“植樹問題”教學實踐研究

周文婉

【摘要】“植樹問題”具有很強的數(shù)學思維和探究空間。本節(jié)課，筆者利用學生已有知識，從除法意義入手引申植樹問題，并讓學生經(jīng)歷探究過程，借助圖示解讀點段的對應關(guān)系，體會“一一對應”的思想，建立植樹模型，取得了良好的教學效果。

【關(guān)鍵詞】植樹問題化繁為簡一一對應數(shù)量關(guān)系建構(gòu)模型

“植樹問題”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》五年級上冊“數(shù)學廣角”的教學內(nèi)容，雖有很多優(yōu)秀教學設(shè)計，但在這些經(jīng)典設(shè)計中，不同的課堂上卻出現(xiàn)了類似的問題：① 嘗試畫圖時學生出現(xiàn)圖與信息不對應或無從下手等問題；② 綜合運用時不能靈活運用植樹模型解決問題，只是套用公式。為了對“植樹問題”的教學有一個準確的定位，筆者在課前查閱了大量的資料，并把這些心得應用于教學實踐中，取得了令人滿意的教學效果。

【片段一】 利用除法意義突出數(shù)量關(guān)系

1. 20米路，每5米分一段，一共分了幾段？

2. 30米長的繩子，剪成6米一段，一共可以剪幾段？

師：怎樣求出段數(shù)？為什么要用除法來做？

總結(jié)并板書：總長度÷每段長度=段數(shù)。

【設(shè)計意圖：學生的已有知識，是教學的起點。本環(huán)節(jié)筆者設(shè)計了幾個求段數(shù)的除法問題，直接從除法的意義入手，結(jié)合學生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，從除法問題引申出植樹問題?！?/p>

【片段二】 基于“段數(shù)”，探究新知

1. 出示問題，理解題意。

（1） 課件出示題目：植樹隊要在全長1000米的馬路一邊植樹，每隔5米種一棵樹。一共需要多少棵？

（2） 理解題意。

師：每隔5米種一棵是什么意思？

生：兩棵樹之間的距離是5米。

師：你能畫一畫，讓大家看明白嗎？

學生示范，接著教師演示課件：一棵樹，一個5米的間隔，再出示一棵樹。

2. 嘗試解答，提出設(shè)想。

（1） 請你猜一猜，一共需要種幾棵樹？

生1：20棵。

生2：19棵。

生3：21棵。

師：看來，同學們有不同的想法，到底哪種是正確的呢？我們怎樣去驗證？

生：我們可以畫圖。

課件根據(jù)學生描述演示情境圖動態(tài)生成線段圖。

師：怎么畫？你來說我來畫?，F(xiàn)在種了幾米？

生：25米。

師：種完了嗎？

生：沒有。

師：要把1000米種完，你覺得怎么樣？

生：太麻煩了。

師：是的，1000米太長了，研究起來不方便，怎樣才能使我們的研究更方便呢？

生：可以將路縮短一些。

師：真是個好辦法，從小數(shù)據(jù)入手，探討出規(guī)律，然后用規(guī)律來解決數(shù)據(jù)大的問題。這種思想也就是我們數(shù)學上常用的“以大見小”的思想不謀而合。那你想將路縮短到多少米長來研究？

學生自由回答。

師：接下來，就用你們的方法，將路縮短到20米來研究，看看植樹問題有沒有規(guī)律？

【設(shè)計意圖：數(shù)學思想方法是數(shù)學的生命和靈魂，是數(shù)學知識的精髓，是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。本環(huán)節(jié)通過開放的問題情境，讓學生猜一猜一共需要幾棵樹，接著學生自然產(chǎn)生用畫線段等方法驗證猜想的想法，教師順應學生的思維，采用課件演示，使學生直觀地感受到“1000米”這個數(shù)據(jù)太大，畫起來麻煩，引起學生化繁為簡、探究規(guī)律的欲望，從而體現(xiàn)化繁為簡的數(shù)學思想與研究策略?！?/p>

3. 探究規(guī)律構(gòu)建模型。

讓學生利用畫圖的方法研究“在全長20米的馬路一邊植樹，每隔5米種一棵樹，一共需要多少棵？”的植樹情況。

（1） 展示學生三種不同的圖示。

（2） 共同研究“兩端都栽”。

師：我們先來看看這種情況。你是怎樣畫圖的？

生1：先種一棵樹隔5米再種一棵，再隔5米再種一棵，一直到種了20米，一共種了5棵。

生2：20米，每隔5米種一棵，20里面有4個5米，20÷5=4兩端都種所以要種5棵。

師：這里的20和5分別表示什么？4呢？

生：20表示路的總長是20米，5就是每隔5米種一棵，也就是每段長度，4表示有這樣的4段。

師：4段栽了幾棵樹？

生：5棵樹。

（3） 引導比較，進行梳理。

師：比較“在全長20米的馬路一邊植樹，每隔5米種一棵樹。一共需要多少棵？”和“20米路，每5米分一段，一共分了幾段？”這兩題，有什么相同的地方？

生：都是20米。

生：都有算式：20÷5=4。

師：為什么都要用除法計算？

生：因為都是把總長20米，5米一段進行平均分。

師：不一樣的是什么？

生：第二個問題還要加1。

師：既然兩題都是平均分成4段，為什么這里要再加1呢？

生：因為兩端都要種。

師：兩端都要種，那為什么不加2而加1呢？

（4） 把現(xiàn)實世界中的“樹”和“間隔”抽象看成“點”和“段”。

同學們，平均分是一段一段分的，但是我們種樹的時候是種在哪里的？（種在點上）。

（5） 以“一一對應”為基礎(chǔ)，再次借助線段圖建構(gòu)“點段關(guān)系”。

這里點和段之間有什么關(guān)系？根據(jù)學生回答，完成下列線段圖。

師：是的，一個點對應一個段，一個點對應一個段，4個點對應了4個段，最后還多出一個點，所以要加1。

（6） 學生借助線段圖分析只種一端和兩端都不種的情況。

……

【設(shè)計意圖：授人以魚不如授人以漁。本環(huán)節(jié)主要想利用圖示，重點解讀點段的對應關(guān)系，體會“一一對應”的思想，把抽象的思維過程形象直觀化，為構(gòu)建植樹問題的數(shù)學模型夯實基礎(chǔ)。】

4. 對比異同整體構(gòu)建。

師：同一道題目，有三種不同的栽法，這三種情況，有什么相同之處？

生：都是先算20÷5。

師：20÷5表示什么？（段數(shù)）

師：那這三種情況有什么不同之處呢？

學生分析三種情況樹與段數(shù)之間的關(guān)系。

師：看來要解決植樹問題，準確地找到段數(shù)是關(guān)鍵所在。

……

【設(shè)計意圖：通過植樹問題三種情況的比較，準確地認識到樹的棵數(shù)變化的原因，讓學生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取其中的數(shù)學模型，使“植樹問題”的數(shù)學模型真正根植于學生的內(nèi)心，而非簡單的被動記憶，促使學生形成比較完善的認知結(jié)構(gòu)?！?/p>

【且聽我們論道】

一、 整體構(gòu)建知識體系

教材是學習材料的文本體現(xiàn)，是一個載體，需要我們教師認真研讀、感悟、領(lǐng)會。教師解讀教材有多深，就決定他的學生在課堂上走多遠。本節(jié)課筆者對教材進行了整合，將“兩端都種”這個條件舍去，促使學生主動聯(lián)系生活實際，發(fā)現(xiàn)植樹中遇到的具體情況，再以學生熟知的“段數(shù)”入手，重點分析“兩端都種”的植樹情況，再利用遷移規(guī)律以點帶面，整體構(gòu)建植樹問題的知識體系。這樣的教學有利于讓學生從整體上加以比較，通過對比認識，溝通這三種情況的聯(lián)系，促進相互理解，使學生從潛移默化中感受到點段之間的聯(lián)系，獲得比較完整的認知結(jié)構(gòu)，遵循了知識的生成原理，有利于學生從整體上理解、宏觀上把握解決植樹問題的思想方法。

二、 準確把握教學起點

《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學的教學過程，是一個以學生已有知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程?！北竟?jié)課筆者利用學生已有的知識經(jīng)驗，直接從除法的意義入手，從除法問題引申出植樹問題，并通過比較分析，讓學生認識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹問題”其實只是點和段之間的問題，這樣既減輕了學生理解“間隔數(shù)”的困難，又避免了“間隔”這個詞與生活中的“間隔”相混淆，符合學生的知識與生活經(jīng)驗，體現(xiàn)“以學定教”的精髓。

三、 滲透思想授人以漁

數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓，不管是數(shù)學概念的建立、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學問題的解決，乃至整個數(shù)學大廈的構(gòu)建，其核心問題在于數(shù)學思想方法的培養(yǎng)和建立。因此，教學中，我們不僅要重視知識形成過程，還要重視挖掘在數(shù)學知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊藏的重要思想方法。傳統(tǒng)教法，教師往往把本節(jié)課的著眼點放在對規(guī)律發(fā)現(xiàn)后的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系的掌握上，學生死記硬背數(shù)量關(guān)系式，這樣的目標定位造成學生嚴重的認知負荷。本節(jié)課，筆者設(shè)計一系列合理有效的教學活動引導學生經(jīng)歷數(shù)學建模的整個過程，把教材體系中“知識”與“思想”這一明一暗兩條線完美糅合。首先，筆者讓學生以猜一猜的形式，對例題做初步的猜測，引發(fā)認知沖突，在此基礎(chǔ)上引導學生認識到為了便于研究可以把復雜問題簡單化，滲透化繁為簡的數(shù)學思想。在建構(gòu)植樹模型時，筆者先指導學生整體理解題意，再把現(xiàn)實世界中的“樹”和“間隔”抽象看成“點”和“段”，利用畫圖的方式建構(gòu)“點段”關(guān)系。再通過對比構(gòu)建植樹問題的基本模型：總長度÷間距=段數(shù)，至于棵樹是否等于段數(shù)，或是否加減1，需具體情況具體分析。

筆者期望，當學生離開教室時，留在學生腦中印象最深的是“一一對應”“化繁為簡”“植樹模型”等數(shù)學思想方法，這才是“植樹問題”真正的教學價值所在。