風險項目投資組合決策的一個均值-半絕對離差模型

鄭媛媛,胡支軍

(貴州大學 理學院，貴州 貴陽 550025)

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風險項目投資組合決策的一個均值-半絕對離差模型

鄭媛媛,胡支軍*

(貴州大學 理學院，貴州 貴陽 550025)

項目投資組合選擇是許多風險投資機構的重要決策問題?，F(xiàn)有的研究大多集中于探討在各種準則下如何識別“正確”的項目組合，例如收益和風險準則。在下半絕對離差風險度量基礎上，采用Bayes方法對項目未來收益的事前估計值進行修正，建立了均值-半絕對離差項目投資組合優(yōu)化模型，并利用Monte Carlo模擬方法將模型轉化為混合整數(shù)規(guī)劃問題。理論和模擬分析表明，對估計不確定性的顯式Bayesian建模，并使用所獲得的項目收益修正值進行投資組合選擇比直接基于項目的事前價值估計的投資組合選擇獲得的期望效用高，并且前者能夠消除投資組合的事后實現(xiàn)效用值與事前估計效用值之間的預期間隔，從而降低投資家可能經歷的事后失望程度。

風險投資組合；風險厭惡；Bayesian方法；決策分析

在市場競爭日漸激烈的經濟背景下，風險投資組合越來越成為理論和實踐關注的熱點問題。風險投資是指風險投資家為獲得高收益而將資金投入到有較大風險的高新技術開發(fā)項目的一種投資行為。它具有高收益、高風險的特點。投資家通常為了有效規(guī)避投資風險的同時提高投資回報率，會把資金分別投入到不同的多個項目，即進行組合投資。因此，合理地衡量投資風險，進而科學地做出風險投資組合決策對投資家來說至關重要。

現(xiàn)階段，關于風險投資組合的理論主要集中于事中決策研究，它們給出的大多是在項目實施過程中的決策，這與決策者需要在事前給出最優(yōu)決策的事實不符?，F(xiàn)有的對于事前決策的項目投資組合理論研究相對較少，它們主要是在Markowitz(1952)[1]提出的均值-方差投資組合模型的基礎上發(fā)展而來。例如，Yiu等(2010)[2]考慮了當風險資產的價格波動服從馬氏幾何布朗運動時基于最大風險值的最優(yōu)投資組合選擇問題。Huang等(2010)[3]研究了如何在僅知道證券投資組合收益率的潛在概率分布服從一個特定集合的情況下，用穩(wěn)健的CVaR方法選擇投資組合。張衛(wèi)國等(2013)[4]把可能性理論和可信性理論應用到風險投資組合的決策當中，分別建立了基于可能性理論的風險投資組合決策模型和基于可信性理論的風險投資組合決策模型。崔雪婷(2013)[5]基于不同風險度量以及實際交易特征進行投資組合選擇,以縮小投資組合理論模型和實際應用之間的差距。Hall等(2015)[6]討論了當具有每個項目的不確定收益的部分概率分布信息時的項目選擇問題，決策者選擇備選項目組合的一個可行子集使得投資組合收益不能達到某個給定目標的風險最小化。

一般地，風險項目的價值由于受某些不確定的未來事件的影響而具有不確定性。對此，風險投資家在實際投資過程中會充分利用關于項目價值的先驗信息來對項目未來的實現(xiàn)價值進行預測?；蛘吒鶕?jù)這些先驗信息進一步獲得項目價值的后驗估計值，然后再基于項目價值的估計值做出投資決策，以此來降低不確定性并改進決策過程。然而，項目價值的估計值通常也存在不確定性，這使得對項目未來價值的預測不可避免地存在隨機誤差。并且即使項目的事前價值估計是無偏的，也可能會存在一部分價值較小的項目因為被過高的估計而被投資家選擇。這將導致投資家選擇的風險投資組合的事后實現(xiàn)價值低于事前估計值，使其產生決策后的失望。

Vilkkumaa等(2014)[7]提出對風險項目價值估計的不確定性進行Bayesian建模，并將所獲得的Bayes修正估計值作為風險投資組合的決策依據(jù)。進一步，他們證明了和直接基于項目價值的事前估計值選擇的投資組合相比，基于Bayes修正估計值選擇的風險投資組合實現(xiàn)的事后價值更多，投資家經歷的決策后失望程度較低，并且它能夠消除風險投資組合事后實現(xiàn)價值與事前估計價值之間的間隔。然而，文獻[7]的研究沒有考慮決策者對風險的態(tài)度，認為決策者是風險中性的。

事實上，在現(xiàn)實交易中決策者面對具有相同收益的項目會傾向于選擇風險較低的項目,即表現(xiàn)出風險厭惡的心理偏好。為了使模型更加符合實際情況，我們需要在風險投資組合決策的研究中考慮決策者風險厭惡的心理偏好，這就使得對于如何準確地選擇風險度量指標在理論研究中顯得尤為重要[8]。Markowitz(1952)[1]提出用方差描述投資風險，Kono等[9,10]又提出用收益率的絕對離差表示風險。這兩種風險度量方法賦予以均值計算的正負離差相同的權重，不能滿足決策者對風險的真實心理。為了克服方差計量風險的不足，人們提出了把小于目標收益的收益作為風險計算因子的下方風險計量。下方風險默認投資家對超過目標收益率時是風險中性的，無法反映投資家對更好的投資機會的追逐。

對于具有標準化概率分布(原概率分布減去均值)的風險方案，由于均值為零，決策者對它們的偏好和風險的評價具有相反的一致性。根據(jù)這樣一個認識,Jia等(1996)[11]提出了基于負期望效用的標準風險度量理論和模型，這一模型的發(fā)展為風險與偏好建立了一個完整的關系，并對各種風險模型的評價提供了共同的效用理論基礎。以往的許多風險模型(如方差、半方差等)都是標準風險度量模型的特例。

基于Vilkkumaa等(2014)[7]的研究，本文將投資家的風險厭惡心理融入風險投資組合優(yōu)化模型中，用下半絕對離差度量風險，采用Bayes方法對項目未來收益的事前估計值進行修正，以此建立均值-半絕對離差的風險厭惡投資組合優(yōu)化模型。其中，項目的事后可能實現(xiàn)價值和事前估計價值是由Monte Carlo方法隨機模擬產生。研究發(fā)現(xiàn)，對估計不確定性的顯式Bayesian建模并使用所獲得的修正估計進行投資組合選擇比直接基于事前價值估計的投資組合選擇獲得的期望效用高，并且前者能夠消除投資組合的事后實現(xiàn)效用值與事前估計效用值之間的預期間隔，從而降低投資家可能經歷的事后失望程度。

1　不確定環(huán)境下的風險投資組合選擇

如何衡量投資組合的風險是風險投資決策一個關鍵問題。一般地，在被投資前，項目的最終實現(xiàn)值是未知的，只有當項目被執(zhí)行后才能實現(xiàn)，進而被觀測。但是項目最終收益服從的分布已知，這給風險投資家做出風險投資決策提供了重要的依據(jù)。

設X為項目投資組合的收益，μ為X的期望值，則X′=X-μ是一個零期望值的標準風險變量,Jia等(1996)[11]提出了如下標準風險度量模型

(1)

模型(1)中，R(X′)為投資組合所面臨的投資風險，d反映了當投資組合的收益低于期望收益時投資家的失望程度，e表示當投資組合的收益高于期望收益時投資家的開心程度。通常人們對失望的反應比對開心的反應更加強烈，所以有d>e。

(2)

其中，λ=d-e>0為風險厭惡系數(shù)，反映了風險對于財富效用的重要程度，它衡量了財富效用和風險之間的關系。根據(jù)(2)式，風險投資家的效用函數(shù)由兩部分組成：一部分是風險投資組合最終實現(xiàn)的期望收益，一部分是由風險投資家的風險厭惡帶來的效用損失。

現(xiàn)假設存在N個風險項目供投資家選擇，它們獲得融資后產生的價值為：v=[v1,…,vN]T，項目的價值描述了投資家在期末可以從項目投資中獲得的收益。這些項目的價值為隨機變量V=[V1,…,VN]T～f(v)的實現(xiàn)值，其聯(lián)合密度函數(shù)f(v)是已知的。

在考慮項目投資預算或其他約束的條件下，風險投資家本著最大化期望效用的原則從這些備選項目集合中選擇一個子項目集。用一個具有二元值的決策變量z=[z1,…,zN]表示風險投資家選擇的投資組合，當且僅當項目i被選擇時，令zi=1，否則令zi=0。用Z表示滿足相關約束條件的可行投資組合。如果風險投資家知道了項目價值v，則他將通過求解下面的優(yōu)化問題確定最優(yōu)投資組合

(3)

其中u(·)為由(2)式定義的風險投資家的效用函數(shù)。

(4)

利用Matlab軟件，由Vi～N(8,32)生成項目P1,…,P10的價值的一組實現(xiàn)值vi分別為：9.60，13.50，1.22，10.59，8.96，4.08，6.70，9.03，18.74，16.31。根據(jù)模型(3)，令風險厭惡測度λ=0.6，則求得最優(yōu)投資組合z(v)由項目{P1,P2,P4,P9,P10}組成。此時，實現(xiàn)的項目總效用值u(z(v)v)為68.74。

從這個例子可以發(fā)現(xiàn)：(ⅰ)基于估計值vE的投資組合z(vE)所實現(xiàn)的事后項目總效用值(63.22)低于最優(yōu)投資組合z(v)所實現(xiàn)的總效用值(68.74)；(ⅱ)投資組合z(vE)包含了“激進型”項目P6，這個項目由于具有較高的估計值(11.74)而被選取，但它們沒有被最優(yōu)投資組合z(v)選取，因為它的實際值只有4.08；(ⅲ)投資組合z(vE)的事前總估計值(76.27)比其實際所實現(xiàn)的事后總價值(63.22)高20.64%,表明決策者會經歷決策后的失望。

對以上結果進行分析，本文得到下面的定理1。

定理1設VE是V的一個條件無偏估計，則

E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]≤0

其中，z(V)和z(VE)分別是問題(3)和問題(4)的最優(yōu)解。進一步，若P(z(V)≠z(VE))>0，則E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]<0。

證明對于給定的v和vE，由(3)式和(4)式得

u(z(vE)v)-u(z(vE)vE)

≤u(z(v)v)-u(z(vE)vE)

≤u(z(v)v)-u(z(v)vE)

(5)

=u(z(v)v)-u(z(v)v)=0

(6)

若選擇非最優(yōu)項目組合的概率為正，即P(z(V)≠z(VE))>0，則(5)式的第一個不等式對某些v和vE嚴格成立，進而對于相應的v，不等式(6)也嚴格成立。

定理1表明，在平均的意義下，投資組合z(vE)所實現(xiàn)的項目總效用值不會超過事先估計的總效用值。這樣，若選擇“錯誤的”項目的概率大于零，則項目組合實際所實現(xiàn)的效用值將嚴格小于事先估計的效用值。特別地，即使估計是無偏的，投資組合的效用值也可能會被系統(tǒng)地高估，使得風險投資家將經歷決策后的失望。對項目真實價值的估計的不確定性越高，預期的失望也就更大。換言之，估計值的不確定性越高，不僅讓識別真正具有最高價值的項目更難，而且使得選擇被高估了的項目的概率更高。

2　風險投資組合中不確定性的Bayesian建模

(7)

特別地，若項目真實價值和估計值的分布是共軛分布，則可以獲得Bayes估計的一個封閉形式的表達式[7,13]。例如，當項目的價值和估計值服從自共軛正態(tài)分布，即

項目的估計值：

則通過(7)式推導可以得到，對于每個項目有

(8)

依據(jù)項目期末價值的Bayes估計值對項目進行投資組合選擇，可以緩解投資家決策后的失望[7,13]。據(jù)此，將Bayes估計下的最優(yōu)投資組合定義如下

(9)

由模型(9)得到的基于項目的Bayes估計值選擇的最優(yōu)投資組合z(vB)的事后實現(xiàn)效用與事先估計效用的差距為u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)。另外，為了研究模型(9)的平均表現(xiàn)，本文用隨機變量VE代替(7)式中的vE，可得

(10)

本文指出，在相當一般的假設下，基于Bayes估計vB選擇的投資組合所實現(xiàn)的期望效用值不會比基于估計值vE的投資組合所實現(xiàn)的期望效用值少。這一說法可以由定理2來解釋。

定理2設V，VE及z(vE)的含義如定理1所示，z(VB)和VB分別由(9)式和(10)式給出，則

E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]≤0

進一步，若P(z(VE)≠z(VB))>0，

則有E[u(z(vE)V)-u(z(vB)V)]<0

且E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]<0。

證明對于給定的vE，則項目的Bayes估計vB、模型(4)和模型(9)的最優(yōu)解z(vE)和z(vB)都是固定的。利用(7)式，求得u(z(VE)V)-u(z(VB)V)的條件期望為:

=u(z(vE)vB)-u(z(vB)vB)≤0

(11)

因此，對某些vE，若P(z(VE)≠z(VB))>0，則u(z(vE)vB)-u(z(vB)vB)<0。進一步，由(11)式可知，E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]<0也成立。

定理2說明，在同樣的假設條件下，基于項目Bayes估計值vB得到的最優(yōu)投資組合的事后實現(xiàn)效用不會低于直接基于項目估計值vE得到的最優(yōu)投資組合的事后實現(xiàn)效用。并且，如果使用Bayes修正值vB選擇的投資組合與直接使用價值估計vE選擇的投資組合不相同的概率非零，則基于Bayes修正值的投資組合z(vB)將會獲得嚴格更高的效用。

定理3設V，VE，VB及z(·)的含義如定理2所示，則

對所有的vE成立，而且有E[u(z(VB)V)-u(z(VB)VB)]=0。

證明對給定的一組估計值vE，相應的Bayes估計值vB和問題(9)的最優(yōu)解z(vB)也是固定的。對u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)求條件期望可得

3　基于風險厭惡的風險投資組合優(yōu)化模型

實際生活中，風險投資家在做投資決策前會對相關風險項目進行調查分析，然后選出符合投資標準的風險項目N個。但是由于總的投資預算有限，他只能從N個備選項目中選擇n個項目進行投資。假設投資于風險項目i獲得的價值為Vi，則考慮投資家風險厭惡心理的投資組合優(yōu)化模型為

(12)

其中，若投資家投資第i個項目，則zi=1，否則zi=0。

由于線性優(yōu)化模型(12)的目標函數(shù)是關于隨機向量V的函數(shù)的數(shù)學期望，難以獲得解析表達式，所以本文采用Monte Carlo模擬方法將問題(12)近似為確定性優(yōu)化問題。

(13)

(14)

此外，為了考察風險投資家的風險厭惡行為對投資組合決策的影響，我們還求解如下的最大化項目組合總期望價值的投資組合優(yōu)化模型[7]

(15)

綜上，模型(14)中的目標函數(shù)不僅反映了投資組合的期望效用值，還反映當投資組合的期末收益低于預期目標時風險投資家產生的風險厭惡心理對其效用的影響。而模型(15)則假設風險投資家是風險中性的，沒有考慮投資家的風險厭惡心理。因此，模型(15)可以看作是模型(14)在風險厭惡測度λ=0時的一個特殊情況。

4　數(shù)值算例

4.1風險厭惡對投資組合選擇的影響分析

為了檢驗風險厭惡的投資組合優(yōu)化模型(14)以及對不確定性的Bayes建模在實際應用中的有效性，本文應用Monte Carlo方法隨機模擬產生備選項目的價值數(shù)據(jù)，并分別計算模型(14)和模型(15)的最優(yōu)投資組合方案。

設定如下情形：某風險投資機構有12個風險項目P1,…,P12可供選擇[7]，且由于資金有限，它只能從12個備選項目中選取5個項目進行投資。這些備選項目的期末價值vi是獨立同分布的隨機變量Vi=μi+Ei的實現(xiàn)值。其中，前6個項目(P1至P6)經營的是傳統(tǒng)的項目，投資家對它們未來的業(yè)績的估計相對精確，其估計誤差相對較小，假設Δi=1；后6個項目(P7至P12)是風險較高的新穎“激進型”項目，投資家對它們未來的業(yè)績的估計相對粗略，其估計誤差相對較大，假設Δi=5。

表1　風險厭惡行為對風險投資組合選擇的影響

4.2項目估計的不確定性對投資組合選擇的影響分析

為了分析項目價值估計的不確定性對決策后的失望程度的影響，本文將借助Matlab軟件進行數(shù)值案例分析。

圖1　直接基于項目價值的事前估計值選擇的投資組合的平均效用估計值與平均效用實現(xiàn)值

圖2　基于Bayes修正估計值選擇的投資組合的平均效用估計值與平均效用實現(xiàn)值

分別地，圖1給出了當估計誤差的標準差增大時，基于項目的直接估計價值VE求解模型(14)獲得的投資組合的估計平均效用值和事后實現(xiàn)平均效用值的變化情況?？梢钥闯?，隨著項目價值的估計誤差標準差τ的增大，決策后的失望程度也增大。例如，在圖1中，當τ=0.8時，所選擇的投資組合估計的平均效用值為8.18，比其所實現(xiàn)的平均效用值6.78高20.65%。這說明，隨著項目價值估計不確定性的增大，決策者識別真正高價值項目的難度也增大，其面臨的決策失望也同樣增大。這一結果印證了定理1的結論。

圖2給出了當估計誤差的標準差增大時，利用Bayes估計值求解模型(14)獲得的投資組合的估計平均效用值及其事后實現(xiàn)平均效用值的變化情況?？梢钥闯?，對項目價值的估計值進行Bayes修正后再進行投資組合決策，可以減輕決策者的事后失望程度，這個結果也與定理3的結論相印證。

5　結論

目前，關于風險投資組合的研究主要是事中決策研究，這與決策者需要在投資前做出投資決策的事實不相符?；诖耍疚目紤]投資家的風險厭惡心理，用下半絕對離差度量投資家的投資風險，并對風險項目價值估計的不確定性進行Bayesian建模并獲得其Bayes修正值，進而建立均值-半絕對離差的投資組合優(yōu)化模型。利用Monte Carlo隨機模擬方法，對基于風險厭惡的投資組合優(yōu)化模型與基于風險中性的投資組合優(yōu)化模型進行對比分析，發(fā)現(xiàn)投資家的風險厭惡心理對其投資決策具有重要的影響。此外，理論分析與模擬結果表明，基于項目價值的Bayes修正估計選擇的投資組合比直接基于項目價值的事前估計選擇的投資組合獲得的期望效用高，且前者能夠消除投資組合的事后實現(xiàn)效用值與事前估計效用值之間的預期間隔，從而降低投資家可能經歷的事后失望程度。

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(責任編輯：周曉南)

A Mean-semi-Absolute Deviation Model for Venture Project Portfolio Decision

ZHENG Yuanyuan, HU Zhijun*

(College of Science，Guizhou University，Guiyang 550025，China)

Project portfolio selection is an important decision in many organizations. Most studies on project portfolio selection focus on identifying the ‘right’ project portfolio under various criteria, such as reward and risk. Based on lower semi-absolute deviation risk measurement, and Bayesian methods was used to revise the value of ex ante estimates about the future values of alternative projects, a portfolio optimization model of mean-lower semi-absolute deviation was constructed. Further, the model was transformed into a linear programming problem by the Monte Carlo simulation method. The analysis of theory and simulation shows that the explicit Bayesian modeling of estimation uncertainties and the use of resulting revised estimates in portfolio selection has a higher expected utility value in comparison with the straightforward portfolio selection based on ex ante value estimates, and the former can eliminate the expected gap between the realized ex post portfolio utility value and the estimated ex ante portfolio utility value, to reduce the amount of ex post disappointment that the venture capitalist may experience.

venture capital portfolio; risk aversion; Bayesian methods; decision analysis

1000-5269(2016)02-0134-07

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.02.29

2015-12-08

國家自然科學基金資助項目(71361003，71271090)；貴州省自然科學基金項目([2011]2102)；貴州省教育廳人文社科規(guī)劃項目(13S5D005)

鄭媛媛(1989-)，女，碩士研究生，研究方向：金融優(yōu)化、決策分析等，Email：15285118897@qq.com.

胡支軍，Email：zjunhu75@163.com.

F830;O221

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