用R實(shí)現(xiàn)GARCH模型的估計(jì)

賈慧琴

西安財(cái)經(jīng)學(xué)院陜西

用R實(shí)現(xiàn)GARCH模型的估計(jì)

賈慧琴

西安財(cái)經(jīng)學(xué)院陜西

隨著股票市場(chǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，股票市場(chǎng)的不確定性也隨之加劇，為了研究股票市場(chǎng)的發(fā)展?fàn)顩r。本文選取深證A指2011 年4月1日至2016年4月1日的日收益率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，針對(duì)其收益率序列，建立時(shí)間序列模型，結(jié)果表明，GARCH（5，0）模型能夠較好的擬合深證A指日收益率序列。

GARCH；日收益率；深證A指

1.文獻(xiàn)綜述

早在 20 世紀(jì) 60 年代就有學(xué)者對(duì)股票市場(chǎng)收益率波動(dòng)性進(jìn)行了研究，并且Mandlebrot（1963）率先發(fā)現(xiàn)了這種收益率波動(dòng)的聚集性特征。并且對(duì)于股票收益率波動(dòng)的研究我國許多學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究。如陳艷，韓立磊（2009）利用ARCH 族模型對(duì)滬深 300 指數(shù)進(jìn)行實(shí)證研究，分析滬深股票市場(chǎng)近年日收益率波動(dòng)的相關(guān)特性。本文選取深證A指2011年4月1日至2016年4月1日的日收益率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，針對(duì)其收益率序列，建立時(shí)間序列模型，結(jié)果表明，GARCH（5，0）模型能夠較好的擬合深證A指日收益率序列。

2.模型簡(jiǎn)介

2.1 ARMA模型的定義

2.2 自回歸條件異方差模型

2.2.1 ARCH模型的定義

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型假設(shè)樣本方差不隨時(shí)間改變。為了改進(jìn)這些模型，Engle （1982）提出了一類新的隨機(jī)過程模型，稱為自回歸條件異方差模型，用以捕捉金融數(shù)據(jù)的時(shí)變性與聚類特征.ARCH模型如下：

由上式可以看出ARCH模型實(shí)質(zhì)是使用 的p階移動(dòng)平均擬合當(dāng)期異方差函數(shù)值，由于移動(dòng)平均模型具有自相關(guān)系數(shù)p階截尾性，因此ARCH模型實(shí)際上只適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程。

2.2.2 ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)

記at=rt-ut為均值方程的殘差，則可以用平方序列來檢驗(yàn)條件異方差性，即所謂的ARCH效應(yīng)。有兩個(gè)檢驗(yàn)可以用，第一個(gè)檢驗(yàn)是將通常的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于序列，該假設(shè)的原假設(shè)是序列前m個(gè)間隔的ACF值都為零。第二個(gè)對(duì)條件異方差的檢驗(yàn)是Engle（1982）的拉格朗日乘子檢驗(yàn)。

2.3 GARCH模型

在實(shí)踐中，有些殘差序列的異方差函數(shù)是具有長(zhǎng)期自相關(guān)性的，這時(shí)如果使用ARCH模型擬合異方差函數(shù)，將會(huì)產(chǎn)生很高的移動(dòng)平均階數(shù)，這會(huì)增加參數(shù)估計(jì)的難度并最終影響ARCH模型的擬合精度。

1986年，Bollerslev提出的廣義ARCH模型，即GARCH模型，克服了ARCH模型的一些缺點(diǎn)，將GARCH模型運(yùn)用在金融時(shí)間序列上能夠更有效地捕捉條件方差的動(dòng)態(tài)特征，從而簡(jiǎn)化高階的ARCH模型，其具體形式是將ARCH模型中方差方程擴(kuò)展為：

如果將條件方差引入均值方程中，即有以下形式：

表示將預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)緊密聯(lián)系在一起，原因在于人們一般認(rèn)為金融資產(chǎn)的收益應(yīng)當(dāng)與其風(fēng)險(xiǎn)成正比，風(fēng)險(xiǎn)越大，預(yù)期的收益就越高。這種利用條件方差表示預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的模型被稱為ARCH均值方程或ARCH-M回歸模型。根據(jù)條件方差方程的形式不同，還可以有GARCH-M回歸模型。如果將虛擬變量引入條件方差方程，即有以下形式：

其中，dt-i為虛擬變量，當(dāng)時(shí)εt＜0時(shí)，dt-i=1，否則dt-i=0。這個(gè)模型被稱為TGARCH模型，引入虛擬變量的作用是衡量好消息（εt＞0）和壞消息（εt＜0）對(duì)條件方差的不同影響，好消息有一個(gè)a的沖擊，而壞消息有一個(gè)a+γ的沖擊。如果γ≠0，則信息是非對(duì)稱的，反之，則信息是對(duì)稱的。另外，GARCH模型的擴(kuò)展形式還有PGARCH模型、EGARCH模型等。

3.數(shù)據(jù)來源及檢驗(yàn)分析

本文選取深證A指2011年4月1日至2016年4月11日的日收益率，共1216個(gè)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，數(shù)據(jù)來源于銳思金融數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)，統(tǒng)計(jì)分析軟件為R-3.2.3。

3.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)和平穩(wěn)化處理

通過深證A指日收益率時(shí)序圖可以看出，深證A指日收益率的波動(dòng)沒有明顯的趨勢(shì)或波動(dòng)，基本可以視為平穩(wěn)序列。用R畫出樣本ACF和PACF圖，由樣本ACF和PACF圖建立ARMA（1，1）模型。并且檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)ARMA（1，1）模型滿足顯著性條件，說明模型擬合良好。

3.2 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

通常通過L-B統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)來判定是否存在ARCH效應(yīng)。通過檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，序列的Q（m）統(tǒng)計(jì)量給出的Q（30）=63.362，p值為0.000354，說明數(shù)據(jù)沒有序列相關(guān)性。at序列的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量Q（30）=1289.8，p值接近于零，這表明存在很強(qiáng)的ARCH效應(yīng)。下面就來進(jìn)行ARCH階數(shù)識(shí)別和建模。

3.3 ARCH階數(shù)識(shí)別

通過作圖可以清楚地看出，深證A指具有5階ARCH效應(yīng)，對(duì)于高階的ARCH效應(yīng)，我們通常采用廣義的ARCH模型也就是通常所說的GARCH模型。

3.4 建立模型

根據(jù)上述模型的估計(jì)的p值可得其系數(shù)都高度顯著，說明ARMA（1，1）-GARCH（5，0）模型擬合效果較好。

最后，確定模型：

4 結(jié)論

本文選取深證A指2011年4月1日至2016年4月1日的日收益率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，針對(duì)其收益率序列，利用GARCH模型對(duì)深證A指日收益率序列進(jìn)行了實(shí)證研宄，所用軟件為R。首先對(duì)深證A指日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行了基本統(tǒng)計(jì)特征分析，平穩(wěn)性分析，ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)深證A指指數(shù)序列平穩(wěn)。ARCH 效應(yīng)分析時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果都顯示殘差序列具有ARCH效應(yīng)，然后進(jìn)行建模。結(jié)果表明，ARMA（1，1）-GARCH（5，0）模型能夠較好的擬合深證A指日收益率序列。建模過程中發(fā)現(xiàn)，市場(chǎng)的波動(dòng)性具有的持續(xù)性，而且當(dāng)收益率受到異常波動(dòng)的沖擊時(shí)，在短期內(nèi)很難消除其影響，所以金融市場(chǎng)具有很大的投資風(fēng)險(xiǎn)。由這些金融數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，我們可以為投資者提供躲避風(fēng)險(xiǎn)以及為應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)提供可靠地決策依據(jù)。

［1］Benoit Mandelbrot.The Variation of Certain Speculative Prices［J］.Journal of Business，1963，36（4）：115-130.

［2］Engle R F..Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the VARiance of United Kingdom Inflation［J］.Econometrica，1982，50（7）：203-224.

［3］Bollerslev.T.Generalized regressive conditional heteroskedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986，31（8）：307-327.

賈慧琴（1992-）女，漢族，甘肅平?jīng)鋈?，碩士研究生，研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)