非線性減震器的多脈沖軌道和同宿樹研究*

周莎　張偉?　于天俊

(1.北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院, 北京　100124)(2.機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室, 北京　100124)

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非線性減震器的多脈沖軌道和同宿樹研究*

周莎1,2張偉1,2?于天俊1,2

(1.北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院, 北京100124)(2.機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室, 北京100124)

針對一類非線性減震器,應(yīng)用能量相位法研究了減震器系統(tǒng)在1∶0內(nèi)共振,第一階主共振情形下系統(tǒng)的多脈沖軌道和同宿樹. 首先, 將系統(tǒng)的無量綱動力學(xué)控制方程轉(zhuǎn)化為近可積哈密頓系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式.其次,研究了該系統(tǒng)的未擾動力學(xué)行為和擾動動力學(xué)行為, 分析了耗散因子及相位漂移角對多脈沖軌道脈沖數(shù)和層半徑的影響, 揭示了這類非線性減震器能量從高頻模態(tài)向低頻模態(tài)轉(zhuǎn)移的動力學(xué)機理.

非線性減震器,能量相位法,多脈沖軌道,同宿樹,能量轉(zhuǎn)移

引言

航天器的發(fā)射階段雖然只有短短的幾十分鐘,卻承受著在整個壽命周期內(nèi)最為嚴(yán)酷的動力學(xué)環(huán)境. 有效載荷受到的環(huán)境載荷包含幾十赫茲, 幾百到上千赫茲的低、中、高頻的振動與沖擊. 近年來, 由衛(wèi)星活動部件引起的微振動對敏感載荷性能的影響也引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注. 微振動的主要特點是幅值小、頻帶寬、控制難[1]. 于是, 航天器隔振與減震技術(shù)應(yīng)運而生. 通過研究航天器減震/隔振和阻尼技術(shù)對航天器動力學(xué)特性的影響, 以改善航天器的振動環(huán)境和航天器及部件動力學(xué)特性[2].

能量相位法[3-7]最早由Haller提出, 是一種分析高維非線性系統(tǒng)多脈沖混沌運動的全局?jǐn)z動方法. Yao[8]利用能量相位法研究了非線性非平面運動懸臂梁的多脈沖混沌動力學(xué), Yu[9]利用能量相位法研究了兩自由度旋轉(zhuǎn)圓盤的多脈沖同宿軌道和同宿分岔樹. Li[10]應(yīng)用隨機Melnikov理論確定了移動載荷彈性梁系統(tǒng)在均方意義下發(fā)生異宿分岔以及混沌的邊界條件.

本文應(yīng)用能量相位法研究了非線性減震器系統(tǒng)在1∶0內(nèi)共振, 第一階主共振情形下系統(tǒng)的多脈沖軌道和同宿樹.

1　非線性減震器模型

兩個自由度非線性減震器模型如圖1. 非線性減震器由質(zhì)量為m、慣性矩為Λ的剛體, 連著兩個相同的彈簧阻尼系統(tǒng)組成. 假設(shè)阻尼系統(tǒng)的線性粘彈性阻尼系數(shù)為β, 彈簧是非線性的且彈性勢能為

(1)

圖1　非線性減震器模型Fig. 1　The model of nonlinear vibration absorber

假設(shè)系統(tǒng)受到垂直方向的激勵a(t)=Asinνt,l表示對稱垂直軸到每一個彈簧阻尼系統(tǒng)接觸點的距離,q1和q2分別表示垂直方向上相對位移和相對仰角. 非線性減震器的無量綱控制方程為

(2a)

為了應(yīng)用能量相位法, 需將方程(2)轉(zhuǎn)化為近可積哈密頓系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式. 本文考慮慣性矩Λ足夠大, 使得兩階模態(tài)的固有頻率之比接近1∶0, 即(ω0/r)2=0+εσ, 其中σ為調(diào)諧參數(shù); 外共振滿足ν=ω0(1-ελ). 應(yīng)用規(guī)范形理論可將方程(2)轉(zhuǎn)化為如下近可積哈密頓系統(tǒng)的形式

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

其中哈密頓函數(shù)

(4a)

(4b)

耗散項

gθ=0

(4c)

2　能量相位法

2.1未擾動系統(tǒng)動力學(xué)

令k=-σ-α2I, 由未擾動哈密頓函數(shù)H0(x,y)=H0(0,0)可求得過鞍點E0的同宿軌道為

(5a)

(5b)

此時, 未擾動系統(tǒng)存在二維法向雙曲不變流形

(6)

事實上, 流形M0上包含的是系統(tǒng)(2)的第一階, 即高頻模態(tài)的運動.

限制在不變流形M0上的動力學(xué)方程為

(7a)

(7b)

當(dāng)(1+λ)ω0+α3I=0,即I=Ir=-(1+λ)ω0/α3時, (I,θ)平面在不變流形M0上是不動點圓. 連接不動點圓上任意兩點的異宿軌道的相位差

Δθ=θ(+,Ir)-θ(-,

(8)

2.2擾動系統(tǒng)動力學(xué)

根據(jù)法向雙曲不變流形在小擾動下不變流形的保持性, 對于充分小的ε>0, 法向雙曲不變流形擾動為

(9)

為了研究共振區(qū)的動力學(xué)行為, 引入如下變換

(10)

限制在流形Mε上的動力學(xué)方程為

(11a)

(11b)

ε=0時方程(11)對應(yīng)的哈密頓函數(shù)為

(12)

且存在不動點

(13a)

(13b)

耗散擾動下鞍點P0擾動后仍為鞍點Pε, 中心Q0擾動后為穩(wěn)定的焦點Qε.

能量差分函數(shù)

cosθ]+nμ2M

(14)

其中

引入耗散因子d=μ2/F, 能量差分函數(shù)在區(qū)間θ∈[0,2π]上存在橫截零點

(15a)

(15b)

定義能量序列

h0=HD(0,θs),

集序列

A0=φ,

An={(h,θ)|HD(h,θ)

脈沖序列

N1=1,

Nk=min{n∈Z|n>Nk-1,hn>hNk-1},k≥2.

層序列

LNk=Int(ANkANk-1).

層半徑序列

圖2給出了哈密頓擾動(無阻尼)下, 系統(tǒng)的脈沖數(shù)Nk與層半徑rNk在區(qū)間Δθ∈[0,2π]上的分布情形. 圖2(a)是哈密頓擾動下脈沖數(shù)的分布情形, 在每個N值處的水平線表明這個水平線所在的Δθ區(qū)間上, 總存在著無窮個N脈沖軌道. 圖2(b)是層半徑的同宿樹, 即層半徑隨著分岔參數(shù)Δθ的變化而變化的情形, 該圖是無窮的二叉樹, 也稱之為“同宿樹”; 同宿樹的結(jié)點對應(yīng)層序列的分岔.

圖2　哈密頓擾動下脈沖數(shù)和層半徑的分布情形(a)脈沖數(shù)的分布情形 (b)層半徑的同宿樹Fig. 2　Distribution of pulse number and layer radii under Hamiltonian perturbation(a) Distribution of pulse numbe (b) Homoclinic tree of layer radii

圖3給出了脈沖數(shù)Nk與層半徑rNk分別在耗散因子d=0.0001、d=0.01、d=0.5時的分布情形.隨著耗散因子的不斷增大, 最大脈沖數(shù)逐漸減小,同宿樹逐漸破裂.

圖3　脈沖圖和層半徑在不同耗散因子下的分布情形 Fig. 3　Distribution of pulse number and layer radiiin different dissipative factor

4　小結(jié)

本文采用能量相位法研究了非線性減震器在1∶0內(nèi)共振, 第一階主共振情形下系統(tǒng)的多脈沖軌道和同宿樹. 通過引入能量序列、脈沖序列, 分析了相位漂移角及耗散因子對多脈沖軌道脈沖數(shù)和層半徑的影響. 在哈密頓擾動下, 同宿于慢流形的同宿軌總是存在. 在耗散擾動下, 隨著耗散因子的不斷增大,多脈沖軌道的脈沖數(shù)逐漸減小, 同宿樹逐漸破裂, 揭示了能量從高頻模態(tài)向低頻模態(tài)轉(zhuǎn)移的動力學(xué)機理.

1孟光,周徐斌. 衛(wèi)星微振動及控制技術(shù)進展. 航空學(xué)報, 2015,36(8):2609～2619 (Meng G, Zhou X B. Progress review of satellite micro-vibration and control.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica, 2015, 38(8): 2609～2619(in Chinese))

2黃文虎,曹登慶,韓增堯. 航天器動力學(xué)與控制的研究進展與展望. 力學(xué)進展, 2012,42(4):367～394 (Huang W H, Cao D Q, Han Z Y. Advances and trends in dynamics and control of spacecrafts.AdvancesinMechanics, 2012,42(4):367～394 (in Chinese))

3Haller G, Wiggins S. Orbits homoclinic to resonances: the Hamiltonian case.PhysicaD, 1993,66(3-4):298～346

4Haller G, Wiggins S. Geometry and chaos near resonant equilibria of 3-DOF Hamiltonian system.PhysicaD, 1996,90(4):319～365

5Haller G. Universal homoclinic bifurcations and chaos near double resonances.JournalofStatisticalPhysics, 1997,86(5):1011～1051

6Haller G, Wiggins S. N-pulse homoclinic orbits in pertur-bations of resonant Hamiltonian systems.ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis, 1995,130(1):25～101

7Haller G. Chaos near resonances. New York: Springer-Verlag, 1999

8Yao M H, Zhang W. Multi-pulse shilnikov orbits and chaotic dynamics in nonlinear nonplanar motion of a cantilever beam.InternationalJournalofBifurcationandChaos, 2005,15(15):3923～3952

9Yu W Q, Chen F Q. Orbits homoclinic to resonances in a harmonicaly excited and undamed circular plate.Meccanica, 2010,45:567～575

10李海濤,秦衛(wèi)陽,田瑞蘭. 隨機及移動載荷激勵下彈性梁分岔與混沌. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2015,13(6):417～422 (Li H T, Qin W Y, Tian R L. Bifurcation and chaos of beam subjected to moving loads and random excitations.JournalofDynamicsandControl, 2015,13(6):417～422 (in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11290152,11322214).

? Corresponding author E-mail: sandyzhang0@yahoo.com

02 December 2015, revised 29 December 2015.

MULTI-PULSE ORBITS AND HOMOCLINIC TREES OF NONLINEAR VIBRATION ABSORBER*

Zhou ShaZhang Wei?Yu Tian-jun

(BeijingKeyLaboratoryofNonlinearVibrationsandStrengthofMechanicalStructures,CollegeofMechanicalEngineering,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)

In this paper, the energy phase method is applied to analysis the multi-pulse orbits and homoclinic trees of the nonlinear vibration absorber model under 1∶0 internal resonance and the first order primary resonance. Firstly, the nonlinear governing equations are transformed to the standard form of near-integrable Hamiltonian systems. Moreover, the unperturbed dynamics and perturbed dynamics are examined. The influence of dissipative factor and the phase shift on the pulse number and layer radii of the multi-pulse orbits of system are analyzed. The results show that energy is transferred from the high-frequency mode to the low-frequency mode in these systems.

nonlinear vibration absorber,energy phase method,multi-pulse orbits,homoclinic trees,energy transfer

E-mail: sandyzhang0@yahoo.com

10.6052/1672-6553-2016-16

2015-12-02收到第1稿, 2015-12-29收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目(11290152,11322214)