探究“雙變量”不等式與函數(shù)“單調(diào)性”的聯(lián)系

◇　湖北　劉　麗

(作者單位：湖北隨州一中)

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探究“雙變量”不等式與函數(shù)“單調(diào)性”的聯(lián)系

◇湖北劉麗

以函數(shù)為載體,設(shè)置的“雙變量”不等式恒成立問題,往往與函數(shù)的“單調(diào)性”具有某種緊密的聯(lián)系.那么如何尋找這種聯(lián)系,并加以靈活運(yùn)用呢?請(qǐng)看以下歸類解析.

1　“雙變量”分式不等式

又由h′(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2)可知， 函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2). 所以

(2m,m+1)?(-2,2),

2　“雙變量”絕對(duì)值不等式

f(x2)-h(x2)

(答案：[3/2,+∞))

3　含參“雙變量”不等式的證明

綜上可知,求證結(jié)論成立.

變式3已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,求證:當(dāng)a≤-2時(shí),對(duì)任意x1、x2∈(0,+∞),不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.(證明略)

4　隱含的“雙變量”不等式

綜上,處理此類問題的關(guān)鍵是:先對(duì)“雙變量”不等式適當(dāng)變形,以便從不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā),觀察、確定相關(guān)函數(shù)的“單調(diào)性”;然后再借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)和函數(shù)性質(zhì)加以靈活處理.

(作者單位：湖北隨州一中)