轉化思想在立體幾何教學中的運用

李冬梅

立體幾何是高中數(shù)學的重要內容。培養(yǎng)學生空間想象力，突破空間思維上的障礙，是學好立體幾何的關鍵。立體幾何中所蘊含的數(shù)學思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉化與化歸的思想方法。它貫穿立體幾何教學的始終，在立體幾何教學中占有很重要的地位。下面就在立體幾何教學中如何啟發(fā)學生應用轉化與化歸的思想方法分析和解決有關問題，做初步的探究。

空間問題平面化

由三維空間向二維平面轉化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學方法之一。降維轉化的目的是把空間的基本元素轉化到某一個平面中去，用學生比較熟悉的平面幾何知識來解決問題。教師應充分引導學生將空間問題平面化，往往能起到化復雜為簡單、化生疏為熟悉的功效，從而使問題得到解決。而運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉化運用的過程。

幾何問題代數(shù)化

新課程注重代數(shù)與幾何的聯(lián)系，注重學生數(shù)形結合思想的培養(yǎng)?？梢岳孟蛄拷鉀Q立體幾何中的度量問題以及有關平行和垂直的證明。這樣將幾何問題代數(shù)化，不僅降低了學習立體幾何的難度，而且有利于培養(yǎng)學生將代數(shù)與幾何聯(lián)系，利用代數(shù)方法解決幾何問題的能力和數(shù)形結合的能力。

在進行相關內容的教學過程中，筆者改變以往過于重視學生利用添加輔助線來解決立體幾何題目的教學方法，抓住運算這條主線，首先幫助學生理解空間向量的含義，然后讓學生從向量的角度去認識立體幾何，學習利用向量運算的方法解決立體幾何的有關問題。例如，求二面角的平面角的大小時，可設計如下程序展開教學：1）讓學生結合相關圖形建立坐標系，并看一下各點坐標是否易于求得，如不易求出，則需重建，使學生掌握建系的原則；2）分別準確地求出兩個對應平面的法向量的坐標，強調運算的準確性；3）利用兩個向量的夾角公式，求出兩個對應平面的法向量的夾角；4）對照圖形說明兩個平面的二面角的大?。?）運用其他運算方法，如利用射影面積法解決此類問題。

利用運算方法解決幾何問題，改變以往學生在解決幾何問題時，因為添不上輔助線，遇到立體幾何題“繞著走”的現(xiàn)象，同時也培養(yǎng)了學生數(shù)形結合的數(shù)學思想。當然，數(shù)學思想的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，只有在整個教學中注意以數(shù)學思想為主線組織教學，處處滲透，才能達到教學目的。

線面關系相互化

線線、線面、面面的平行與垂直的位置關系是立體幾何中的一個重點內容，其精髓就是平行與垂直位置關系的相互依存及轉化。教學中如果能夠引導學生充分利用線面間的位置關系進行恰當轉化，則往往能起到化難為易的作用。

立體圖形規(guī)矩化

割補轉化是解決立體幾何問題的常用方法之一。通過“割”或“補”，可化復雜圖形為簡單圖形，從而較快地找到解決問題的突破口。如教材中斜棱柱側面積公式的推導，就是通過割補法轉化為直棱柱后進行的。

方法技能模型化

立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關系才能明顯地“立”起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助平面的獲取正是解題的關鍵所在，通過對這個平面的截得、延展或構造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。在立體幾何的教學中，要努力讓學生學會利用轉化與化歸的思想方法去分析和解決有關問題，切實有效地提高解決立體幾何問題的能力。

等積轉化

等積法在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應用，是一種很實用的數(shù)學方法與技巧。立體幾何中的等積轉化（或稱等積變換）是面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介，來溝通有關元素之間的聯(lián)系，從而使問題得到解決。

位置關系的轉化

線線、線面、面面平行與垂直的位置關系是立體幾何中的一個重點內容，其精髓就是平行與垂直位置關系的相互依存及轉化，平行與垂直問題不但能橫向轉化，而且可以縱向轉化。

（作者單位：河北省灤縣第一中學）