雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下籃子期權(quán)定價(jià)

淡靜怡,　薛　紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安　710048)

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雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下籃子期權(quán)定價(jià)

淡靜怡,薛紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710048)

期權(quán)定價(jià)是金融數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題之一,金融資產(chǎn)價(jià)格的變化過(guò)程是期權(quán)定價(jià)理論的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型是假定資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),而雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種更為一般的高斯過(guò)程,并且增量不具有平穩(wěn)性,可以描述更多的隨機(jī)現(xiàn)象。文章采用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述資產(chǎn)價(jià)格變化過(guò)程比傳統(tǒng)模型更具優(yōu)越性,假定股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程,借助雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和跳-擴(kuò)散過(guò)程隨機(jī)分析理論,利用保險(xiǎn)精算方法研究籃子期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,得到雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式。研究結(jié)果對(duì)籃子期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了推廣,使之更適用于實(shí)際的金融市場(chǎng)。

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng);跳-擴(kuò)散過(guò)程;保險(xiǎn)精算方法;幾何籃子期權(quán)

0　引　　言

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題之一,隨著金融市場(chǎng)的不斷發(fā)展,近年來(lái)市場(chǎng)上出現(xiàn)了許多新型期權(quán), 籃子期權(quán)就是新型期權(quán)的一種。 籃子期權(quán)是一種多資產(chǎn)期權(quán), 其收益是由多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的加權(quán)平均價(jià)格決定的, 歐式籃子期權(quán)的加權(quán)平均價(jià)格可分為幾何平均和算數(shù)平均, 本文主要討論歐式幾何平均籃子期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。文獻(xiàn)[1]利用風(fēng)險(xiǎn)中性方法給出了布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式;文獻(xiàn)[2]利用偏微分方程方法, 得到了布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式幾何籃子期權(quán)定價(jià)公式;文獻(xiàn)[3]利用保險(xiǎn)精算法討論了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式籃子期權(quán)定價(jià)公式。在實(shí)際金融市場(chǎng)中股票價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)“跳躍”，文獻(xiàn)[4]在跳-擴(kuò)散模型下,利用條件期望和矩法得到籃子期權(quán)的價(jià)格;文獻(xiàn)[5]利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理得到了跳-擴(kuò)散過(guò)程下的籃子期權(quán)定價(jià);文獻(xiàn)[6]首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)這一概念, 它是一種比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更一般的自相似高斯過(guò)程,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究與實(shí)證對(duì)比發(fā)現(xiàn),用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程來(lái)刻畫資產(chǎn)的價(jià)格變化更加符合實(shí)際的需求, 關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]。目前關(guān)于期權(quán)定價(jià)的方法很多, 如鞅方法、偏微分方程方法和保險(xiǎn)精算方法等, 其中保險(xiǎn)精算方法適用的范圍更加廣泛,它不僅適用于完備的、無(wú)套利的、均衡的金融市場(chǎng),而且也適用于不完備的、有套利的、非均衡的金融市場(chǎng),其主要思想是將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)問(wèn)題, 關(guān)于保險(xiǎn)精算方法在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9-11]。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的各種期權(quán)定價(jià)的研究還比較少, 本文在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下,建立更貼合市場(chǎng)的金融數(shù)學(xué)模型,對(duì)跳-擴(kuò)散過(guò)程下籃子期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行了研究,使之能更好地應(yīng)用到金融市場(chǎng)中去,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了相應(yīng)的推廣。

1　數(shù)學(xué)模型

s,t≥0,

其中,H∈(0,1)；K∈(0,1]。

當(dāng)K=1時(shí),雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)退化為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),當(dāng)K=1,H=1/2時(shí),雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。有關(guān)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)理論可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8]。

假設(shè)股票價(jià)格{Si(t),t≥0}滿足微分方程：

(1)

引理1隨機(jī)微分方程(1)的解為:

(2)

假定在t1∈[0,t]時(shí)刻內(nèi)只發(fā)生1次跳躍,則在時(shí)刻[0,t1)內(nèi)有:

在(t1,t]時(shí)刻內(nèi)有:

(3)

由(1)式有:

當(dāng)n→+∞時(shí),可得:

即

將Si(t1)代入(3)式可得:

因此當(dāng)跳躍的次數(shù)服從泊松過(guò)程時(shí),可得:

從而引理1得證。

定義2過(guò)程{Si(t),t≥0}在區(qū)間[t，T]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[t,T]定義[13]為:

引理2股票價(jià)格{Si(T),T≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[t,T]為:

(4)

證明因?yàn)?/p>

所以

又由{Uij,j=0,1,2,…}獨(dú)立同分布可知:

從而可知E[Si(T)]=Si(t)exp{μi(T-t)},所以有:

從而引理2得證。

在實(shí)際中,預(yù)期收益率μi是投資者認(rèn)為會(huì)有的報(bào)酬率,期望回報(bào)率βi是實(shí)際回報(bào)的期望。如果存在紅利等其他因素時(shí),期望回報(bào)率與預(yù)期收益率兩者是不相等的,而本文不涉及紅利等因素,因此為了表明兩者關(guān)系,本文提出引理2并給出了證明。

2　籃子期權(quán)定價(jià)公式

歐式幾何籃子看漲期權(quán)的損益函數(shù)[2]為:

(5)

其中,T為到期日;X為執(zhí)行價(jià)格;αi為第i個(gè)股票在幾何籃子期權(quán)中所占的比例,且

定義3歐式幾何看漲籃子期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為:

(6)

定理1歐式幾何看漲籃子期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為:

Cn=exp{d-rT+lnX}×

(7)

其中,Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；

ki(i=1,2,…,n)表示第i個(gè)股票在區(qū)間[0,T]上跳躍的次數(shù)。

證明記

由引理1與引理2知A={η>-d},根據(jù)定義3可知:

(8)

由全期望公式可得:

(9)

其中,

因?yàn)棣巍玁(a,b), 所以有:

(10)

由(9)式、(10)式可得:

(11)

因?yàn)?/p>

(12)

所以將(11)式和(12)式代入(8)式可得結(jié)果。

綜上所述，當(dāng)n=1時(shí),可得雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散下歐式期權(quán)定價(jià)公式,具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]；當(dāng)λi=0時(shí),可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的籃子期權(quán)定價(jià)公式；特別地,當(dāng)K=1時(shí),可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下籃子期權(quán)定價(jià)公式,具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

3　結(jié)　論

籃子期權(quán)由于它價(jià)格上的優(yōu)勢(shì)與其本身所具有的靈活性使人們對(duì)其需求越來(lái)越大,因此對(duì)籃子期權(quán)進(jìn)行研究有很大的實(shí)際意義,而為了讓籃子期權(quán)能更好地應(yīng)用于實(shí)際的金融市場(chǎng),本文在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上,采用雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)去刻畫金融市場(chǎng)的資產(chǎn)價(jià)格,利用跳-擴(kuò)散過(guò)程隨機(jī)分析理論與保險(xiǎn)精算方法,討論雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下的幾何籃子期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,并對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的籃子期權(quán)定價(jià)的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了推廣,使其更具有實(shí)際意義。

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(責(zé)任編輯張镅)

Basket option pricing under bi-fractional jump-diffusion process

DAN Jingyi，XUE Hong

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Option pricing is one of the core problems of financial mathematics, and the price process of financial underlying asset is the basis of option pricing theory. In the traditional option pricing mode, it is assumed that asset price follows geometric Brownian motion, but the bi-fractional Brownian motion is a more general Gaussian process, and does not have stationary increments, which can describe more random phenomenon. Bi-fractional Brownian motion has more advantages than the traditional model in describing the asset price process. Assuming that stock price satisfies the bi-fractional jump-diffusion process, and using the stochastic analysis theory for bi-fractional Brownian motion and jump-diffusion process, the pricing problem for European geometric basket option is discussed by using the insurance actuary approach, and the pricing formula of European geometric basket option in bi-fractional jump-diffusion environment is obtained. The result of basket option pricing model is generalized, and it is more applicable to actual financial market.

bi-fractional Brownian motion; jump-diffusion process; insurance actuary approach; geometric basket option

2015-12-15；

2016-05-04

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016JM1031);陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(14JK1299)

淡靜怡(1990-),女,陜西寶雞人,西安工程大學(xué)碩士生;

薛紅(1964-),男,山西萬(wàn)榮人,博士,西安工程大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.07.027

F830;O211.6

A

1003-5060(2016)07-1004-05