彈性體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值分析*

郭小煒， 劉占芳， 郝志明

(1.重慶大學(xué)煤礦災(zāi)害動(dòng)力學(xué)與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400030；2.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院， 重慶 400030；3.中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所， 四川 綿陽(yáng) 621900)

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彈性體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值分析*

郭小煒1,2， 劉占芳1,2， 郝志明3

(1.重慶大學(xué)煤礦災(zāi)害動(dòng)力學(xué)與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400030；2.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院， 重慶 400030；3.中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所， 四川 綿陽(yáng) 621900)

應(yīng)用含偶應(yīng)力的彈性理論建立彈性力學(xué)模型，應(yīng)變和曲率張量分別描述彈性體的平動(dòng)變形和旋轉(zhuǎn)變形,且分別對(duì)應(yīng)于應(yīng)力和偶應(yīng)力兩種內(nèi)力。對(duì)已知定軸變轉(zhuǎn)速剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，采用哈密爾頓原理建立了含偶應(yīng)力彈性體作定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)與變形耦合動(dòng)力學(xué)模型，模型計(jì)及了相對(duì)慣性力、離心力、科氏力和切向慣性力。考慮以彈性體的位移和變形轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，利用約束變分原理建立了含偶應(yīng)力彈性體作定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的有限元方程，其中單元離散采用8個(gè)節(jié)點(diǎn)48個(gè)自由度的三維六面體實(shí)體等參元。以繞定軸旋轉(zhuǎn)的懸臂梁為例，數(shù)值分析了旋轉(zhuǎn)懸臂梁的動(dòng)力學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。當(dāng)幅值變化但剛體轉(zhuǎn)速恒定時(shí)，旋轉(zhuǎn)方梁的一階特征頻率出現(xiàn)隨轉(zhuǎn)速增加保持不變和下降兩種情況。當(dāng)剛體變轉(zhuǎn)速時(shí)，考察了旋轉(zhuǎn)懸臂梁位移、變形轉(zhuǎn)角、動(dòng)態(tài)應(yīng)力以及偶應(yīng)力的時(shí)變規(guī)律。該研究可為作定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)部件的動(dòng)力學(xué)分析提供理論模型和數(shù)值分析方法。

偶應(yīng)力彈性理論；剛-柔耦合； 運(yùn)動(dòng)與變形耦合模型； 慣性力效應(yīng)； 約束變分原理

引　言

剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析在航空航天、機(jī)器人和高速旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)等領(lǐng)域具有重要的理論和工程應(yīng)用價(jià)值。譬如直升機(jī)旋翼、衛(wèi)星天線、太陽(yáng)能帆板和大型渦輪機(jī)葉片等，這類(lèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變量既有大范圍的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，又有小幅度的彈性變形，二者產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者[1-16]對(duì)這種大范圍運(yùn)動(dòng)的柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了長(zhǎng)期研究，這些研究主要集中在柔性結(jié)構(gòu)的大范圍運(yùn)動(dòng)與其自身變形的耦合問(wèn)題上，提出了剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，特別考慮了柔性結(jié)構(gòu)的初應(yīng)力效應(yīng)以及幾何非線性影響的動(dòng)力剛化效應(yīng)問(wèn)題。洪嘉振[3-6]等基于柔性梁的小變形假設(shè)，得到了梁的一次近似剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，該模型相比傳統(tǒng)的零次近似耦合模型更適用于大范圍運(yùn)動(dòng)速度較高的情形，但隨著柔性部件尺寸的增大或者結(jié)構(gòu)材料柔度的增加，這個(gè)模型得出的結(jié)果與實(shí)際情況會(huì)出現(xiàn)較大誤差。文獻(xiàn)[3]提出了考慮非線性耦合變形量高階項(xiàng)的高次耦合動(dòng)力學(xué)模型，未提及高次耦合模型與一次近似耦合模型的具體差異以及高次耦合模型能否適應(yīng)大變形問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]建立了考慮耦合變形量高階項(xiàng)的大范圍旋轉(zhuǎn)柔性梁的完整動(dòng)力學(xué)模型，指出當(dāng)柔性梁變形或者變形速度較大時(shí)一次近似耦合模型將出現(xiàn)數(shù)值發(fā)散的情況，而完整耦合模型的計(jì)算結(jié)果則依然收斂。

傳統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型針對(duì)如板梁[7-8,14]等具體結(jié)構(gòu)型式，能夠獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和位移響應(yīng)，但不能給出應(yīng)力應(yīng)變的響應(yīng)。就旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)而言，動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)對(duì)判斷應(yīng)用幾何非線性或物理非線性是關(guān)鍵的控制變量，例如結(jié)構(gòu)是否達(dá)到了屈服應(yīng)力狀態(tài)。為了能夠同時(shí)考慮旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性和包括位移、應(yīng)力應(yīng)變等動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，本文考察任意彈性體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

彈性力學(xué)理論的重要進(jìn)展是提出了含偶應(yīng)力的彈性力學(xué)理論。偶應(yīng)力彈性力學(xué)[17-20]的理論基礎(chǔ)是在應(yīng)變張量的基礎(chǔ)上引入曲率張量，應(yīng)變描述了平動(dòng)變形，曲率張量即旋轉(zhuǎn)矢量之梯度則描述了旋轉(zhuǎn)變形。在材料本構(gòu)關(guān)系方面，相比經(jīng)典彈性力學(xué)的廣義胡克定律，必須增加偶應(yīng)力與曲率張量的本構(gòu)關(guān)系。偶應(yīng)力彈性理論已在彈性體孔周應(yīng)力集中系數(shù)[21]、裂紋擴(kuò)展及微結(jié)構(gòu)[22-23]等靜力學(xué)分析中得到了較多應(yīng)用。偶應(yīng)力彈性理論一個(gè)重要特點(diǎn)是能夠考慮結(jié)構(gòu)的尺寸效應(yīng)，對(duì)于具有強(qiáng)烈尺度效應(yīng)的微機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展具有重要價(jià)值，已有研究[16]對(duì)剛體-微梁系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，在微觀尺寸下，基于偶應(yīng)力彈性理論得出的結(jié)果與未考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)的經(jīng)典彈性理論有較大差異。

本文采用含偶應(yīng)力的彈性理論描述任意彈性體的力學(xué)行為，利用哈密爾頓(Hamilton)原理[24]建立彈性體繞定軸作變速剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型。應(yīng)用約束變分原理，以位移和變形轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，構(gòu)造了8結(jié)點(diǎn)48自由度的六面體等參元，建立了彈性體作定軸變轉(zhuǎn)速剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析有限元方程。以作定軸變速旋轉(zhuǎn)的空間懸臂梁為例開(kāi)展了動(dòng)力特性和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)值分析，考察了旋轉(zhuǎn)梁的旋轉(zhuǎn)變形和作用于旋轉(zhuǎn)梁的慣性力的動(dòng)力學(xué)影響。

1　含偶應(yīng)力彈性體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型

考慮旋轉(zhuǎn)變形的彈性體，彈性體的變形由平動(dòng)變形和旋轉(zhuǎn)變形合成。在小變形條件下，位移梯度分解為應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量之和

(1)

其中應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量

(2)

(3)

旋轉(zhuǎn)張量Ω為二階反對(duì)稱(chēng)張量，與其等價(jià)的旋轉(zhuǎn)矢量?為

(4)

(5)

所以曲率張量是旋轉(zhuǎn)矢量的梯度。

彈性體的總應(yīng)力是對(duì)稱(chēng)應(yīng)力和反對(duì)稱(chēng)應(yīng)力之和，而反對(duì)稱(chēng)應(yīng)力聯(lián)系著偶應(yīng)力。對(duì)稱(chēng)應(yīng)力與應(yīng)變張量的本構(gòu)關(guān)系滿足廣義胡克定律，偶應(yīng)力m和曲率張量χ的本構(gòu)關(guān)系則表達(dá)了關(guān)于旋轉(zhuǎn)變形的內(nèi)力與變形特性，兩個(gè)本構(gòu)關(guān)系[25]改成為

(6)

式中λ，μ為拉梅參數(shù)，η為旋轉(zhuǎn)模量。

(7)

(8)

式中t=σ+τ為作用于彈性體質(zhì)點(diǎn)上的非對(duì)稱(chēng)應(yīng)力，a為彈性體質(zhì)點(diǎn)的加速度。含偶應(yīng)力彈性體滿足邊界條件：

(9)

(10)

在偶應(yīng)力彈性理論中，彈性體質(zhì)點(diǎn)上同時(shí)作用著非對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力和偶應(yīng)力，分別對(duì)應(yīng)著平動(dòng)變形和旋轉(zhuǎn)變形，并且應(yīng)力和偶應(yīng)力滿足動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒方程。

下面考慮彈性體作定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。建立一個(gè)固定坐標(biāo)系{ei′}和一個(gè)固結(jié)在彈性體上的浮動(dòng)坐標(biāo)系{ei}，如圖1所示。彈性體繞一定軸以角速度ω作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1　繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的彈性體及其坐標(biāo)系Fig.1　The elastic body rotates about an axis

彈性體上任意一點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的位置矢量為[26]

(11)

式中R為聯(lián)系浮動(dòng)坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系的正交張量。矢徑r′為質(zhì)點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的位置矢量，注意矢徑r0為定系原點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的位置矢量，作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持不變，但矢徑r0在固定坐標(biāo)系下由于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)是變化的。矢徑x0為浮動(dòng)坐標(biāo)系下彈性體上任意一點(diǎn)的初始位置。矢徑u為浮動(dòng)坐標(biāo)系下彈性體上任意一點(diǎn)的位移。

Euler-Rodrigues旋轉(zhuǎn)公式[27]可以表達(dá)為

(12)

(13)

(14)

運(yùn)動(dòng)著的彈性體具有動(dòng)能T、應(yīng)變能U和外力功W。假設(shè)在瞬時(shí)t1和t2，彈性體所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為給定的兩種狀態(tài)，哈密爾頓原理表達(dá)式[24]為

(15)

式中t1和t2為給定的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的時(shí)刻，δT為系統(tǒng)動(dòng)能的變分，δU為彈性體應(yīng)變能的變分，δW為作用于彈性體上外力功的變分。

作大范圍剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的含偶應(yīng)力彈性體，在固定坐標(biāo)系下，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能為

(16)

將式(13)代入式(16)得到

(17)

式中ρ為彈性體的密度。由正交張量的保內(nèi)積性質(zhì)可得系統(tǒng)動(dòng)能T為

(18)

(19)

系統(tǒng)動(dòng)能T的變分為

(20)

在上述的推導(dǎo)過(guò)程中，變分運(yùn)算、積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的次序可以交換。將式(20)對(duì)時(shí)間t從t1到t2進(jìn)行積分，得到

(21)

由于時(shí)刻t1，t2為系統(tǒng)給定的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，彈性體的位移變分為零，δu(t1)=0和δu(t2)=0，所以式(21)中第1項(xiàng)對(duì)時(shí)間積分，得到

(22)

同理可得式(21)中第4項(xiàng)為0。

注意到矢量的混合運(yùn)算滿足下式

(23)

對(duì)于已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，利用上式，式(21)中第3項(xiàng)改寫(xiě)為

(24)

同樣注意到矢量的混合運(yùn)算滿足

(25)

則式(21)中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)之和改寫(xiě)為

(26)

將式(24)和(26)代入式(21)得

(27)

δW=∫Vρ(δu′·b′+δ?′·c′)dV+

(28)

(29)

將邊界條件(9)代入式(29)并利用高斯積分變換公式，可得

δW=∫V[ρ(δu·b+δ?·c)+(δu··t+δ?··m+t:δu+m:δ?)]dV

(30)

將式(8)代入式(30)得

δW=∫V[δu·(·t+ρb)+(δε:σ+δχ:m)]dV

(31)

含偶應(yīng)力彈性體的變形能包含質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)變形能和旋轉(zhuǎn)變形能，在固定坐標(biāo)系下，彈性體變形能U的變分為

δU=∫V(δε′:σ′+δχ′:m′)dV=

∫V(δRTεR:RTσR+δRTχR:RTmR)dV=

∫V(δε:σ+δχ:m)dV

(32)

將式(27)，(31)和(32)代入式(15)得到含偶應(yīng)力彈性體的哈密爾頓方程

(r0+x0+u)}dVdt=0

(33)

使方程(33)對(duì)任意時(shí)刻t都成立，必須滿足體積為V、面積為S的任意彈性體上的積分為零，即有

(34)

由于δu≠0，則上式必須滿足

(

(35)

考慮到含偶應(yīng)力彈性體中t=σ+τ，將式(10)代入上式，得到另一種形式的含偶應(yīng)力彈性體的動(dòng)力學(xué)方程

×(×c=

(36)

由方程式(35)或(36)可知，彈性體由于作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)受到了離心力、切向慣性力、科氏慣性力的附加慣性力作用，造成彈性體的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生演化。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與彈性變形發(fā)生了運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合。觀察發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，耦合動(dòng)力學(xué)模型退化為含偶應(yīng)力彈性理論，且進(jìn)一步忽略彈性體旋轉(zhuǎn)變形，含偶應(yīng)力彈性理論退化為經(jīng)典彈性力學(xué)。

2　含偶應(yīng)力彈性體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)方程的有限元格式

含偶應(yīng)力彈性體體積為V，面積為S，取權(quán)函數(shù)為真實(shí)位移的變分δu和變形轉(zhuǎn)角的變分δ?，彈性體內(nèi)力所作的虛功，作用于彈性體上外力和外力偶所作的虛功以及系統(tǒng)作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生附加慣性力所作的虛功滿足虛功方程

(37)

式中δε和δχ為虛應(yīng)變和虛曲率張量。注意到曲率張量χ是位移的二階導(dǎo)數(shù)而變形轉(zhuǎn)角?是位移的一階導(dǎo)數(shù)，采用有限元方法進(jìn)行數(shù)值分析時(shí)，為避免變形轉(zhuǎn)角在節(jié)點(diǎn)上的非連續(xù)性，采用約束變分原理來(lái)建立有限元方程。為此，在彈性體內(nèi)引入一個(gè)附加變形轉(zhuǎn)角φ，該變形轉(zhuǎn)角φ與由位移決定的變形轉(zhuǎn)角?在彈性體域內(nèi)滿足變分約束條件：∫Vδ(φ-?)·(φ-?)dV=0。對(duì)彈性體進(jìn)行有限元離散時(shí)，附加變形轉(zhuǎn)角φ與位移一起作為單元節(jié)點(diǎn)未知變量，則位移與變形轉(zhuǎn)角φ均滿足連續(xù)性要求。利用罰因子α將約束條件引入虛功方程，即有含偶應(yīng)力彈性體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的虛功方程(37)的約束變分形式為

α∫Vδ(φ-?)·(φ-?)dV=0

(38)

采用六面體8個(gè)節(jié)點(diǎn)48個(gè)自由度的等參元對(duì)彈性體進(jìn)行離散，單元體上節(jié)點(diǎn)位移和變形轉(zhuǎn)角均為未知變量，單元節(jié)點(diǎn)位移-轉(zhuǎn)角列陣：

(39)

(40)

考慮到偶應(yīng)力是非對(duì)稱(chēng)的，應(yīng)力-偶應(yīng)力列陣：

(41)

式中D1為經(jīng)典的彈性矩陣，D2為偶應(yīng)力與曲率張量的本構(gòu)關(guān)系矩陣。其中D2=4ηI9×9，I9×9為9×9單位矩陣。

關(guān)于增加的約束項(xiàng)，取其變形轉(zhuǎn)角差值列陣為{φ-?}=[φx-?xφy-?yφz-?z]T，與單元節(jié)點(diǎn)位移-轉(zhuǎn)角列陣δe存在關(guān)系

(42)

約束變分原理中出現(xiàn)的附加慣性力都與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)速度有關(guān)。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω等價(jià)于二階反對(duì)稱(chēng)張量Θ，且滿足Θ=-·ω，注意以下關(guān)系式

(43)

(44)

{δδe}T(∫VeρΝTΘ′2ΝdV)δδe+

{δδe}T(α∫VeBαTBαdV)δδe={δδe}T(∫VeρΝTfdV)+

(45)

由于單元節(jié)點(diǎn)位移-轉(zhuǎn)角變分的任意性，立即有含偶應(yīng)力彈性體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型的有限元方程

(46)

對(duì)于離散為n個(gè)單元的含偶應(yīng)力彈性體，由單元有限元方程組集可得結(jié)構(gòu)總體有限元方程

(47)

式中M為n個(gè)單元質(zhì)量陣組集成的彈性體質(zhì)量陣，C為單元科氏矩陣組集成的總體科氏矩陣，K為單元?jiǎng)偠染仃?、單元離心剛度矩陣、單元切向剛度矩陣和單元約束矩陣組集成的系統(tǒng)總體剛度陣，P為單元體力和面力列陣、單元初始離心力列陣和單元初始切向慣性力列陣組集成的彈性體廣義外力列陣，δ為彈性體的位移-變形轉(zhuǎn)角列陣。

3　作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂梁的耦合動(dòng)力學(xué)分析

利用上述有限元方程對(duì)旋轉(zhuǎn)懸臂梁的動(dòng)態(tài)頻率、動(dòng)態(tài)位移、動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力等進(jìn)行系統(tǒng)分析。繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的懸臂梁如圖2所示，梁的一端固定在轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性輪轂上，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω。固定坐標(biāo)系的原點(diǎn)為o′。浮動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)懸臂梁的固定端面中心，其中x軸沿著梁的展向，y軸沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的切向，z軸與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)軸一致。浮動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)與固定坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離r0=1.0 m，梁長(zhǎng)L=10 m，梁橫截面寬度B=0.1 m，橫截面高度H=0.2 m。選取懸臂梁的材料為軋制錳黃銅，材料的彈性模量為E=110 GPa、泊松比ν=0.35、密度ρ=8.5×103kg/m3。為確定軋制錳黃銅的旋轉(zhuǎn)模量，參照Fleck和Hutchinson[21]細(xì)銅絲扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)，銅的內(nèi)稟長(zhǎng)度約為l=4 μm，利用η=μl2得旋轉(zhuǎn)模量η=0.72 Pa·m2。

圖2　繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的懸臂梁Fig.2　The cantilever beam rotating along a fixed axis

對(duì)已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，耦合動(dòng)力學(xué)方程是時(shí)變的偏微分方程組，即方程中的系數(shù)項(xiàng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的速度有關(guān)。在剛體轉(zhuǎn)速恒定情況下，耦合動(dòng)力學(xué)方程退化為常系數(shù)偏微分方程組，這時(shí)可考察不同恒定轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)懸臂梁的特征頻率。圖3為旋轉(zhuǎn)懸臂梁作剛體恒定轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)但幅值不同時(shí)的第1階特征頻率。旋轉(zhuǎn)懸臂方梁不作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其第1階模態(tài)為懸臂梁的橫向彎曲振動(dòng)，即梁截面的寬度和高度兩個(gè)方向，因而其相應(yīng)的第1階模態(tài)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)特征頻率值。從圖3可以看出，旋轉(zhuǎn)懸臂梁的第1階模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征頻率值會(huì)隨著剛體恒定轉(zhuǎn)速幅值的改變而發(fā)生漂移。第1階模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征頻率值會(huì)隨著剛體恒定轉(zhuǎn)速的增加保持不變和下降兩種情況。旋轉(zhuǎn)懸臂梁的特征頻率值隨著恒定轉(zhuǎn)速幅值的不斷增加將會(huì)逐漸下降，這里將會(huì)出現(xiàn)使得其特征頻率趨近于零時(shí)的最大剛體恒定轉(zhuǎn)速，這個(gè)最大恒定轉(zhuǎn)速幅值約為2.52 rev/s，此值為旋轉(zhuǎn)懸臂梁不作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的第1階固有頻率值。由于特征頻率值不能為零或者低于零，因而剛體恒定轉(zhuǎn)速幅值不能超過(guò)這個(gè)值。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是由于計(jì)算模型中出現(xiàn)的附加慣性力項(xiàng)，包括相對(duì)慣性力、離心力、科氏力和切向慣性力等對(duì)旋轉(zhuǎn)懸臂梁的特征頻率的影響，其中離心力對(duì)其影響最為顯著。

圖3　不同恒定轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)懸臂梁的特征頻率Fig.3　Dynamic frequency of rotational cantilever beam versus varied constant rotational velocity

令已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變化規(guī)律[1]為

(48)

式中ts為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到恒定轉(zhuǎn)速之前的加速時(shí)間，ωs為最終的恒定轉(zhuǎn)速。

取加速時(shí)間為20.0 s以及最終的恒定轉(zhuǎn)速為6.0 rad/s，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度按照式(48)進(jìn)行變化，得到圖4所示的旋轉(zhuǎn)懸臂梁轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度隨時(shí)間的變化曲線。

圖4　角速度和角加速度時(shí)間歷程Fig.4　Time history of the angular velocity and angular acceleration

數(shù)值計(jì)算得到了旋轉(zhuǎn)懸臂梁繞定軸作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，包括懸臂梁的動(dòng)態(tài)位移、動(dòng)態(tài)變形轉(zhuǎn)角、動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力隨時(shí)間的變化曲線。圖5描述了旋轉(zhuǎn)懸臂梁自由端面中心點(diǎn)處的橫向位移和變形轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化曲線，圖5(a)為浮動(dòng)坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)懸臂梁自由端面中心點(diǎn)處y方向的位移uy，圖5(b)為懸臂梁自由端面中心點(diǎn)處變形轉(zhuǎn)角φz，從圖5可以看出，懸臂梁變形轉(zhuǎn)角φz和位移uy的變化趨勢(shì)一致，并且位移和轉(zhuǎn)角在剛體角加速度達(dá)到最大值的時(shí)刻也達(dá)到最大值，而初始切向慣性力關(guān)聯(lián)于剛體角加速度，說(shuō)明初始切向慣性力對(duì)位移和變形轉(zhuǎn)角的影響起著主導(dǎo)作用。圖6為旋轉(zhuǎn)懸臂梁固定端面中心的動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力響應(yīng)曲線。動(dòng)態(tài)偶應(yīng)力隨時(shí)間的變化趨勢(shì)和變形轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化趨勢(shì)一致，主要由于偶應(yīng)力取決于變形轉(zhuǎn)角。動(dòng)態(tài)應(yīng)力既包括徑向離心力對(duì)懸臂梁軸向拉伸產(chǎn)生的正應(yīng)力又包括切向慣性力對(duì)懸臂梁橫向彎曲產(chǎn)生的剪切應(yīng)力，因而應(yīng)力隨時(shí)間的變化趨勢(shì)與旋轉(zhuǎn)懸臂梁的剛體角速度和角加速度都有關(guān)，如圖6所示，達(dá)到應(yīng)力峰值的時(shí)刻會(huì)延后于達(dá)到剛體角加速度最大值的時(shí)刻，此外，當(dāng)懸臂梁作恒定的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于離心力的作用，懸臂梁始終存在軸向正應(yīng)力，而且這個(gè)值對(duì)旋轉(zhuǎn)懸臂梁起著主導(dǎo)作用。

圖5　懸臂梁自由端面中心點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的橫向位移與變形轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線Fig.5　Transverse displacement and the deformation angle at the free end center of cantilever beam versus time in the floating frame

圖6　旋轉(zhuǎn)懸臂梁固定端處的動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力隨時(shí)間變化曲線Fig.6　Dynamic stress and couple stress at the fixed end of cantilever beam versus time in the floating frame

下面將改變旋轉(zhuǎn)懸臂梁剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變化規(guī)律，使角速度在加速階段線性增加，最終達(dá)到恒定角速度，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

(49)

同樣取加速時(shí)間為20.0 s以及最終的恒定轉(zhuǎn)速為6.0 rad/s，得到圖7所示的旋轉(zhuǎn)懸臂梁轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度隨時(shí)間的變化曲線。

圖7　角加速度和角加速度時(shí)間歷程Fig.7　Time history of the angular acceleration and angular velocity

圖8描述了旋轉(zhuǎn)懸臂梁在作剛體恒定角加速度時(shí)自由端面中心點(diǎn)處的橫向位移和變形轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化曲線，圖8(a)為浮動(dòng)坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)懸臂梁自由端面中心點(diǎn)處y方向的位移uy，圖8(b)為自由端面中心點(diǎn)處變形轉(zhuǎn)角φz。從圖(8)中可以看出，旋轉(zhuǎn)懸臂梁的動(dòng)態(tài)位移和變形轉(zhuǎn)角的響應(yīng)，在角速度恒加速階段，位移和變形轉(zhuǎn)角會(huì)發(fā)生振蕩，同時(shí)位移和變形轉(zhuǎn)角振動(dòng)的平衡點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)跳躍隨著角加速度的突然消失，然后在恒定角速度階段作周期性的振動(dòng)。

圖8　懸臂梁自由端面中心點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的橫向位移與變形轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線Fig.8　Transverse displacement and the deformation angle at the free end center of cantilever beam versus time in the floating frame

圖9為旋轉(zhuǎn)懸臂梁固定端面中心的動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力響應(yīng)曲線。如圖9(a)所示，動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力的響應(yīng)在角速度恒定加速階段同樣會(huì)出現(xiàn)振蕩，并且應(yīng)力幅值會(huì)隨著角速度的增大而增大，當(dāng)角加速度降為零時(shí)，應(yīng)力平衡點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)跳躍，在旋轉(zhuǎn)懸臂梁恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)力將隨時(shí)間呈周期性變化。圖9(b)為偶應(yīng)力響應(yīng)曲線，由于恒定角速度時(shí)變形轉(zhuǎn)角很小，而偶應(yīng)力與變形轉(zhuǎn)角直接相關(guān)，因而偶應(yīng)力在恒定角速度階段將會(huì)在零點(diǎn)附近作微小振動(dòng)。角速度作線性增加的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)懸臂梁的位移、變形轉(zhuǎn)角、應(yīng)力和偶應(yīng)力的響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)振蕩，這與旋轉(zhuǎn)懸臂梁作連續(xù)的變角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的響應(yīng)不同，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因?qū)⒃谙旅娼Y(jié)論中討論。

圖9　旋轉(zhuǎn)懸臂梁固定端處的等效應(yīng)力和等效偶應(yīng)力隨時(shí)間變化曲線Fig.9　Equivalent stress and couple stress at the fixed end of cantilever beam versus time in the floating frame

4　結(jié)　論

利用含偶應(yīng)力彈性理論進(jìn)行彈性體的變形分析，結(jié)合哈密爾頓原理推導(dǎo)彈性體作定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)約束變分原理，以位移和變形轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，構(gòu)造三維彈性體的六面體8個(gè)節(jié)點(diǎn)48個(gè)自由度的等參元，給出含偶應(yīng)力彈性體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)分析的有限元方程。針對(duì)繞定軸作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的懸臂梁，數(shù)值分析了旋轉(zhuǎn)懸臂梁剛體轉(zhuǎn)速恒定但幅值不同時(shí)的特征頻率，計(jì)算分析了旋轉(zhuǎn)懸臂梁繞定軸作變角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)位移、動(dòng)態(tài)變形轉(zhuǎn)角、動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

旋轉(zhuǎn)懸臂方梁不作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其一階模態(tài)為懸臂梁的橫向彎曲，相應(yīng)的一階模態(tài)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)特征頻率值。旋轉(zhuǎn)懸臂方梁作定軸剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其特征頻率會(huì)出現(xiàn)隨剛體轉(zhuǎn)速增加保持不變和下降兩種變化情況。針對(duì)旋轉(zhuǎn)懸臂梁作定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度變化情況，分別計(jì)算了變角加速度和恒角加速度兩種工況。當(dāng)旋轉(zhuǎn)懸臂梁作連續(xù)的變角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)態(tài)位移、變形轉(zhuǎn)角、動(dòng)態(tài)應(yīng)力和偶應(yīng)力等動(dòng)力學(xué)響應(yīng)比較平滑，不會(huì)出現(xiàn)較大的振蕩。然而，當(dāng)旋轉(zhuǎn)懸臂梁作恒角加速度變化時(shí)，懸臂梁角速度呈線性增大至最終恒定轉(zhuǎn)速，旋轉(zhuǎn)懸臂梁動(dòng)力學(xué)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)振幅較大的周期性振動(dòng)，同時(shí)在角加速度突變?yōu)榱銜r(shí)刻會(huì)出現(xiàn)跳躍。模型中考慮附加慣性力，離心力、科氏力關(guān)聯(lián)于角速度以及切向慣性力關(guān)聯(lián)于角加速度，這些力由于角速度和角加速度的改變而發(fā)生較大改變，從而使得旋轉(zhuǎn)懸臂梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)發(fā)生較大的振蕩，同時(shí)出現(xiàn)跳躍。

采用偶應(yīng)力理論不僅可分析宏觀尺寸的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，也適合于分析微觀尺寸的旋轉(zhuǎn)彈性結(jié)構(gòu)。根據(jù)本文結(jié)果，即使對(duì)宏觀旋轉(zhuǎn)梁的分析，也能夠給出變形轉(zhuǎn)角、曲率張量、偶應(yīng)力等動(dòng)態(tài)響應(yīng)，對(duì)彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析更為全面。本文的研究可為定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和部件如直升機(jī)旋翼、衛(wèi)星天線、離心振動(dòng)臺(tái)、太陽(yáng)能帆板和大型渦輪機(jī)葉片等的研制、測(cè)試以及動(dòng)力學(xué)分析提供基礎(chǔ)理論和數(shù)值分析方法。

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Dynamic modeling and numerical analysis of elastic body with couple stress under fixed-axis rotation with variable rotational speed

GUOXiao-wei1，LIUZhan-fang1,2，HAOZhi-ming3

(1.State Key Laboratory of Coal Mine Disaster Dynamics and Control, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2.College of Aerospace Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China;3.Institute of Structural Mechanics, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China)

A generalized linear elastic model is proposed with the couple-stress elastic theory. The strain and curvature tensor of the elastic body is described in kinematics by translational and rotational deformations, corresponding to the internal force stress and couple-stress respectively. For the case of the rigid body rotation with known rotational speed, the kinematics-deformation coupling kinetic model of the couple-stress elastic body is derived by using Hamilton′s principle. Moreover, the relative inertia force, centrifugal force, Coriolis inertia force and tangential inertia force are taken into account in this model. The finite element equations of the couple-stress elastic body is established using the constrained variation principle by using the hexahedron solid isoparametric element with 8 nodes and 48 degrees-of-freedom and taking the displacement and the deformation angle as independent variables. A cantilever beam rotating about a fixed axis is used here as an application example to explore the dynamic characteristics and the dynamic response. The first mode characteristic of the rotational rectangular beam goes to two cases with different constant rigid rotational velocities, one of which decreases to vanish and the other remains the same with the rotational speed increasing. The displacement, deformation rotor angle, and the dynamic stress and couple stress of the rotational beam versus time are numerically implemented while the rigid body rotates with variable speed. The dynamics analysis research for the fixed-axis rotation structure can provide theoretical model and numerical analysis method.

couple-stress elastic theory; rigid-flexible coupling; kinematics-deformation coupling model; effect of inertia force; constrained variation principle

2015-05-27；

2015-11-04

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目資助(11372365);國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)和中國(guó)工程物理研究院聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(11176035)

O326； O313．3

A

1004-4523(2016)01-0050-11

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.008

郭小煒(1985—)，男，博士研究生。電話: 13648319976； E-mail: guoxiaowei1478@sina.com

劉占芳(1963—)，男，教授，博導(dǎo)。 電話: 13648354436； E-mail: zhanfang@cqu.edu.cn