高等數(shù)學解題中的“做實驗”思想

許曼珊 黃健

摘 要：高等數(shù)學的解題與初等數(shù)學有很多差異，遇到一道沒見過的高等數(shù)學題目出現(xiàn)無從下手的狀況是一種常態(tài)。如何打破這種狀態(tài)，為問題的解決提供思路是學生困惑的問題?！白鰧嶒灐彼枷胝墙鉀Q此問題的一個突破口，其中知識點發(fā)散和特殊值發(fā)散便是設計“實驗方案”的有限途徑。

關鍵詞：高等數(shù)學；解題；“做實驗”思想

“做實驗”思想，即要盡可能多地設計出解題方案，通過一定的“實驗”，多思路解決問題。這是一種發(fā)散思維的訓練，具有“盡快聯(lián)想，盡多作出假設和提出解題方案”的特點，是培養(yǎng)研究者創(chuàng)造性思維的突破口。那么在高等數(shù)學解題時，如何創(chuàng)造性使用“做實驗”思維？筆者認為下面兩個角度可作為“實驗方案”設計切入口。

1 知識點發(fā)散

基于題目條件分析，盡可能多地聯(lián)想與題目關鍵詞相關的公式、定理或法則，逐一進行嘗試。以下面例題說明：

例1 是否存在？若存在求出極限，否則給予證明。

從關鍵詞入手可知，本題只涉及數(shù)列極限和余弦函數(shù)。

從求數(shù)列極限的方法來看，有單調(diào)有界定理、柯西收斂準則、迫斂性等均不能直接解決這個問題。那么考慮余弦函數(shù)的特征，搜索與余弦函數(shù)有關的公式，對其一一進行“實驗”。

“做實驗”：

我們試圖從題目的關鍵詞入手，從知識點展開聯(lián)想，再逐一進行嘗試，這就是設計“實驗方案”的過程。

2 特殊值發(fā)散

通過特殊值尋求解題思路的方法很多人在高中數(shù)學解題上就已經(jīng)有所運用，但是到了大學后，由于高等數(shù)學難度加大而且選擇題急劇減少，使得很多人覺得特殊值已經(jīng)無用武之地了。其實不然，雖然高等數(shù)學的題目無法直接利用特殊值得到最終證明或者求解答案，但是很多時候它仍可以為我們提供解題思路。一道題目的證明和求解并不能一蹴而就，我們需要去做一些“實驗”。特殊值發(fā)散通常包括參數(shù)發(fā)散和函數(shù)發(fā)散，現(xiàn)在就參數(shù)發(fā)散來說明“實驗”過程。

2.1 參數(shù)發(fā)散

從題目中的不定參數(shù)和函數(shù)特征入手，嘗試特殊值，可以找到一些規(guī)律。尹景學教授在課堂上給過這樣一個例子。

例3 設f（x）是[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，試求積分

此題涉及到二重積分，一開始似乎無從下手，但仔細觀察題目，發(fā)現(xiàn)其含有兩個參數(shù)a、b，且函數(shù) 并無具體給出，因此我們可以通過假設一些特殊值來找到解題規(guī)律。

從這道題可以發(fā)現(xiàn)，再一些含有參數(shù)的高等數(shù)學題中，我們可以采取給參數(shù)賦值或者賦予特殊函數(shù)進行“實驗”嘗試，從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律并以此尋找解題思路，制定一般情況下的解題方案。

利用知識點發(fā)散和特殊值發(fā)散進行“實驗方案”設計，可以很好地幫助我們解決很多高等數(shù)學題目，甚至很多時候可以因此得到題目的一題多解?！白鰧嶒灐彼枷胫卦趶娬{(diào)聯(lián)想、設計和嘗試，可以在我們無從下手的時候提供靈感，可以在我們手足無措的時候提供機會。另外，對數(shù)學解題的研究，對我們發(fā)散性思維和創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)都有著重要的作用，是一種值得提倡的思想方法。

參考文獻

[1]毛琪莉. 高等數(shù)學發(fā)散思維培養(yǎng)新探[J]. 黃石理工學院學報，2012，02：63-66.

[2]龐桂琴. 關于數(shù)學思想方法對解題指導作用的教學嘗試[J]. 中原職業(yè)技術教育，1996，01：53-55.

作者簡介

許曼珊（1994-），女，漢，廣東揭陽人，華南師范大學數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）專業(yè)本科生。

黃健（1994-），男，漢，廣東潮州人，華南師范大學數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）專業(yè)本科生。