模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值及其計(jì)算方法

楊靛青,李登峰*

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建福州 350108)

模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值及其計(jì)算方法

楊靛青,李登峰*

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建福州 350108)

針對(duì)現(xiàn)實(shí)合作中存在模糊聯(lián)盟的情況,利用Choquet積分定義了模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值,證明了其存在性、唯一性和其他重要性質(zhì),討論了其和模糊核心的關(guān)系,并給出凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的計(jì)算公式.最后通過(guò)一個(gè)算例說(shuō)明該τ值的有效性與合理性.研究發(fā)現(xiàn),基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值是對(duì)清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的擴(kuò)展,而清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值僅是其特例.特別地,對(duì)于凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策,其τ值計(jì)算過(guò)程可以簡(jiǎn)化.

模糊聯(lián)盟合作對(duì)策;Choquet積分;τ值;對(duì)策論;模糊集

1　引　言

τ值、Shapley值[1]和Banzhaf值[2]等都是常見(jiàn)的合作對(duì)策單值解.1981年,Tijs[3]用幾何方法首次提出了擬均衡合作對(duì)策τ值,并證明了它與核心有密切的關(guān)系;Driessen[4]引入分歧函數(shù),給出了擬均衡對(duì)策τ值的精確表達(dá)式,并討論了其具有有效性、個(gè)體合理性等性質(zhì)和公理化方法,從而說(shuō)明了τ值作為分配方案時(shí)的公平合理性;Bilbao等[5]研究了擬陣合作對(duì)策下τ值的計(jì)算方法和性質(zhì);Casas-mendez等[6]利用Owen聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的思想,提出了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策τ值,對(duì)τ值進(jìn)行公理化刻畫(huà)并討論了其在破產(chǎn)對(duì)策、機(jī)場(chǎng)對(duì)策等方面的應(yīng)用;安世虎[7]考慮合作對(duì)策中聯(lián)盟結(jié)構(gòu)受到限制的情況,構(gòu)造了準(zhǔn)擬陣合作對(duì)策τ值,并將該方法與擬陣合作對(duì)策Shapley值進(jìn)行比較;侯東爽等[8]定義了廣義特征函數(shù)下合作對(duì)策τ值,利用概率有效性、S均衡下的相對(duì)不變性和限制成比例性證明了τ值存在的唯一性,并討論了核心和τ值的關(guān)系.以上關(guān)于τ值的討論主要集中在經(jīng)典合作對(duì)策上,可以處理在清晰聯(lián)盟條件下的合作利益分配問(wèn)題.但現(xiàn)實(shí)中,由于環(huán)境變動(dòng)、可調(diào)配資源不確定等因素,局中人可能以模糊聯(lián)盟的形式參與合作,如何利用τ值理論方法處理這種模糊聯(lián)盟合作利益分配問(wèn)題,顯然不同于清晰聯(lián)盟合作對(duì)策的情況,因此有必要對(duì)模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的計(jì)算方法和性質(zhì)進(jìn)行研究.

模糊聯(lián)盟合作對(duì)策研究關(guān)注的重要問(wèn)題之一是如何描述不同模糊聯(lián)盟的合作支付函數(shù).目前,該研究的重要分支就是利用Choquet積分方法對(duì)清晰聯(lián)盟合作對(duì)策下的支付函數(shù)進(jìn)行模糊拓展,并提出基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策分配方案.Tsurumi等[9]較早引入Choquet積分方法,提出了模糊聯(lián)盟合作對(duì)策Shapley值,這類函數(shù)具有單調(diào)性、連續(xù)性等一些良好性質(zhì);譚春橋等[10,11]提出了基于Choquet積分的合作對(duì)策模糊延拓方法,討論了這種模糊延拓的性質(zhì),研究了其與經(jīng)典合作對(duì)策Shapley值、核心的關(guān)系;在此基礎(chǔ)上,譚春橋[12]進(jìn)一步對(duì)基于Choquet延拓的區(qū)間模糊聯(lián)盟合作對(duì)策Shapley值進(jìn)行了研究,證明了該Shapley值的存在性,并給出Shapley值的解釋表達(dá)式;Li等[13]通過(guò)和文獻(xiàn)[9]的計(jì)算方法進(jìn)行比較分析,給出了模糊聯(lián)盟合作對(duì)策Shapley值的一種簡(jiǎn)單表示方式;孟凡永等[14]提出了基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策Banzhaf值,討論了此類對(duì)策Banzhaf值的性質(zhì)和公理化方法.從文獻(xiàn)上看,基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策Shapley值、Banzhaf值都有深入研究,成果較多,理論體系較完善,但對(duì)基于Choquet積分的模糊合作對(duì)策τ值的研究則鮮有報(bào)道.

為此,本文在前人研究的基礎(chǔ)上探討了基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的計(jì)算方法和性質(zhì),利用Choquet積分方法,定義基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值,討論此類合作對(duì)策τ值的存在性和唯一性,研究此類τ值的相關(guān)性質(zhì)并證明其和模糊核心的關(guān)系.特別針對(duì)凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策,簡(jiǎn)化了其τ值計(jì)算公式.最后通過(guò)一個(gè)合作生產(chǎn)的實(shí)例來(lái)說(shuō)明基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的合理性和有效性.研究結(jié)果表明,基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值將合作對(duì)策τ值的應(yīng)用范圍從{0,1}n清晰聯(lián)盟拓展到[0,1]n模糊聯(lián)盟.該τ值是清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的一般化表示形式,其滿足的性質(zhì)延續(xù)了清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的性質(zhì),進(jìn)一步說(shuō)明它是清晰模糊合作對(duì)策τ值的模糊拓展,而清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值是其特例.基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值為解決在模糊環(huán)境下局中人合作利益分配問(wèn)題提供了一種新方法.

2　清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的定義及性質(zhì)

清晰聯(lián)盟合作對(duì)策可表示為一個(gè)序?qū)Γ?N,v＞,其中N={1,2,...,n}為局中人集合,v為清晰聯(lián)盟合作對(duì)策的支付函數(shù),即v:N → R且滿足v(?)=0.記G(N)為清晰聯(lián)盟合作對(duì)策的集合. 記M(v)=(M1(v),M2(v),...,Mn(v))為合作對(duì)策v的上值向量,每個(gè)分量滿足Mi(v)=v(N)-v(N{i}). Mi(v)可視為局中人i可期望得到的最大支付.m(v)=(m1(v),m2(v),...,mn(v))為合作對(duì)策v的下值向量,每個(gè)分量滿足,其中S?N?.mi(v)可視為局中人i可期望得到的最小支付.為方便起見(jiàn),將N{i}簡(jiǎn)寫(xiě)成Ni,v({i})簡(jiǎn)寫(xiě)成v(i),v(S∪{i})簡(jiǎn)寫(xiě)成v(S∪i).

定義2若v∈Gqb(N),則

清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值是一個(gè)函數(shù)τ:Gqb(N)→Rn,滿足下列性質(zhì)[4]:

2)個(gè)體合理性:對(duì)于任意i∈N,有τi≥v(i);

3)對(duì)稱性:設(shè)π是N的一個(gè)排列,對(duì)于任意i∈N,有τπ(i)=τi;

4)啞元性:設(shè)S?Ni,若v(i)=v(S∪i)-v(S),則τi=v(i);

5)替換性:對(duì)于任意i,j∈N與聯(lián)盟S?N{i,j},若v(S∪i)=v(S∪j),則τi=τj;

6)策略等價(jià)下的共變性:設(shè)v∈Gqb,若存在一個(gè)對(duì)策w滿足條件:當(dāng)a＞0和d∈Rn時(shí),對(duì)任意S?N都有

7)限制成比例性:若M(v)=λv,則τ和M(v)成比例.

3　基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策

模糊聯(lián)盟合作對(duì)策可表示為一個(gè)序?qū)Γ糉n,v′＞,其中N={1,2,...,n}為局中人集合,Fn用于表示局中人集合N上的模糊聯(lián)盟集合[0,1]n,v′為n人模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的支付函數(shù),即v′:Fn→R.記G0(N)為模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的集合.用e?=(0,0,...,0)表示空聯(lián)盟,eS=(s1,s2,...,sn)滿足當(dāng)i∈S?N時(shí), si=1,否則si=0,這樣eS表示:S集合中的局中人完全參與聯(lián)盟,NS集合中的局中人完全不參與聯(lián)盟. eN=(1,1,...,1)表示大聯(lián)盟,e{i}表示局中人單干形式,簡(jiǎn)寫(xiě)成表示為局中人集合N上的模糊聯(lián)盟,si∈[0,1]表示模糊聯(lián)盟中局中人i的參與水平,模糊聯(lián)盟也可表示為當(dāng)T?N時(shí),.將簡(jiǎn)寫(xiě)成.實(shí)值支付函數(shù)表示為模糊聯(lián)盟合作時(shí)可期望獲取的支付,滿足v′(e?)=0.當(dāng)si只取1時(shí),模糊聯(lián)盟就退化為清晰聯(lián)盟,相應(yīng)的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策就退化為清晰聯(lián)盟合作對(duì)策.因此,模糊聯(lián)盟合作對(duì)策是清晰聯(lián)盟合作對(duì)策的擴(kuò)展,而清晰聯(lián)盟合作對(duì)策是模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的特例.

定義3設(shè)v′∈G0(N).如果對(duì)任意S1,S2∈Fn,有

則稱v′是凸的(超模),記凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的集合為FGcov(N).注意當(dāng)si只取1時(shí),則v′退化成(清晰聯(lián)盟)凸合作對(duì)策,記Gcov(N)為凸合作對(duì)策的集合.

定義4對(duì)于非空集M上所有有界非負(fù)可測(cè)函數(shù)f:M→R+,函數(shù)f關(guān)于v的Choquet積分定義[11]為

其中Fα={x|f(x)≥α}(α∈[0,∞))為函數(shù)f的α截集.

若非空集合M={x1,x2,...,xm},則函數(shù)f可以表示成離散形式f(x1),f(x2),...,f(xm),將它們按照單調(diào)不減次序可排列為

其中{x*1,x*2,...,x*m}為非空集合M中的元素{x1,x2,...,xm}依據(jù)上述單調(diào)不減排列的重排形式.于是, Choquet積分可簡(jiǎn)化表示為

其中f(x*0)=0.

從定義5看,清晰聯(lián)盟合作對(duì)策v與關(guān)于v基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,而且如果v∈G(N)是單調(diào)、連續(xù)且凸的,則對(duì)應(yīng)的v′也是單調(diào)、連續(xù)且凸的[9].

4　基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的計(jì)算方法

Mi(v′)是局中人i在模糊聯(lián)盟中所能獲取的理想支付.如果局中人i想從模糊聯(lián)盟中獲得更多支付,則其他局中人會(huì)將其驅(qū)逐出模糊聯(lián)盟.所以,Mi(v′)是局中人i在模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′中所能獲得支付的上界. M(v′)=(M1(v′),M2(v′),...,Mn(v′))∈Rn稱為模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′的上值向量.根據(jù)定義5,有

令T?N且i∈T.模糊聯(lián)盟S′T中局中人i的剩余支付R(S′T,i)可表示為

R(S′T,i)表示模糊聯(lián)盟S′T中除局中人i之外其他局中人都獲得可期望得到的最大支付時(shí),局中人i所能得到的剩余支付.模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′下值向量m(v′)的第i個(gè)分量mi(v′)可表示為

它可看作是局中人i的最小合理支付,表示在模糊聯(lián)盟S′T中其他局中人獲取到各自理想支付的同時(shí),局中人i可以獲取到盡可能多的剩余支付.

定義6設(shè)v′∈Gc(N).對(duì)任意則稱v′是擬均衡模糊聯(lián)盟合作對(duì)策.

用Gfqb(N)表示擬均衡模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的集合.注意當(dāng)si只取1時(shí),擬均衡模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′退化成擬均衡合作對(duì)策v.

定理1若v∈Gcov(N),則其對(duì)應(yīng)的v′∈Gc(N)有v′∈Gfqb(N).

證明由于v∈Gcov(N),關(guān)于v基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′∈FGcov(N),則v′是均衡的[15].于是,對(duì)任意S′N∈Fn,至少存在一組向量x滿足且對(duì)任意T?N有因此,對(duì)任意i∈N,有

考慮上述關(guān)系,對(duì)任意T?N且i∈T,有

定義7設(shè)v′∈Gc(N)和給定.如果函數(shù)fgv′:Fn→R,滿足對(duì)任意T?N,有

則稱fgv′為基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′的分歧函數(shù).

定義8設(shè)v′∈Gc(N)和給定.如果向量λv′∈Rn的每一個(gè)分量滿足

則稱λv′為基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′的特許向量.

定理2若v∈Gcov(N),給定,其對(duì)應(yīng)的v′∈Gc(N),滿足對(duì)任意i∈N,有

證明因v∈Gcov(N),則有v′∈FGcov(N).對(duì)任意T?Ni,根據(jù)定義3有

根據(jù)定義7,有fgv′(S′T)≤fgv′(S′T∪i),因此對(duì)任意T?N且i∈T,有

根據(jù)定義8,有

定義9設(shè)v′∈Gfqb(N),給定,則

稱τ(v′)為基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值.

證明因?yàn)関∈Gcov(N),根據(jù)定理1,有v′∈Gfqb.依據(jù)定義9,對(duì)任意i∈N有

又根據(jù)定理2,則任意i∈N有

則對(duì)任意i∈N有

定理3利用凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的特點(diǎn)直接計(jì)算出特許向量,無(wú)需進(jìn)行多次計(jì)算和比較,因此為計(jì)算凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值提供了簡(jiǎn)便的方法.

下面給出基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的計(jì)算步驟:

步驟1 判斷基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策是否是凸的.若是凸的,則進(jìn)入步驟2;若不是凸的,則進(jìn)入步驟3.

步驟2根據(jù)定理3的τ值計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

步驟3根據(jù)定義6,判斷基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策是否滿足擬均衡條件.

步驟4若該對(duì)策滿足擬均衡條件,則根據(jù)定義9的τ值計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

下面用一個(gè)算例來(lái)說(shuō)明基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的計(jì)算過(guò)程.

設(shè)N={1,2,3}和v∈G(N).其中v(i)=0(任意i∈N),v({1,2})=v({1,3})=2,v({2,3})=3, v({1,2,3})=4.當(dāng)時(shí),基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值計(jì)算過(guò)程如下:

2)判斷v′是否滿足擬均衡性.根據(jù)Mi(v′)的定義,得

根據(jù)mi(v′)的定義,得

3)計(jì)算τ值.根據(jù)定義8,得

根據(jù)定義9,得

5　基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的性質(zhì)

定理4基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值滿足有效性、個(gè)體合理性、對(duì)稱性、啞元性、替換性、策略等價(jià)下的共變性、限制成比例性等性質(zhì).

2)因v′∈Gfqb(N),由定義6可知,有.根據(jù)fgv′和λv′的定義,有

5)對(duì)于任意i,j∈N與T?N{i,j},若v′(S′T∪i)=v′(S′T∪j),則

根據(jù)定義7,對(duì)任意T?N,有

7)限制成比例的證明顯然.證畢.

需要注意的是,當(dāng)si只取1時(shí),模糊聯(lián)盟就退化為清晰聯(lián)盟,相應(yīng)的基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′就退化為清晰合作聯(lián)盟對(duì)策v.對(duì)應(yīng)的基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值退化成清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值,其滿足的性質(zhì)對(duì)應(yīng)地退化成清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值滿足的性質(zhì).顯然,基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值是對(duì)清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的擴(kuò)展,清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值是基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的特例.

定理5基于Choquet積分模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的解如果滿足有效性、策略等價(jià)下的共變性和限制成比例性,則這個(gè)解是唯一的且這個(gè)解就是τ值.

證明必要性.由定理4可知,基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值滿足有效性、策略等價(jià)下的共變性和限制成比例性.

充分性.假設(shè)存在一個(gè)解φ滿足以上三個(gè)性質(zhì),則只需證明φ(v′)=τ(v′)即可.令v′∈Gc(N),定義向量d=M(v′)-λv′和合作對(duì)策w∈Gc(N)滿足:對(duì)任意T?N,有

由于φ和τ均具有策略等價(jià)下的共變性,因此

為了證明φ(v′)=τ(v′),只需證明φ(w)=τ(w).

由于對(duì)任意i∈N,有

又有

則

又由于φ和τ均具有限制成比例性,則φ(w)與τ(w)均和M(w)成正比.因此存在實(shí)數(shù)α和β使得

定義10設(shè)v′∈Gc(N)和.v′的模糊核心可表示為

模糊核心是所有局中人都能接受的分配方案組成的集合,這是因?yàn)槿我饽：勇?lián)盟中所有局中人所獲得的支付之和都不少于其聯(lián)盟所得的支付.

定理6設(shè)v′∈Gfqb(N)和,且滿足的條件為

其中T?N,fgv′(S′T)＞0且2≤|T|≤n-2.

證明令x=τ(v′),根據(jù)τ值的定義和有效性可知,對(duì)任意i∈N,有Mi(v′)-λv′i≤ xi≤ Mi(v′) 且.則有

6　案例分析

假設(shè)有A、B、C、D、E五家企業(yè)集合為N={1,2,3,4,5},他們完全參與到一個(gè)生產(chǎn)合作項(xiàng)目當(dāng)中.若五家企業(yè)單獨(dú)工作,當(dāng)i∈{1,2,3,4}時(shí),v(i)=10,而v(5)=20;當(dāng)|S|=2且S?{1,2,3,4}時(shí),v(S)=30,其他v(S)=50;當(dāng)|S|=3且S?{1,2,3,4},v(S)=80,其他v(S)=100;當(dāng)|S|=4且5∈S時(shí),v(S)=200,其他v(S)=150;v(N)=320.根據(jù)定義1與2計(jì)算出經(jīng)典清晰聯(lián)盟合作對(duì)策τ值,如表1所示.

表1　清晰聯(lián)盟合作對(duì)策的特許值、上值和τ值Table 1 The concession values,the upper values and τ-values of the crisp cooperative game

若生產(chǎn)合作項(xiàng)目中A、D企業(yè)只投入其50%企業(yè)資源,而B(niǎo)、C和E企業(yè)分別投入其40%、30%和20%的企業(yè)資源,這樣A、B、C、D、E五家企業(yè)在該合作項(xiàng)目中的參與度分別是50%、40%、30%、50%和20%,即s1=0.5,s2=0.4,s3=0.3,s4=0.5,s5=0.2,可表示為模糊聯(lián)盟S′N=(0.5,0.4,0.3,0.5,0.2).很顯然,這里描述的清晰聯(lián)盟合作對(duì)策v是凸的,其基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策v′也是凸的.因此,根據(jù)定理2和定理3,計(jì)算τ值只需利用定義5計(jì)算以下部分模糊聯(lián)盟形式下的支付值,如表2所示.

表2　部分模糊聯(lián)盟形式下的支付值Table 2 The payoffs of some fuzzy coalitions

根據(jù)定理2、定理3及定義8,可以計(jì)算出相應(yīng)的分配方案,計(jì)算結(jié)果如表3所示.

表3　模糊聯(lián)盟中各局中人的特許值、上值和τ值Table 3　The concession values,the upper values and τ-values of the fuzzy cooperative game

計(jì)算結(jié)果為τ(v′)=(20,18,15,20,17).顯然,滿足有效性,且τ1(v′)≥v′(S′1)說(shuō)明企業(yè)1通過(guò)合作生產(chǎn)分配得到的支付大于其單干獲得的支付.類似,當(dāng)i∈{2,3,4,5}時(shí),有τi(v′)≥v′(S′i),所以分配結(jié)果也滿足個(gè)體合理性.同時(shí),對(duì)任意T?N,滿足,所以τ值分配方案滿足模糊核心條件.由于該算例描述的合作對(duì)策問(wèn)題滿足凸模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的條件,對(duì)λv′計(jì)算可利用定理3的公式,無(wú)需對(duì)fgv′(S′T)進(jìn)行計(jì)算比較,從而簡(jiǎn)化了τ值計(jì)算.

按照以上計(jì)算過(guò)程,可以計(jì)算任意模糊聯(lián)盟情況下的合作對(duì)策τ值,表4是一組不同模糊聯(lián)盟情況下的合作對(duì)策τ值.

表4　不同模糊聯(lián)盟情況下的τ值Table 4　The τ-values of different fuzzy coalitions

7　結(jié)束語(yǔ)

本文利用Choquet積分方法對(duì)清晰合作對(duì)策進(jìn)行模糊拓展,在此基礎(chǔ)上提出基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的τ值.該τ值具有個(gè)體合理性、對(duì)稱性、啞元性等性質(zhì),且是模糊聯(lián)盟合作對(duì)策滿足有效性、策略等價(jià)下的共變性和限制成比例性的唯一解.研究發(fā)現(xiàn),基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的τ值是經(jīng)典合作對(duì)策τ值的模糊拓展,經(jīng)典合作對(duì)策τ值是其特殊情況.同時(shí),若基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策是凸的,則其τ值存在且其特許向量和τ值計(jì)算公式可以簡(jiǎn)化,從而提高了其計(jì)算效率.算例說(shuō)明,利用基于Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作對(duì)策的τ值可在局中人以不同參與度參加合作時(shí)計(jì)算出一種合理的分配方案,可作為合作談判中的重要參考信息.但該τ值的使用需要滿足一定的條件,比如,利用Choquet積分方法構(gòu)造模糊聯(lián)盟的支付函數(shù)要求聯(lián)盟局中人的資源是可拆分量化且可組合產(chǎn)生支付;該τ值的存在性取決于模糊聯(lián)盟合作對(duì)策是否滿足擬均衡模糊聯(lián)盟合作對(duì)策條件等.另外,本文僅研究模糊聯(lián)盟合作對(duì)策τ值的定義和求解,但現(xiàn)實(shí)中,局中人常以多層聯(lián)盟結(jié)構(gòu)形式參與合作,今后研究重點(diǎn)將考慮具有模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策解的定義和求解方法.

[1]Shapley L.A value forn-person games//Kuhn A,Tucker A.Contributions to the Theory of Games.Princeton:Princeton University Press,1953:307–317.

[2]Owen G.Characterization of the Banzhaf-coleman index.SIAM Journal on Applied Mathematics,1978,35(2):315–327.

[3]Tijs S.Bounds for the core and theτ-value//Moeschlin O,Pallaschke D.Game Theory and Mathematical Economics.North-Holland: Amsterdam,1981:123–132.

[4]Driessen T.Cooperation Games,Solutions and Applications.Netherlands:Kluwer Academic Publisher,1988.

[5]Bilbao J,Jiménez-losada A,Lebrón E,et al.Theτ-value for games on matroids.Top,2002,10(1):67–81.

[6]Casas-mendez B,Garcia-jurado I,Nouweland A,et al.An extension of theτ-value to games with coalition structures.European Journal of Operational Research,2003,148(3):494–513.

[7]安世虎.準(zhǔn)擬陣合作對(duì)策的τ值.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2012,32(1):139–145. An S H.τ-value for strictly cooperative games on matroids.Systems Engineering:Theory and Pratice,2012,32(1):139–145.(in Chinese)

[8]侯東爽,孫浩.廣義特征函數(shù)下合作對(duì)策的τ值.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(2):324–332. Hou D S,Sun H.Theτvalue of cooperative games with generalized characteristic functions.Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2008,31(2):324–332.(in Chinese)

[9]Tsurumi M,Tanino T,Inuiguchi M.A Shapley function on a class of cooperative fuzzy games.European Journal of Operational Research,2001,129(3):596–618.

[10]譚春橋,陳曉紅.基于Choquet積分的n人對(duì)策模糊延拓方法的研究.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2009,24(4):479–483. Tan C Q,Chen X H.Fuzzy extension ofn-persons games based on Choquet integral.Journal of Systems Engineering,2009,24(4): 479–483.(in Chinese)

[11]譚春橋.基于Choquet積分n人對(duì)策廣義模糊延拓方法.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2012,27(2):193–200. Tan C Q.Generalized fuzzy extension ofn-persons games based on Choquet integral.Journal of Systems Engineering,2012,27(2): 193–200.(in Chinese)

[12]譚春橋.基于Choquet延拓具有區(qū)間模糊聯(lián)盟n人對(duì)策的Shapley值.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2010,25(4):451–458. Tan C Q.Shapley value forn-persons games with interval fuzzy coalition based on Choquet extension.Journal of Systems Engineering,2010,25(4):451–458.(in Chinese)

[13]Li S J,Zhang Q.A reduced expression of the Shapley function for fuzzy game.European Journal of Operational Research,2009, 196(1):234–245.

[14]孟凡永,張強(qiáng),孫紅霞.模糊合作對(duì)策上的Banzhaf函數(shù).系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2012,27(1):1–8. Meng F Y,Zhang Q,Sun H X.Banzhaf function on function on fuzzy cooperative games.Journal of Systems Engineering,2012, 27(1):1–8.(in Chinese)

[15]Shapley L.Cores of convex games.International Journal of Game Theory,1971,1(1):11–26.

τ-values of cooperative games with fuzzy coalitions and solving method

Yang Dianqing,Li Dengfeng*
(School of Economics and Management,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China)

Considering fuzzy coalitions appearing in the practical cooperation,this paper defines the τ-value for the fuzzy cooperative game with Choquet integral,and proves its existence,uniqueness and some important properties.The relation between the τ-value and the fuzzy core is discussed.The computational formula of τ-value for the convex fuzzy cooperative game is given.Finally,the effectiveness and rationality of the τ-value is illustrated by a numerical example.The result shows that the τ-value for the fuzzy cooperative game with Choquet integral is an extension of the τ-value for crisp cooperative game.Especially,for the convex fuzzy cooperative game,the computational process of the τ-value can be simplified.

fuzzy cooperative game;Choquet integral;τ-value;game theory;fuzzy set

O225

A

1000-5781(2016)01-0013-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.002

2014-03-28;

2015-02-05.

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(71231003);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171055);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20113514110009);國(guó)家教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(NCET-10-0020);福建省社會(huì)科學(xué)規(guī)劃資助項(xiàng)目(2012C022).

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楊靛青(1979—),男,福建漳州人,博士生,講師,研究方向:模糊決策與對(duì)策,Email:52881164@qq.com;

李登峰(1965—),男,廣西博白人,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:經(jīng)濟(jì)管理決策與對(duì)策、運(yùn)籌管理與模糊系統(tǒng)分析等,Email: lidengfeng@fzu.edu.cn.