小學數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學思想方法

王永春

一、我國數(shù)學教育的優(yōu)勢和不足

中國數(shù)學教育的某些優(yōu)勢是明顯的，上海參加PISA測試的學生在65個國家的同齡學生中脫穎而出，在閱讀（Reading）、數(shù)學（Math）和科學（Science）三項評價中均大幅領先排在第一位。在2014年5月召開的首屆華人數(shù)學教育會議上，有專家認為：中國數(shù)學教育的主要優(yōu)勢是“雙基+變式練習”，中國數(shù)學教育主要有三個弱項：獨立思考、問題解決、創(chuàng)造性。因此，中國學生創(chuàng)造性地解決實際問題的能力還有待提高！

在2014年10月召開的中國教育學會小學數(shù)學年會上，美國陶森大學孫偉教授認為：美國數(shù)學教育學生分為三個層次：前20%，高中學習Advanced Placement（大學先修課，其中有一批優(yōu)秀的學生已經(jīng)修完了微積分課程）；中間60%，基本達標；20%，不達標（上社區(qū)大學后需要補中學甚至小學數(shù)學的內(nèi)容）。修完微積分的學生主要是基于興趣學習數(shù)學，其中部分學生進入大學后繼續(xù)研究數(shù)學。

美國特拉華大學蔡金法教授通過比較中美學生在四類數(shù)學任務上的表現(xiàn)后發(fā)現(xiàn)，中國整體水平（平均數(shù)）高于美國，極差和方差小于美國，高水平的低于美國，低水平的高于美國。這說明中國保底教育搞得好，人人獲得良好的數(shù)學教育；但是上面封頂了，不同的人在數(shù)學上沒有得到更好的發(fā)展，中國尖子生不如美國的發(fā)展得好。

作為一名小學數(shù)學教師，首先要恰當?shù)乩^承我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng)和經(jīng)驗，改變教師講授、學生聽的單一模式，引導和啟發(fā)學生獨立思考和創(chuàng)造。培養(yǎng)獨立思考能力應該加強主體性教學，引導學生學會數(shù)學地思考，會運用數(shù)學思想和方法解決問題。我們還應學習西方的優(yōu)點，今后應該把天花板蓋高一些，給優(yōu)秀的、有興趣學習的孩子提供更大的空間，減少不必要的過度的訓練，讓那些想學習的孩子不要在題海戰(zhàn)術中消磨了進一步學習的熱情和創(chuàng)造力。其次，為我國經(jīng)濟的轉型升級和可持續(xù)發(fā)展培養(yǎng)人才打造小學數(shù)學教育的升級版：①構建小學數(shù)學核心素養(yǎng)（學什么），②探索主體性教學模式 （如何學好），③建立新的評價考試體系（到底學得好不好）。

二、小學數(shù)學核心素養(yǎng)主要指標

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出了“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）、“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題）、十大核心概念（數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識）。

高中數(shù)學課程總目標（修訂草稿）指出：在義務教育階段學習的基礎上，通過高中數(shù)學課程的學習，進一步提高作為現(xiàn)代社會公民所應具備的數(shù)學素養(yǎng)，特別是數(shù)學核心素養(yǎng)，促進全面、可持續(xù)發(fā)展。使學生獲得“四基”、發(fā)展“四能”、學會“三用”。高中數(shù)學課程標準跟小學義務教育課程總目標一致，進一步明確了至少未來5年、8年我們要沿著“四基”“四能”的方向去努力。

數(shù)學核心素養(yǎng)包含具有數(shù)學基本特征的思維品格和關鍵能力，是數(shù)學知識、技能、思想、經(jīng)驗及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學核心素養(yǎng)既反映課程內(nèi)容的主線，聚焦課程目標要求，也是學業(yè)質量標準的集中反映。高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括： 抽象能力、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、運算能力、數(shù)據(jù)分析。更一般地說，還包括學會學習、數(shù)學應用、創(chuàng)新意識。

小學數(shù)學核心素養(yǎng)可以從以下幾方面來認識。

知識：概念、公式、法則、性質、定律等是基礎。

能力：運算、推理、空間想象、數(shù)據(jù)分析、幾何直觀、解決問題（純數(shù)學、聯(lián)系實際、開放性）建模。

思想方法：理性思維的升華，是核心素養(yǎng)的核心。

三、小學階段重要的數(shù)學思想

抽象、符號化、模型、化歸、推理、方程和函數(shù)、數(shù)形結合、分類討論、統(tǒng)計、極限、假設、分析與綜合、變中有不變、變換、算理算法都是小學階段涉及的重要的數(shù)學思想。

（一）抽象思想

1. 抽象思想的概念。數(shù)學抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關系和空間形式的真實材料進行加工、提煉出共同的本質屬性，用數(shù)學語言表達進而形成數(shù)學理論的過程。數(shù)學抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

2. 如何理解抽象思想。（1）數(shù)學抽象在數(shù)學教學的過程中無處不在。 任何一個數(shù)學概念、法則、公式、規(guī)律等的學習，都要用到抽象概括。（2） 數(shù)學抽象是有層次的。隨著數(shù)學的發(fā)展呈現(xiàn)出了逐步抽象的過程。如，數(shù)的發(fā)展，從結繩記數(shù)得到1，2，3，……等有限的自然數(shù)，再通過加法的運算，得到后繼數(shù)，形成了無限的正整數(shù)序列： 1，2，3，……，n， …… 在此基礎上形成了正整數(shù)集合N。

3. 抽象思想的應用。抽象思想在數(shù)學中無處不在。如一年級上冊，在教學10的認識時，多數(shù)教師會結合計數(shù)器、點子圖、小棒等直觀教具認識到9添上1是10，然后再進一步學習10的組成及加減法。沒有引導學生思考：10與前面學習的0～9這些數(shù)有什么不同？這里實際上隱含一個非常重要的思想方法——數(shù)學抽象，它比8和9的抽象水平更高，因為10不僅是對任何數(shù)量是10的物體的抽象，而且進一步地說它已經(jīng)不再用新的數(shù)字計數(shù)了，而是采用了偉大的十進位值制計數(shù)原理。

4. 數(shù)學抽象思想的教學。

具體 → 抽象 → 具體

↓ ↓ ↓

情境 → 模型 → 應用

注意，這里的模型是廣義的，數(shù)學概念、法則、公式、數(shù)量關系、規(guī)律等都可以理解為模型。

（二）模型思想

1.模型思想的概念。數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。從廣義角度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數(shù)量關系式、圖表、程序等都是數(shù)學模型。數(shù)學模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學家對數(shù)學模型的理解似乎更注重數(shù)學的應用性，即把數(shù)學模型描述為事物系統(tǒng)特定的數(shù)學關系結構。如通過數(shù)學在經(jīng)濟、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學等領域的應用，所構造的各種數(shù)學模型。為了把數(shù)學模型與數(shù)學知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，主要從狹義的角度討論數(shù)學模型，即重點分析小學數(shù)學的應用及數(shù)學模型的構建。

2.模型思想的重要意義。模型思想在數(shù)學思想方法中有非常重要的地位。如果說符號化思想更注重數(shù)學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數(shù)學的應用，即通過數(shù)學結構化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題。當然，把現(xiàn)實情境數(shù)學結構化的過程也是一個抽象的過程。

2011版課程標準與原課程標準相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識”。

3.以數(shù)學模型為核心的問題解決的教學。傳統(tǒng)上應用題的結構與四則運算、混合運算相匹配，包括有連續(xù)兩問的應用題、相似應用題的比較，現(xiàn)在有問題串，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是知識結構的基礎，但這種結構是線性的。

我們以基本模型和問題為核心，構建問題鏈，可以是網(wǎng)狀結構，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。以s=vt為例，模型結構圖如下，a是常數(shù)。請老師自己編題。

（三）推理思想

1. 推理思想的概念。推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真時，合情推理所得的結論可能為真也可能為假。

2. 推理思想的重要意義。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論的正確性。人們在利用數(shù)學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成。但是就人的思維能力構成而言，推理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學教育的主要任務之一。

3.推理思想的教學。就演繹推理和合情推理的關系及教學建議，根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》關于推理思想的理念和要求，在小學數(shù)學教學中要注意把握以下幾點。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學教學的始終。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實去發(fā)現(xiàn)和總結一般性的結論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。二者在數(shù)學中的作用都是很重要的。事實上，小學數(shù)學教材和教學長期重視歸納法，現(xiàn)在應加強類比法、演繹推理。如，整數(shù)乘法運算定律推廣到分數(shù)，學生已有的知識基礎是分數(shù)的運算順序、整小數(shù)運算律；教學時，可不必再探究，直接引導學生類比。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領域的教學要有機地結合，在教學過程中要給學生提供各個領域豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發(fā)現(xiàn)結論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水平和接受能力。

四、如何進行數(shù)學思想方法的學習研究

首先，要轉變觀念，提高認識。建立現(xiàn)代數(shù)學教育觀、落實新課程理念，培養(yǎng)人的理性精神、邏輯思維、解決問題的能力；提高教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學水平，授人以漁、既見樹又見林，實現(xiàn)高觀點下的小學數(shù)學教育；提高學生的思維水平、培養(yǎng)“四能”，認識數(shù)學的價值（不能單純地認為數(shù)學是考試升學的工具）。

其次，注重團隊研修。有條件的話，本校所有數(shù)學教師全員參與，按照主要的核心素養(yǎng)和思想方法，如抽象、推理、轉化、數(shù)形結合、模型、方程與函數(shù)、統(tǒng)計、其他等分成若干個專題，在一年的時間內(nèi)，大約一個月搞一次專題研修活動，所有教師分成幾個小組，每次活動以一個小組為主，匯報一個專題的學習研究成果。

再次，將理論學習與教學實踐結合。在一年的時間內(nèi)，可根據(jù)教學進度確定每個月的交流專題，每個教師的匯報能夠結合案例，最好是在課堂中進行幾次教學實踐探索，總結比較成熟的經(jīng)驗，便于在全校教師中推廣。

最后，以積累優(yōu)秀案例的方式積累教學經(jīng)驗。每一個普通教師要以名師為學習的榜樣，需要學習其方方面面，但是更要從具體的事情做起。希望每個教師每學期研究兩節(jié)課，重點體現(xiàn)一兩個數(shù)學思想方法，寫成教學設計，包括學情分析、教材分析、教學過程、教學反思、磨課過程等。

總之，在小學數(shù)學課中滲透數(shù)學思想，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)不是一朝一夕的事情，需要我們用聯(lián)系和發(fā)展的觀點，處理好知識間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學生將碎片化的知識建構為結構化的知識，促進學科的深度學習。知易行難，行勝于言，內(nèi)化于心，外化于行，只有這樣我們的學習、研究才會真正發(fā)生。