參數(shù)方程應(yīng)用探析

◇　山東　劉淑霞

(作者單位：山東省棲霞市第一中學(xué))

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參數(shù)方程應(yīng)用探析

◇山東劉淑霞

參數(shù)方程是曲線的另一種表現(xiàn)形式,它彌補(bǔ)了普通方程表示曲線的不足,使得對(duì)曲線的研究更加靈活,進(jìn)一步拓寬了解決問(wèn)題的思路.下面就對(duì)此進(jìn)行系統(tǒng)梳理,希望幫助同學(xué)們查漏補(bǔ)缺、溫故知新.

1　常用曲線的參數(shù)方程

注意:參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程時(shí),消去參數(shù)方程中的參數(shù)即可,但要注意直角坐標(biāo)方程中變量x、y的取值范圍應(yīng)與參數(shù)方程中參數(shù)的取值對(duì)應(yīng),消去參數(shù)的具體方法要根據(jù)參數(shù)方程的特點(diǎn)來(lái)考慮.

直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,要恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)t和函數(shù)x=f(t),并且使x=f(t)的值域與直角坐標(biāo)方程中變量x的范圍一致,然后將x=f(t)代人直角坐標(biāo)方程中解出y=g(t),即得參數(shù)方程.

2　曲線參數(shù)方程的應(yīng)用

2.1利用參數(shù)方程求距離

直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義與距離有關(guān),適宜求弦長(zhǎng)或距離.

2.2利用參數(shù)方程求軌跡

求2條動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程,常選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù),求出2條動(dòng)曲線方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)等式,再消參,即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.

①

x2+y2-2pk2x+2pky=0.

②

因?yàn)镻(x,y)是異于O點(diǎn)的2圓交點(diǎn),所以x≠0,y≠0,由式①-②并化簡(jiǎn)得

y=(k-1/k)x.

③

由式①+②并化簡(jiǎn)得

④

由式③得k-1/k=y/x.

⑤

⑥

將式⑤、⑥代入④得x2+y2-2px=0 (x≠0).故點(diǎn)P的軌跡為以(p,0)為圓心,p為半徑的圓(除去原點(diǎn)).

2.3利用參數(shù)方程研究最值

圓與橢圓的參數(shù)方程能夠很輕松地利用角表示出圓與橢圓上的點(diǎn),因此凡是與圓、橢圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題都可用參數(shù)方程解決.

(1) 寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程、直線l的普通方程;

(2) 過(guò)曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.

其中α為銳角,且tanα=4/3.

總之,涉及到直線、圓、橢圓、雙曲線的部分試題,若用其參數(shù)方程來(lái)解決,在化歸、轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)會(huì)帶來(lái)極大的方便,使得運(yùn)算過(guò)程流暢,從而提高解題速度.

(作者單位：山東省棲霞市第一中學(xué))