行走在數(shù)學與兒童之間

張齊華 周衛(wèi)東

[摘 要]張齊華老師教學“解決問題的策略”這一課，展現(xiàn)了“一一列舉”的策略這一內(nèi)容是可以上出濃濃的“數(shù)學味”的。張齊華老師的課是一節(jié)“準、深、透、高”的數(shù)學課。

[關鍵詞]解決問題的策略 一一列舉 策略機理 數(shù)學思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）23-003

【課堂回放】

一、課前探索，組內(nèi)分享

師：王大伯想用22根1米長的木條，圍一個面積為20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務嗎？課前，同學們已經(jīng)就這一問題進行了深入思考與探索，下面請大家先在小組里交流各自的方法和結(jié)論。如果出現(xiàn)不同的見解，可以嘗試進行討論、協(xié)商，實在說服不了對方的，待會可以在全班范圍內(nèi)進行交流。

師：通過課前的研究，大家覺得王大伯的任務能夠完成嗎？

師：看來，在能與不能上，大家還存在分歧?，F(xiàn)在請覺得王大伯可以完成這一任務的同學帶著作品到講臺上來給大家展示和匯報。

二、全班交流，建構(gòu)策略

生1：我覺得王大伯可以完成任務。我?guī)退O計了長5米、寬4米的長方形，剩下的4米可以放在一邊。（如圖1）

生2：我嘗試了各種方法，發(fā)現(xiàn)都不行。后來我仔細研究了題目，發(fā)現(xiàn)里面并沒有說不能靠墻。所以，我決定讓這個長方形花圃一面靠墻，這樣，它的長可以是20米，寬1米，正好用去22根木條，而面積也正好是20平方米。（如圖2）

生3：我的方法和他們的都不一樣。我覺得圍一個花圃，四周至少需要1根木條豎著作支撐，這樣一來，22根木條只剩下18根。而18根木條正好可以圍成一個長5米、寬4米的長方形，面積正好是20平方米。（如圖3）

師：看得出來，三位同學都特別想幫助王大伯解決這一問題。面對這三種方法，能否給出你們的評價？

生4：我不太同意生1的方法。因為題目中說得很清楚，22根木條都要用掉，不能有剩余。他圍成長方形后，還剩下4根木條，所以他的方法不符合題目的要求。

生5：我不贊成生2的方法。因為題目中并沒有說允許靠墻，而是說，就用22根木條來圍一個20平方米的長方形花圃。所以，一邊靠墻是不合適的。

生6：我也覺得不行。如果允許一邊靠墻的話，那么，方法就不只是這一種，比如長10米、寬2米也能圍出面積為20平方米的長方形花圃。

生7：如果允許靠墻的話，那么還可以靠兩面墻、三面墻，這樣的討論就沒有意義了。所以，題目沒有提示有沒有墻，其實就是默認不能靠墻。

師：看來，大家對于生2的方法基本也是持否定的態(tài)度。那么，生3的方法呢？

生8：生3的方法有點像腦筋急轉(zhuǎn)彎。他竟然讓木條站了起來。（學生大笑）

生9：我覺得生3的方法很有創(chuàng)意，但有一個問題，既然可以在四個角落里各豎1根木條，那我們也可以在別的地方繼續(xù)豎一些。這樣，符合要求的情況也就越來越多，這個問題也就失去討論的意義了。所以，我還是不太贊成讓木條豎起來。

師：不管怎么說，這三位同學都在想盡一切辦法幫助王大伯解決問題。只是有些解決方式不太被大家接受。如果我們將問題表述得更清楚，就用22根木條平著圍一個長方形花圃，不能剩余、不許折斷，也不借助其他任何條件，能夠圍出面積為20平方米的長方形花圃嗎？

生（齊）：不能！

師：我們都知道，22根木條可以圍出多種不同的長方形，為什么你們覺得不能？能否展示出你們研究和思考的過程？接下來的時間，每一位同學展示完畢后，臺下的同學可以給出相應的評價和建議。

生10：我試了一下，如果長是7米，那么寬就得4米，但這個長方形的面積是28平方米，不符合要求。所以我覺得王大伯的要求不可能實現(xiàn)。（如圖4）

生11：我反對。雖然我也覺得這個任務不能實現(xiàn)，但你只舉一個例子是不能說明問題的，因為周長為22米的長方形有好幾種，萬一有一種長方形的面積正好是20平方米呢？

師：能給大家展示一下你的作品嗎？

生11：我先用22除以2，發(fā)現(xiàn)這個長方形的長和寬的和是11米。然后，我想辦法把11分成兩個數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)只有這五種分法，但這五種分法得出的長方形面積都不是20平方米。所以，我認為王大伯的任務沒法完成。（如圖5）

生12：我的方法和他的很相似，只不過我是列表的。通過列表，我也發(fā)現(xiàn)周長為22米的長方形有五種情況，但每一種長方形的面積都不是20平方米。所以，我也覺得王大伯的任務不可能完成。（如圖6）

生13：我發(fā)現(xiàn)他們都是按順序舉例的，比如長方形的寬，從1一直列舉到5，一個比一個大，而長方形的長從10一直列舉到6，一個比一個小。

生14：我覺得按這樣的順序舉例有一個好處，就是不容易遺漏。如果不按順序，弄不好就會漏掉某一種情況。

師：說得真好！看來，列舉時我們要按一定的順序進行。不過，我有一個疑惑，為什么非要把所有情況都列舉出來，列舉兩三種情況不能說明問題嗎？

生15：不行。既然要說明不能實現(xiàn)，就得把所有情況都列舉出來，并且對所有情況進行一一驗證。只有這樣，才能說明王大伯的任務不能完成。如果漏掉一種，而這一種情況正好是符合要求的，那就麻煩了。

師：看來，為了解決問題的需要，我們在列舉時，不僅要按順序，而且還得把所有情況都列舉出來，在數(shù)學上，這就叫一一列舉。（板書：有序 一一列舉）還有沒有不同的方法需要展示的？

生16：我也是一一列舉的，但我是根據(jù)面積來列舉的。我發(fā)現(xiàn)，面積是20平方米的長方形只有三種情況（如圖7）。通過計算，我發(fā)現(xiàn)它們的周長都不可能是22米，所以，王大伯的任務不可能完成。

生17：我先對生16的作品提一點建議。我覺得他在列舉時沒有按一定的順序，所以有點亂，如果把長20米的長方形放在第一個，這樣看起來更清楚。另外，我也是從面積入手進行思考的，只是我沒有列表，而是直接畫圖。（如圖8）通過畫圖，我發(fā)現(xiàn)面積為20平方米的長方形的周長不可能是22米，所以，王大伯的任務不可能完成。

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圖8

師：看來，一一列舉，列表、畫圖、算式等方法都是可行的。老師帶來了一位同學列舉的情況（如圖9），但結(jié)果和你們的略有不同。

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圖9

生18：我覺得他的列舉有問題，比如1號長方形，長是1米，寬卻是20米，這樣的長方形是不存在的。

生19：我覺得他列舉時重復了。比如這里的③號和④號長方形，一個長5米、寬4米，另一個長4米、寬5米，其實這兩個長方形是一樣的。所以，我覺得他列舉的前面三種可以去掉，只留后面三種就可以了。

師：通過他的列舉，你們又有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生20：列舉時不僅要有序、不遺漏，同時也要做到不重復。

生21：一一列舉時，要把所有符合情況的長方形一個不多、一個不少地一一列舉出來，這才是最好的。

三、深入觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：通過剛才的學習，我們發(fā)現(xiàn)，一一列舉是解決問題的一種有效策略。正是借助一一列舉的策略，我們知道王大伯的這一任務是沒法完成的。不過，仔細看一下同學們解決問題時所列的表格（如圖10），一個是周長確定、面積在變化，另一個是面積確定、周長在變化。仔細觀察圖中長方形的長、寬、周長和面積的變化，有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

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圖10

生1：我發(fā)現(xiàn)，當長方形的周長不變時，長和寬離得越遠，面積越??；長和寬越接近，面積越大。比如前面一張表中，從前往后，長和寬的距離越來越接近，它們的面積就越來越大。反過來看，也是一樣的。

師：顯然，通過有序的列舉，我們還很容易從中發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律呢。

生2：我發(fā)現(xiàn)，當長方形的面積不變時，長和寬越接近，周長就越??；長和寬差距越大，周長就越大。（教師板書規(guī)律）

師：所有的長方形都符合這兩條規(guī)律嗎？如果繼續(xù)研究，你會怎么做？

生3：我會繼續(xù)找一些長方形，讓它們周長相等，看看它們的面積會怎么變；然后再找一些長方形，讓它們面積相等，看看它們的周長又會怎樣變化。

師：請大家自己確定數(shù)據(jù)，繼續(xù)驗證這一規(guī)律是否也適用于別的長方形。

（學生小組內(nèi)進行研究與驗證）

四、實踐拓展，應用策略

師：這里還有兩個問題，你能嘗試著用今天所學的策略進行思考嗎？

（1）一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10分，投中中圈得8分，投中外圈得6分。小林投中了兩次，他可能得多少分？

（2）兩枚硬幣同時拋起，落地后會出現(xiàn)幾種不同的情況？

師：通過研究，你覺得小林最終的總分可能有幾種情況？

生1：我覺得一共有10種情況（如圖11），兩次都投中的有6種，只投中1次的有3種，兩次都沒投中的有3種，6+3+1=10種。

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圖11

生2：題目中明明說了投中兩次，所以，后面的4種情況根本不需要討論。如果是投了兩次，那么就有10種情況。

生3：我覺得不應該是6次，而是5次。10+6=16，8+8=16，兩次的總分是一樣的，所以可以看作是同一種結(jié)果。

師：看來，在解決這樣的問題時，我們要審清題意，不能粗心大意；另一方面，在進行一一列舉時，還要根據(jù)問題的要求，不能重復和遺漏。

生4：對于第二個問題，我覺得一共分3種情況，分別是正正、反反和一正一反。

生5：我反對。應該有4種情況，分別是正正、反反、正反和反正。

（面對究竟是3種情況還是4種情況，學生展開了激烈地爭論。最終，教師給出了如下建議：

建議1：給兩枚硬幣分別標上號碼，一枚是1號硬幣，另一枚是2號硬幣。

建議2：試著用兩枚硬幣投一投，看看最終出現(xiàn)的正正、反反和一正一反這三種情況是否次數(shù)差不多。如果差不多，就說明這是三種情況；如果一正一反更多些，則說明一正一反包含著正反和反正兩種情況。

學生就上述兩個問題進行再探索，隨后匯報。）

生6：通過研究發(fā)現(xiàn)，一正一反應該包含兩種情況。我們給硬幣標上號碼后，發(fā)現(xiàn)實際上會出現(xiàn)這樣四種情況：1號正面和2號正面、1號反面和2號正面、1號反面和2號正面、1號反面和2號反面。沒有標號碼時，我們還以為一正一反就是一種情況。一標上號，我們才發(fā)現(xiàn)原來是不一樣的。

師：一一列舉時，我們還要細致地去分析和思考。

生7：我們小組進行了實驗，一共投了40次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，一正一反是21次，差不多正好是正正、反反兩種情況的總和。我們猜測，一正一反應該包含正反和反正兩種不同的情況。

師：所以，如果一一列舉出現(xiàn)問題時，實驗也不失為一種好的策略，它可以讓我們對問題的思考更清晰、更準確。

【要點評析】

聽張齊華老師的課，是一種享受。能為他的課點評，是我所愿意的！

張齊華老師關于“解決問題的策略”一課的教學，正是在深刻洞悉教學內(nèi)容意蘊的基礎上，實現(xiàn)著符合自身教學追求和風格的一種完美呈現(xiàn)，給我們帶來了一種由內(nèi)而外的心潮激蕩和內(nèi)心震撼。細細品味，收獲頗豐，顯然，這是一節(jié)“準、深、透、高”的數(shù)學課。

一、準：關注策略機理的形成過程

美國著名的數(shù)學教育家赫斯認為：“數(shù)學教學的問題并不在于尋找最好的教學方式，而在于明白數(shù)學是什么，如果不正視數(shù)學的本質(zhì)問題，便永遠解決不了教學上的爭議。”數(shù)學知識的本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學知識、數(shù)學規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學知識背后的本質(zhì)屬性。對策略的體驗與理解，是學生形成解決問題的策略的中心環(huán)節(jié)，亦是保底環(huán)節(jié)，必須讓學生充分經(jīng)歷策略機理的形成過程，在“理”上做足文章。張齊華老師的這節(jié)課，一方面，重視讓學生探索相關解題策略的思考流程與操作步驟，另一方面，引導學生逐步把握相關策略的主要含義與基本特征，讓學生在充分親歷應用相關策略解決問題的探索過程中，獲得對解決問題策略的直觀感受，并形成初步的理性認識，逐步完成對策略的自主建構(gòu)。為幫助學生理解“一一列舉”的策略機理，張齊華老師安排學生進行前置性研究，給予學生充裕的時間和空間進行探索，以獲得充分的感性認識和活動經(jīng)驗，然后在課堂上對“木條多余”“利用圍墻”“添加支架”等“原生態(tài)”的錯例進行剖析，并加以提煉和升華，幫助學生建立“吃透、吃準有用信息是建構(gòu)策略的前提”的心理基礎，再通過算式、列表、畫圖等途徑，從計算周長的維度找到問題的答案，最后，再從計算面積的維度反證“王大伯的任務不可能實現(xiàn)”的推想。三大環(huán)節(jié)的正推反證，逐層推進，形成了強大的“思維場”，促進了學生對策略機理的深度理解，并對知識實現(xiàn)有效的建構(gòu)。

二、深：關注數(shù)學思想的有機滲透

每個數(shù)學知識都兼有事實性、概念性、方法性、價值性四個方面。知識的事實性指人們在日常生活中對此的感悟和總結(jié)；沒有概念去概括，客觀的事實或現(xiàn)象只能是經(jīng)驗；沒有方法去運用，概念或原理只能是詞語符號；沒有價值取向的揭示，方法只能是機械的步驟，而這種價值取向，更多地聚焦于揭示數(shù)學知識背后的靈魂——數(shù)學思想。

對于“解決問題的策略”版塊的教學，許多教師把教學目標定位于引導學生學習“如何列舉”“如何畫圖”等具體的方法，而忽視了對課程標準中關于“體會策略的價值”“增強學生使用策略的意識”的教學建議和要求。其實，解決問題的策略不僅僅對應的是某一種具體的方法，其背后蘊含著豐富的數(shù)學思想方法。如，畫圖，蘊含數(shù)形結(jié)合的思想和具體畫圖的方法；倒推，蘊含過程或者運算的可逆性思想以及相應的互逆思想；替換，蘊含過程中不變量的思想和相對應的等量關系……

在張齊華老師看來，方法、策略、思想是三個遞進的層次，數(shù)學方法上升到一定的高度形成策略，數(shù)學策略的進一步凝練并形成了數(shù)學思想，而數(shù)學思想則是數(shù)學學科的核心元素。眼界決定境界，高度決定力度，因而，張齊華老師的數(shù)學課總是充滿著濃濃的“思想味”而煥發(fā)出無窮的張力。在本課中，圍繞“周長是11米”這一條件，讓學生對各種可能的方法進行排序，突出“有序”“一一列舉”，滲透了分類思想；把各種周長等于11米的算式與相應的圖形進行匹配，讓學生感受一道算式對應著一種長方形，滲透了對應的思想；對各種可能的算式進行排序后進行對比，得出“一個因數(shù)在依次增大，另一個因數(shù)在依次減小，而兩個因數(shù)的和是不變的”的結(jié)論，滲透了“變與不變”的思想；在第一個學生回答“如果長是7米、寬是4米，面積不等于20平方米，所以王大伯的愿望不可能實現(xiàn)”的結(jié)論后，引導學生萌發(fā)“你只舉了一個例子是不能說明問題的，因為周長是22米的長方形有好幾種，萬一另外有一種長方形的面積正好是20平方米呢？”的辯證思想，幫助學生形成初步的邏輯推理、科學歸納的意識。

三、透：關注知識教學的隱性價值

“教學追求被吸引，美麗的風景在遠方?！睆堼R華老師深知：每一種策略都具有“戰(zhàn)略”思想價值，也就是說，它背后有著更強大的現(xiàn)實意義和運用意義。因而他倡導：學習每一種策略，都要力求揭示這種策略的價值和意義，不僅讓學生了解到運用策略能夠解決一些典型的問題，還要力求找尋知識的“附加值”，尋找知識的隱性教學功能，帶領學生體會那種登高遠眺、一覽眾山小的快感。

教材中的例題是“王大叔用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”張齊華老師把它改編成“王大伯想用22根1米長的木條，圍一個面積20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務嗎？”文字變化似乎不大，但細細琢磨，深感意蘊無窮。稍稍改動，例題就有了較大的“增值”空間：原本的例題，只要在周長維度上實現(xiàn)列舉，就能找到面積最大的一種狀態(tài)，而改編后的問題，不僅具有原來的功能，而且還可以從面積的維度來反證列舉的各種可能；原本的例題，以直白的求解的姿態(tài)呈現(xiàn)，而改編后的問題，以“你覺得他能完成這一任務嗎？”這種“判斷式”的方式呈現(xiàn)，又使思考、求解的路徑多了許多；原本的例題帶來的只有“周長確定，面積在變化”的規(guī)律，而改編后的例題，除此之外還多了“面積確定，周長在變化”的規(guī)律。

在練習階段，張齊華老師精心設計了“兩枚硬幣同時拋起，落地后，會出現(xiàn)幾種不同的情況？”這一問題，題目雖短但卻掀起“軒然大波”：究竟是正正、反反和一正一反共3種情況，還是正正、反反、正反和反正共4種情況？正反與反正是一種情況還是兩種情況呢？再次“撩”起學生的興趣和探求欲。這樣的訓練，使學生在鞏固應用了“一一列舉”策略的同時，更為深刻地理解了在“一一列舉”中可能涉及的概率問題。

這樣的設計，不是奔著理解某個知識點或找到一種解決問題的方法的單一目標“匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣賞啊”的從容心態(tài)，有著更為宏觀的學科視野。

四、高：關注教學方式的根本改變

就傳統(tǒng)的課堂教學狀況，數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾戲稱：“每一個人都在睡覺，僅有一個人在講，這種狀態(tài)就是教學?！迸笥讶锏耐袀円苍谡{(diào)侃：所謂數(shù)學課，就是一個人的狂歡，一群人的寂寞。毋庸諱言，當前的數(shù)學課走進了一個怪圈，要走出這個怪圈，需要勇氣，需要才氣，更需要底氣。這些，張齊華老師做到了，“張齊華老師義無反顧地轉(zhuǎn)身了，如果他不轉(zhuǎn)，我們就欣賞不到今天這么精彩的課了。你看，張齊華老師都把課堂還給學生了，我們還死死把控著課堂的每個環(huán)節(jié)，何苦呢？”（陳洪杰，《小學教學》2016年第1期）

在這節(jié)課中，張齊華老師“訥于言而敏于行”，話真的很少，沒有了我們所習慣的且嘆為觀止的“張齊華老師式”語言，更多的是一些提示性的、啟發(fā)式的、鼓勵式的提示語。張齊華老師很善于“造勢”，讓兒童充分表達各自的所思所想，并“順其勢而改其路，四兩撥千斤”，這種相機穿插于兒童自主學習過程中的引導，具備整體觀，做到“服務兒童的學，促進兒童的學”，而不是“遮蔽兒童的學，替代兒童的學”。

美國經(jīng)濟學界和政界劃時代的學者約翰·肯尼思·加爾布雷有一句名言：“當人們證明改變思想和沒有必要改變思想的選擇時，人人都忙著證明后者。”是的，思想的改變才是行動改變的前提。張齊華老師課堂的改變，讓我們承認，學習在本質(zhì)上是學生自己的事情，教學所應發(fā)揮的作用應該是幫助、促進和催生，而不是替代；讓我們承認，教學促進學生的可持續(xù)發(fā)展，興趣和好奇心、方法與能力對學習力的培養(yǎng)至關重要；讓我們承認，學習不只是知識的累積，更是自我的完善與創(chuàng)造，只有會學習、會思考、會探索，愛提問、愛溝通、愛合作、善交流，學生的靈性才能得到舒展，智慧才能得到綻放。

（責編 金 鈴）