信息的加權(quán)最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）定位算法。在將角度和時(shí)差觀測方程線性化后，考慮到方程中各項(xiàng)系數(shù)的誤差，將定位問題轉(zhuǎn)化為加權(quán)最小二乘問題，并利用迭代方法求解。

2　定位場景

本文考慮的3維單站PCL定位場景如圖1：假設(shè)場景中含有N個(gè)外輻射源，1個(gè)目標(biāo)，1個(gè)觀測站。觀測站上布設(shè)兩副天線，分別用來接收來自外輻射源的直達(dá)信號和經(jīng)目標(biāo)反射后的回波信號［20］。

圖1　單站無源相干定位模型Fig.1 Single-observer passive coherent location model

其中，τk為時(shí)差的觀測值，vτk為時(shí)差的觀測噪聲。

式中θ和φ分別為方位角和俯仰角的觀測值，vθ和vφ分別為它們的觀測噪聲。

令觀測量θ=［θ φ τ1... τN］T，則本文的主要工作是通過含有噪聲的觀測量θ來估計(jì)目標(biāo)的位置［x y z］T。

3　加權(quán)最小二乘定位

首先將角度和時(shí)差的觀測方程進(jìn)行線性化處理。對式（2）移項(xiàng)整理，可將方位和俯仰角的觀測方程表示為如下線性形式：

將式（1）移項(xiàng)，得到（R+rk）的表達(dá)式為：

將式（6）和式（7）相加，得到R的表達(dá)式為：

將式（3）和式（4）代入式（8），得到時(shí)差觀測方程的線性形式為：

將式（3）、式（4）、式（9）在觀測值［θ φ τk］T處泰勒展開，并忽略2階及以上誤差項(xiàng)，得

式（10）表示成矩陣形式為：

當(dāng)式（11）中的誤差項(xiàng)e中各項(xiàng)誤差方差相同且互不相關(guān)時(shí)，可用最小二乘算法對其求解：

但從式（13）可知，e中的各項(xiàng)誤差方差不同且相關(guān)，此時(shí)最小二乘解得到的目標(biāo)位置估計(jì)并不準(zhǔn)確。而加權(quán)最小二乘算法通過對誤差項(xiàng)進(jìn)行加權(quán)，從而得到更加準(zhǔn)確的目標(biāo)位置估計(jì)。式（11）的加權(quán)最小二乘解即為滿足如下目標(biāo)函數(shù)極小化的變量X：

其中W為加權(quán)矩陣，

式中Q為觀測噪聲的協(xié)方差矩陣。

則式（11）的加權(quán)最小二乘解為：

注意到，式中加權(quán)矩陣W的計(jì)算需要用到目標(biāo)位置。而在估計(jì)過程中，目標(biāo)位置是未知的。因此，在實(shí)際估計(jì)過程中，先令W=Q-1，得到目標(biāo)位置的粗估計(jì)，而后將得到的目標(biāo)位置估計(jì)代入式（16）中更新W，從而進(jìn)一步得到更加準(zhǔn)確的目標(biāo)位置估計(jì)。

算法的具體實(shí)現(xiàn)過程總結(jié)如下：

（1）初始化W=Q-1；

（2）利用式（17）計(jì)算目標(biāo)位置估計(jì)；

（3）將目標(biāo)位置估計(jì)代入式（16），更新矩陣W，返回步驟（2），得到更加準(zhǔn)確的目標(biāo)位置估計(jì)。

4　性能分析

4.1CRLB分析

其中，

CRLB等于Fisher信息矩陣（Fisher Information Matrix，F(xiàn)IM）的逆。根據(jù)FIM的定義，對式（18）中的概率密度函數(shù)取對數(shù)，并關(guān)于X中元素求偏導(dǎo)，得：

進(jìn)而得到FIM矩陣中的元素為：

CRLB是算法估計(jì)方差的下限。則算法估計(jì)誤差的均方誤差（Mean Square Error，MSE）滿足下列不等式：

4.2理論誤差

忽略式（25）中的2階及以上誤差項(xiàng)，得：

從式（26）可以解得：

將ΔX乘以其轉(zhuǎn)置并求期望，得到算法的誤差協(xié)方差矩陣為：

5　仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)評估本文算法的估計(jì)性能，并分析影響算法估計(jì)性能的因素。仿真場景設(shè)置如下：場景中有1個(gè)固定目標(biāo)，4個(gè)外輻射源，其位置如表1所示。角度和時(shí)差的測量誤差設(shè)置為服從零均值的高斯分布。根據(jù)文獻(xiàn)［21，22］，將角度測量誤差標(biāo)準(zhǔn)差σθ設(shè)置為0.1°～10°，時(shí)差測量誤差標(biāo)準(zhǔn)差στ設(shè)置為10～105ns。

表1　外輻射源位置Tab.1 Positions of the illuminators

算法的定位誤差為5000次蒙特卡洛仿真的均方根誤差。其定義如下：

仿真1 聯(lián)合DOA和TDOA定位方法與僅TDOA定位方法定位精度比較

分別計(jì)算角度測量誤差為0.1°，1°和10°時(shí)，聯(lián)合DOA和TDOA定位方法的CRLB，并與TDOA定位方法的CRLB對比。目標(biāo)位置設(shè)置為［10000 10000 10000］Tm，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2描述了不同測量誤差條件下，聯(lián)合DOA和TDOA定位方法與TDOA定位方法的定位精度比較情況。從圖中可以看出，在相同的時(shí)差測量誤差條件下，聯(lián)合DOA和TDOA定位方法的精度高于TDOA定位方法。在時(shí)差測量誤差較小時(shí)，兩種定位方法的CRLB非常接近，但隨著時(shí)差測量誤差增大，聯(lián)合DOA和TDOA定位方法的CRLB開始低于并偏離TDOA定位方法，且角度測量誤差越小，偏離越快。

圖2　聯(lián)合DOA和TDOA定位方法與僅TDOA定位方法的CRLBFig.2 CRLB of the jointing DOA and TDOA method and the TDOA-only method

仿真2 迭代次數(shù)對算法定位精度的影響

本文算法需通過一定次數(shù)的迭代來得到目標(biāo)位置的精確估計(jì)。而算法迭代收斂至全局最優(yōu)解所需的迭代次數(shù)將是衡量算法性能的重要指標(biāo)。為此，統(tǒng)計(jì)不同迭代次數(shù)時(shí)算法估計(jì)的均方根誤差。外輻射源和目標(biāo)位置設(shè)置同仿真1，角度測量誤差設(shè)置為1°，時(shí)差測量誤差設(shè)置為100 ns，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3　迭代次數(shù)對定位誤差的影響Fig.3 Localization errors versus iteration numbers

圖3描述了不同迭代次數(shù)對應(yīng)的定位誤差?？梢钥闯觯惴▋H需1次迭代，定位誤差即可收斂至逼近CRLB。再增加迭代次數(shù)，定位精度不再提高。因此，在后續(xù)仿真中，迭代次數(shù)設(shè)置為2。

仿真3 不同測量誤差條件下算法的定位誤差

為了評估本文算法的估計(jì)性能，在不同時(shí)差和角度測量誤差條件下，利用本文算法進(jìn)行仿真定位實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)算法估計(jì)的均方根誤差，并將其與LS算法、CRLB及文獻(xiàn)［19］中TDOA定位方法對比。定位系統(tǒng)幾何分布如圖4所示。目標(biāo)位置設(shè)置為近場和遠(yuǎn)場兩種情況，近場目標(biāo)設(shè)置在4個(gè)外輻射源所圍成的區(qū)域內(nèi)，位置為［1000 1000 1000］Tm。遠(yuǎn)場目標(biāo)位置設(shè)置在4個(gè)外輻射源所圍成的區(qū)域外，位置為［100000 100000 10000］Tm。仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖4　定位系統(tǒng)幾何分布Fig.4 Localization geometry for simulations

圖5（a）給出了角度測量誤差為1°，時(shí)差測量誤差10～105ns時(shí)，算法對近場目標(biāo)的均方根誤差情況。從圖中可以看出，LS算法達(dá)不到CRLB。在時(shí)差測量誤差小于100 ns時(shí)，本文算法的定位誤差稍微偏離CRLB，定位精度低于文獻(xiàn)［19］中TDOA定位方法；但當(dāng)時(shí)差測量達(dá)到100 ns時(shí)，文獻(xiàn)［19］中TDOA定位方法的定位誤差隨著時(shí)差測量誤差迅速增大并超過本文算法，而本文算法的定位誤差則逼近C R L B。圖5（b）給出了角度測量誤差為0.1°～10°，時(shí)差測量誤差1000 ns時(shí)，算法對近場目標(biāo)的均方根誤差情況。從中可以看出，本文算法的定位誤差低于LS算法和TDOA定位方法，在角度測量誤差較小時(shí)，算法定位誤差逼近CRLB，在測量誤差增加至4°時(shí)，算法定位誤差開始偏離CRLB。

圖5　不同測量誤差條件下算法對近場目標(biāo)的定位精度Fig.5 Localization errors versus measurement errors for near-field target

圖6　不同測量誤差條件下算法對遠(yuǎn)場目標(biāo)的定位精度Fig.6 Localization errors versus measurement errors for far-field target

仿真4外輻射源數(shù)量對定位精度影響

為分析外輻射源數(shù)量對算法定位誤差的影響，分別計(jì)算不同數(shù)量的外輻射源進(jìn)行定位時(shí)的CRLB，并與僅TDOA定位方法對比。目標(biāo)位置設(shè)置為［10000 10000 10000］Tm，角度測量誤差設(shè)置為1°，時(shí)差測量誤差設(shè)置為1000 ns，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7　外輻射源數(shù)量對定位精度的影響Fig.7 Localization errors versus numbers of illuminators

圖7給出了算法定位誤差隨外輻射源數(shù)量變化的情況?？傮w上，隨著外輻射源數(shù)量的增加，聯(lián)合DOA和TDOA定位方法和僅TDOA定位方法的定位誤差均不斷減小。但是聯(lián)合DOA和TDOA定位方法僅需一個(gè)外輻射源即可對目標(biāo)定位，而TDOA定位方法則至少需要3個(gè)外輻射源。原因在于TDOA定位方法至少需要3個(gè)外輻射源，以構(gòu)建3個(gè)外輻射源的直達(dá)信號與對應(yīng)反射信號到達(dá)觀測站的時(shí)差方程，從而解得目標(biāo)的3維坐標(biāo)估計(jì)。而本文聯(lián)合DOA和TDOA的定位方法僅需1個(gè)外輻射源，即可構(gòu)建出時(shí)差、方位角、俯仰角3個(gè)方程，從而解得目標(biāo)3維坐標(biāo)。

仿真5 GDOP圖

系統(tǒng)幾何精度因子（Geometric Dilution Of Precision，GDOP）也是衡量系統(tǒng)定位性能的重要指標(biāo)，其定義為：

為分析目標(biāo)位置對系統(tǒng)估計(jì)精度的影響，需要畫出不同目標(biāo)位置上的GDOP等高線圖。但目標(biāo)位置有3個(gè)坐標(biāo)變量，而GDOP等高線圖是2維的，為此，分別展示目標(biāo)高度為1000 m和10000 m時(shí)，系統(tǒng)的GDOP等高線圖。DOA測量誤差設(shè)置為1°，4個(gè)外輻射源對應(yīng)的時(shí)差測量誤差分別設(shè)置為0.1 ns，1 ns，10 ns，100 ns。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8　GDOP圖Fig.8 GDOP figure

圖8給出了目標(biāo)高度分別為1000 m和10000 m的GDOP圖。從中看出，在x，y坐標(biāo)相同時(shí)，目標(biāo)高度越高，定位誤差越小。當(dāng)目標(biāo)位于外輻射源和觀測站所在的中央?yún)^(qū)域上方時(shí)，定位精度最高，隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離該中心區(qū)域，定位誤差增大，且在觀測站和外輻射源連線方向，定位誤差增加相對較快。而雖然不同外輻射源對應(yīng)的TDOA測量誤差不同，但對于整個(gè)系統(tǒng)而言，不同外輻射源TDOA測量誤差的不同對目標(biāo)定位精度分布的影響并不顯著。

6　結(jié)論

本文研究了利用外輻射源的單站無源相干定位問題，提出了一種聯(lián)合角度和時(shí)差的加權(quán)最小二乘定位方法。本文算法具有如下優(yōu)勢：

（1）聯(lián)合角度和時(shí)差的定位方法相比于僅利用時(shí)差的定位方法，具有更高的定位精度，在時(shí)差測量誤差較大時(shí)，這一優(yōu)勢尤其明顯。

（2）加權(quán)最小二乘算法考慮了定位方程中各項(xiàng)系數(shù)的誤差，定位精度優(yōu)于最小二乘算法。

（3）聯(lián)合角度和時(shí)差定位方法僅需一個(gè)外輻射源即可對目標(biāo)定位，而僅時(shí)差定位方法則至少需要3個(gè)外輻射源。因而在遠(yuǎn)海、高海拔等可用外輻射源稀少地區(qū)，這一優(yōu)勢非常明顯。而對于沿海、內(nèi)陸等可用外輻射源數(shù)量較多地區(qū)，聯(lián)合角度和時(shí)差定位方法的定位精度和穩(wěn)定性也同樣優(yōu)于僅時(shí)差定位方法。

（4）對系統(tǒng)GDOP圖的分析表明，目標(biāo)相對于外輻射源和觀測站的位置對定位精度有顯著影響。目標(biāo)距離外輻射源和觀測站所在的中央?yún)^(qū)域上方，且高度較高時(shí)，定位效果最好。

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趙勇勝（1990-），男，江蘇連云港人，現(xiàn)為解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)闊o源定位。

E-mail：zhaoyongshengtg@163.com

趙擁軍（1964-），男，河南封丘人，現(xiàn)為解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，中國電子學(xué)會(huì)高級會(huì)員，《電子測量與儀器學(xué)報(bào)》編委。研究方向?yàn)槔走_(dá)信號與信息處理、自適應(yīng)陣列信號處理。

E-mail：zhaoyongjuntg@126.com

趙 闖（1978-），男，河北辛集人，現(xiàn)為解放軍信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院副教授，博士。研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理。

E-mail：rushzhaotg@163.com

Weighted Least Squares Algorithm for Single-observer Passive Coherent Location Using DOA and TDOA Measurements

Zhao YongshengZhao YongjunZhao Chuang
（School of Navigation and Aerospace Engineering，PLA Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China）

In order to determine single-observer passive coherent locations using illuminators of opportunity，we propose a jointing angle and Time Difference Of Arrival（TDOA）Weighted Least Squares（WLS）location method.First，we linearize the DOA and TDOA measurement equations.We establish the localization problem as the WLS optimization model by considering the errors in the location equations.Then，we iteratively solve the WLS optimization.Finally，we conduct a performance analysis of the proposed method.Simulation results show that，unlike the TDOA-only method，which needs at least three illuminators to locate a target，the jointing DOA and TDOA method requires only one illuminator.It also has a higher localization accuracy than the TDOA-only method when using the same number of illuminators.The proposed method yields a lower mean square error than the least squares algorithm，which makes it possible to approach the Cramér-Rao lower bound at a relatively high TDOA noise level.Moreover，on the basis of the geometric dilution of precision，we conclude that the positions of the target and illuminators are also important factors affecting the localization accuracy.

Difference Of Arrival（DOA）； Time Difference Of Arrival（TDOA）； Passive location； Illuminator of opportunity； Weighted Least Squares（WLS）

TN971

A

2095-283X（2016）03-302-10

10.12000/JR15133

2015-12-28；改回日期：2016-02-01；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-03-23

趙勇勝 zhaoyongshengtg@163.com

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（2012AA7031015），國家自然科學(xué)基金（61401469，41301481，61501513）

Foundation Items：The National High Technology Research and Development Program of China（2012AA7031015），The National Natural Science Foundation of China（61401469，41301481，61501513）