關(guān)于Gauss原理*

梅鳳翔　李彥敏　吳惠彬

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京　100081) (2.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院,商丘　476000)(3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,北京　100081)

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關(guān)于Gauss原理*

梅鳳翔1李彥敏2?吳惠彬3

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京100081) (2.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院,商丘476000)(3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,北京100081)

Gauss原理是分析力學(xué)中的一個微分變分原理,它在理論上簡單,應(yīng)用上有優(yōu)勢,而且適用于雙面理想完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng).本文對這個原理的形成和發(fā)展給出一些史料,并提出一些看法.

分析力學(xué),Gauss原理,史料

引言

學(xué)科史研究是科學(xué)技術(shù)史研究的一個重要領(lǐng)域.分析力學(xué)史是力學(xué)史的一部分.本文就分析力學(xué)的Gauss原理的形成和發(fā)展給出一些史料,包括Gauss的原述以及眾多名家對原理的表述,并提出一些看法.

1　Gauss 簡介

Gauss CF(1777～1855)漢譯高斯,德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家.生于不倫瑞克,卒于哥廷根.少年時即顯示數(shù)學(xué)才能,1792年進不倫瑞克卡羅林學(xué)院學(xué)習(xí),1795年進哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí),1799年得出代數(shù)學(xué)基本定律的第一個證明,以此獲得赫爾姆施泰特大學(xué)博士學(xué)位.其后獨立研究數(shù)學(xué)和天文學(xué),1807年被聘為哥廷根大學(xué)天文學(xué)教授兼天文臺臺長,直至去世.在數(shù)論方面,1801年出版《算術(shù)研究》,建立了同宗理論.引進被稱為高斯的數(shù)域,開拓了代數(shù)數(shù)論.在代數(shù)方面,對代數(shù)學(xué)基本定理給出四個證明.引進二次型的等價及合成,預(yù)示著抽象代數(shù)的萌芽.在概率方面,系統(tǒng)發(fā)展最小二乘法和誤差理論.在幾何學(xué)方面,是非歐幾何最早發(fā)現(xiàn)者.在曲面微分幾何方面,引進被稱為高斯的映射,高斯的曲率,開拓了內(nèi)蘊幾何學(xué).在變分法方面,首先解決了具有二重積分的變分問題.高斯的研究涉及數(shù)學(xué)所有分支,成為19世際上半葉德國最著名數(shù)學(xué)家.他也在將數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、土地測量、磁理論等方面.他在一般力學(xué)的唯一工作是在1829年發(fā)表的“關(guān)于一個新的普遍原理”,被稱為高斯原理.

2　Gauss的原述

大數(shù)學(xué)家Gauss涉及一般力學(xué)的唯一工作是他在1829年發(fā)表的“關(guān)于力學(xué)的一個新的普遍原理.”[1]

這個原理表述如下：

“彼此以任何方式相聯(lián)的,同時受有任何外限制的某個質(zhì)點系的運動,在每一瞬時,完成與自由運動一致的最大可能的運動,或者在最小可能的拘束下的運動,而作為對所有系統(tǒng)在每一瞬時都有效的拘束的度量研究作為每個點對其自由運動偏離的平方與質(zhì)量積之和.”[1-2]

設(shè)m,m′,m″…為點的質(zhì)量,a,a′,a″,…為在時刻t其相應(yīng)的位置,b,b′,b″,…為這些點在無限小時間間隔dt,在力作用下和所得速度改變后的位置(在所有點在時間之隔dt內(nèi)都是自由條件下).系統(tǒng)這些點真實位置c,c′,c″,…是所有為系統(tǒng)約束允許的可能的位置中使物理量

(1)

取極小值.這個量Gauss稱為拘束(Zwang)[2].

[注] 1)Gauss原理的俄譯文看到兩種,上面是文獻[2]的漢譯.2)原理還沒有給出它的解析表達式.

3　Gauss原理的發(fā)展

3.1原理的解析表達式

十年后這個新原理引起德國學(xué)者的關(guān)注.在Gauss工作過的G?ttingen大學(xué)和德國其它城市的學(xué)校注意到這個原理并給以發(fā)展.例如,1858年Gauss在G?ttingen的學(xué)生Ritter提交學(xué)位論文“關(guān)于Gauss最小拘束原理”,指出Gauss原理可導(dǎo)出靜力學(xué)基本定理,特別是平行四邊形法則[2].

(2)

另一方面,如果沒有約束,點在同一時刻的橫坐標為

(3)

其中Xi為所加力的分量.在計算上面兩個量時精確到二階小量.類似地計算y軸和z軸的值.進而,Scheffler按Gauss拘束得到解析表達,他組成自由運動和真實運動的坐標差,取其平方除以質(zhì)量,再求和,有

(4)

此后Gauss最小拘束原理表示為,相對這些點由給定點和給定大小方向的速度發(fā)生的所有可能的與約束相符的運動來說,拘束的局部極小條件.因此,在時刻t,點的坐標和速度在Gauss原理中不變分,僅加速度變分.Gauss拘束極小性條件按Scheffler寫成形成[2]

(5)

如果約束是雙面的.這些約束可以是完整的和非完整的.

Boltzmann和Gibbs19世紀90年代指出,Gauss-Scheffler原理形式可由d′Alembert原理和可能位移原理得到.

Ostrogradsky 學(xué)派的Rakhmanikov(1826～1897)1878年在基輔大學(xué)學(xué)報上發(fā)表論文“最小損失功原理作為力學(xué)的一般原理.”[2]

[注] 1)原理的前提條件應(yīng)是,約束是雙面理想的,不論完整與否.當然,那時還沒有理想約束的概念.2)最小損失功原理是對Gauss原理的一種解釋.

3.2Appell的論述

Appell在其著作中寫道：

“學(xué)者們找到了各種方法將運動方程引向一個原理,使積分或函數(shù)與可能接近的運動相比,取極小.這個思想首先是最小作用量原理,而后是更一般的Hamilton原理,由此很簡單地導(dǎo)出完整系統(tǒng)的Lagrange方程,但在非完整系統(tǒng)情形,這個結(jié)論已不正確.這里我們換成Gauss最小拘束原理.這個原理是最普遍的,應(yīng)用它時沒有任何困難.原理的優(yōu)勢在于,它有簡單的解析表達,用尋求二階函數(shù)的極小就可以找到任何系統(tǒng)的運動方程,不論完整的,還是非完整的.”[3]

[注] 1)Appell這段文字提到Gauss原理的優(yōu)點.2)未提前提條件,當然,Appell時代僅有“無摩擦約束”,還沒有理想約束的提法.

3.3理論力學(xué)基本教程的表述

Bukhgolts的《理論力學(xué)基本教程》1939年出第二版,并于1957年由錢尚武,錢敏翻譯出版[4].書中寫道：

“和達朗貝爾-拉格朗日原理比較起來,高斯原理的優(yōu)越性在于,它使我們有可能在不管怎樣的非完整約束下得出力學(xué)組的運動方程式.因此高斯原理是最普遍的力學(xué)原理并具有很大的,發(fā)現(xiàn)新事物的價值,由于這種價值高斯原理成為力學(xué)進一步發(fā)展的基礎(chǔ).”

“高斯原理就是：在每一瞬間,在主動力作用下并服從非自由無摩擦約束的力學(xué)組的真正運動和從同一初形相并具同樣初速度以那一性質(zhì)不同的所有運動學(xué)上可能的(亦即和同樣一些約束相符合的)運動不同的地方是,對真正的運動來說對自由運動偏離的變量,亦即拘束是極小.”

[注] 1)這個教程是作者20世紀50年代上學(xué)時的主要參考書,它本身也很有名.2)上面文字提到Gauss原理的普遍性和優(yōu)勢.3)文字中有“非自由無摩擦約束”,就是指理想約束.

3.4胡助、趙進義的一個報告

北京工業(yè)學(xué)院教授胡助(1894～1977)和趙進義(1902～1972)作為Appell當年的學(xué)生,1964年在全國第一屆一般力學(xué)學(xué)術(shù)會議上做一報告“關(guān)于非完整系統(tǒng)的Appell定義和Appell方程”,深入討論了Appell方程和Gauss原理之間的關(guān)系.

[注] 1)這是我國有關(guān)Appell方程和Gauss原理的早期工作.胡助先生60年代有一《分析力學(xué)講文》,并為本科生開設(shè)“分析力學(xué)”課程.因此,60年代北京工業(yè)學(xué)院成為我國分析力學(xué)研究的“一個點兒”,為后來北京理工大學(xué)的分析力學(xué)研究起了很好的帶頭做用.2)劉桂林(1934～2009)和劉思遠在北京工業(yè)學(xué)院曾為胡助先生的助手.劉桂林主編《分析力學(xué)的范例與習(xí)題》,劉思遠發(fā)表過“變質(zhì)量可控力學(xué)系統(tǒng)的Gauss原理和Appell方程”(1986).

3.5中國大百科全書·力學(xué)

中國大百科全書·力學(xué)第172頁的條目“高斯原理”,寫道[5]：

(6)

如果記δG為符合約束的可能加速度變分,由高斯原理可知,系統(tǒng)真實運動滿足

(7)

這就是高斯原理的數(shù)學(xué)表達式.高斯原理具有簡明的極值意義,既適用于一階線性系統(tǒng)(包括完整系統(tǒng)),也適用于一階非線性約束系統(tǒng).

高斯原理的優(yōu)點不僅在于原理上的普遍性.而且還有很大的實用價值.目前在機器人的設(shè)計和分析中使用的方法之一就是由高斯原理出發(fā),在電子計算機中直接建立拘束函數(shù)變分問題,用優(yōu)化算法和動態(tài)規(guī)劃的辦法求解機器人的運動和約束反力.”

中國大百科全書·力學(xué)第310頁右倒數(shù)第9行,寫道[5]：

“積分形式變分原理的建立是對力學(xué)的發(fā)展,無論在近代或現(xiàn)代,無論在理論上或應(yīng)用上,都具有重要的意義.積分形式變分原理除W·R·哈密頓在1834年所提出的外,還有C·F·高斯在1829年提出的最小拘束原理,為力學(xué)運動方程的求解提供途徑.”

《中國力學(xué)學(xué)科史》第21頁重復(fù)了以上段落[6].

[注] 1)《中國大百科全書·力學(xué)》的條目“高斯原理”由陳濱教授書寫.這個條目寫得好.不過,在“理想約束”前應(yīng)加“雙面”.2)《中國大百科·力學(xué)》和《中國力學(xué)學(xué)科史》中將Gauss原理當作積分形式變分原理,是一個誤判,因為它是一個微分變分原理.

3.6力學(xué)詞典

《力學(xué)詞典》第145頁有條目“高斯原理”寫道[7]：

“高斯原理(Gauss principle) 動力學(xué)普遍原理,又稱最小拘束原理,由高斯(C·F·Gauss 1777～1856)于1829年提出而得名.對任意有理想約束的質(zhì)點系,高斯原理要求

(8)

(9)

高斯原理廣泛應(yīng)用于機器人動力學(xué).”

[注] 1)這個條目沒有《中國大百科全書·力學(xué)》的條目好,因為前一式已是變分原理,怎么還會有“可作為一種變分原理”？2)原理的前提應(yīng)加“雙面理想”.3)拘束函數(shù)一般用Z或Zω,很少用字母C.

3.7Mach對Gauss原理的批判

Mach在其名著《力學(xué)及其發(fā)展的批判歷史概論》(1883)[8]中專門有一節(jié)“最小約束原理”(中文譯本P421～P436)有9小節(jié).

第1小節(jié)指出“高斯評論,沒有本質(zhì)上新穎的原理現(xiàn)在能夠在力學(xué)中確立；但是,這并非排除新觀點的發(fā)現(xiàn),從這些觀點可以富有成效地凝視力學(xué)現(xiàn)象.高斯原理提供了這樣的觀點.”

第2小節(jié)指出“該原理包括靜力學(xué)和動力學(xué)二者的實例.”

第3小節(jié)指出“新原理等價于達朗的原理.”

第4小節(jié)指出“實際運動總是這樣的：

∑ms2(1)或∑ps(2)或∑mδ2(3)是最小值.”

第5、6、7小節(jié)給出一些簡單例子說明高斯原理.

第8節(jié)指出“高斯原理沒有提供實質(zhì)上新的洞察或察覺”.“該原理僅僅在形式上而不是在內(nèi)容上是新的.”

第9小節(jié)指出“我們不能接受他(Scheffler)本人提出的東西作為新原理,因為在形式和含義兩方面它都等價于達朗伯-拉格朗日.”

[注]中文譯本“最小約束原理”一般譯為“最小拘束原理”,即Gauss原理.Mach的批判肯定了Gauss原理提供了新觀點,但認為形式上是新的,內(nèi)容上不是新的.Mach是用簡單例子來得出這個結(jié)論的,當然,在Mach時代是可以理解的.今天看來,這個論斷有點兒過頭.

3.8Gauss原理的高階發(fā)展

Mangeron-Deleanu原理為[9-11]

(10)

當m=0時為d′Alembert-Lagrange原理,當m=1時為Jourdain原理；當m=2時為Gauss原理.

原理的廣義坐標表達有

Euler-Lagrange形式

(11)

Nielsen形式

(12)

Appell形式

(13)

Tzénoff形式

(14)

(15)

Dolaptchiew形式

(16)

陳立群形式[12]

(17)

其中x≥2,z≥1為整數(shù),實數(shù)η,θ,α,β,γ和非負整數(shù)u,v,ω滿足

-η+α+β+γ=1

η+θ+αu+βv+γω=1

(18)

若取

η=θ=β=0

(19)

則它成為Dolaptchiew形式.

[注] 以上各種表達中,當屬陳立群的最為一般,通過調(diào)節(jié)系數(shù)可以得到多種形式.

3.9Gauss原理的完備性

由Gauss原理可導(dǎo)出Jourdain原理和d′Alembert-Lagrange原理.由Gauss原理可建立完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)的動力學(xué)方程.Gauss原理在處理理想的一階約束系統(tǒng)是完備的,不再需要附加其他的原理性假定了[13].

[注]“理想”前應(yīng)加“雙面”.

3.10Gauss原理的應(yīng)用

1)在機器人動力學(xué)中的應(yīng)用

正如Euler指出的,解決力學(xué)問題有兩種方法：一種方法是根據(jù)平衡或運動規(guī)律的直接方法；另一種方法是運用極大值或極小值的公式,通過求極大值或極小值的方法求出這些公式的解.描述構(gòu)件之間具有各種約束的機器人非常復(fù)雜的空間機構(gòu)時,確定閉式的動力學(xué)方程有不少困難.但建立相應(yīng)的極值問題并不困難,這種極值問題作為很一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題.如果寫成泛函,通過選取所有未知量使之取極小值,并確定對這些未知量所加的全部約束,那么就每一具體情況用數(shù)字計算機求這種極值問題的數(shù)值解,要比尋求解的解析式容易得多[14].文獻[14]就用Gauss原理解機器人動力學(xué)問題.

2)在建立非線性振動方程近似解的應(yīng)用[15]

[注] Gauss原理的進一步應(yīng)用值得開展研究.

3.11Gauss原理與Chetaev條件

非線性非完整約束

(19)

加在虛位移δqs上的條件為

(20)

這就是Chetaev條件.將約束方程對t求導(dǎo),并取Gauss變分,則有

(21)

Chetaev指出,“…對非線性約束引出可能位移的概念,使得同時保持d′Alembert原理和Gauss原理…”[16]“考慮到Appell條件對相應(yīng)結(jié)果的應(yīng)有貢獻,Novoselov稱這些條件為Appell-Chetaev條件…”[17]“注意到,Hamel1938年的文章[18],用這樣的觀點研究了這一問題.”[17]因此,這條件也叫Chetaev-Hamel條件.考慮到與Gauss原理的關(guān)聯(lián),這條件也叫Gauss-Appell-Chetaev條件[13].Papastavridis稱其為Maure-Appell-Chetaev-Hamel條件[17,19].

[注] 1)Chetaev條件實際上是想讓a′Alembert-lagrange原理可以適用于一階非線性非完整約束系統(tǒng)而引出的條件,因此,要求a′Alembert-lagrange原理與Gauss原理同時保持.

2)Chetaev條件有多種稱謂,我們以為稱Gauss-Appell-Chetaev-Hamel為好.

3.12 Gauss原理的疑點

呂茂烈先生2012年在“動力學(xué)與控制學(xué)報”上發(fā)表論文“經(jīng)典力學(xué)的一個新基本原理及其幾個重要應(yīng)用.”[20]文章指出,Gauss原理的理論性疑點有：

1)在拘束函數(shù)中“未顯示出約束力,因而不能說明約束的物理性質(zhì),有無摩擦力都一樣….而原理的結(jié)論卻被表達為只適用于無摩擦的情形.”

2)Gauss將“偏離”比擬人為“誤差”,從而借助他的誤差理論來找出偏離的最小值.這個比擬是否成立,也成為疑點.

在這篇文章中呂茂烈先生提出零原理,指出Newton第二定律,d′Alembert原理,Gauss原理都是其特殊情形.

[注]呂茂烈先生的文章值得重視.

4　結(jié)論

(1) 本札記給出了Gauss原理的起源與發(fā)展的一些史料,并在各處[注]中給出點評.

(2) Gauss在他的“關(guān)于力學(xué)的一個新的一般原理”(1829)中并沒有給出拘束函數(shù)的解析表達式.這個解析表達式是Scheffler 29年后的1858年給出的.因此,Gauss原理也叫Gauss-Scheffler原理.

(3) 在微分變分原理中,只有Gauss原理具有極值性質(zhì),d′Alembert-lagrange原理和Jourdain原理都沒有極值性質(zhì).

(4) Appell方程和Chetaev條件都與Gauss原理密切相關(guān).

1Gauss C F. über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik.Crette′sJournalfürdiereineMath, 1829,4:233

2Моисеев НД. Очерки Развития Механики. Москва: Иэд Московского Ун-та, 1961

3Appell P. Traité de Mécanique Ratiormelle. TⅡ. Sixiéme éd, Paris: Gauthier-Villars, 1953

4H·H·蒲赫哥爾茨. 理論力學(xué)基本教程,下冊. 錢尚武, 錢敏 譯. 北京:北京高等教育出版社, 1957 (Bukhgolts H H. Theoretical mechanics basic course, Qian S W, Qian M. Beijing: Higher education press, 1957 (in Chinese))

5中國大百科全書編輯部. 中國大百科全書·力學(xué). 北京:中國大百科全書出版社, 1985 (China encyclopedia editorial office. Encyclopedia of China · Mechanics. Beijing: China Encyclopedia Press, 1985 (in Chinese))

6中國力學(xué)學(xué)會. 中國力學(xué)學(xué)科史. 北京: 中國科學(xué)技術(shù)出版社, 2012 (Mechanics society of China. Discipline historyof china mechanics. Beijing: China Science and Technology Press, 2012 (in Chinese))

7力學(xué)詞典編輯部. 力學(xué)詞典. 北京: 中國大百科全書出版社, 1990 (Mechanics dictionary editorial office. Mechanics dictionary. Beijing: China Encyclopedia Press, 1990 (in Chinese))

8恩斯特·馬赫. 力學(xué)及其發(fā)展的批判歷史概論. 李醒民 譯. 北京: 商務(wù)印書館, 2014 (Ernst Mach. An critical historical introduction to mechanics and its development. Li X M. Beijing: The Commercial Press, 2014 (in Chinese))

9Mangeron D, Deleanu S. Sur une classe d′équations de la mécaniqne analytique au sens de I Tzénoff. C R Acad Bulgare des Sciences 1962,15(1):9～12

10Добронравов ВВ. Основы Механики Неголономных Систем. Москва: Высчая Школа, 1976

11梅鳳翔,劉端,羅勇. 高等分析力學(xué). 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 1991 (Mei F X, Liu D, Luo R. Advanced analytical mechanics. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 1991 (in Chinese))

12陳立群. 萬有D′Alembert原理的統(tǒng)一形式. 力學(xué)與實踐, 1991,13(1):61～63 (Chen L Q. The unity form of all D′Alembert principle.MechanicsinEngineering, 1991,13(1):61～63 (in Chinese))

13陳濱. 分析動力學(xué),第二版. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2012 (Chen B. Analytical dynamics, the second edition. Beijing: Peking University Press, 2012 (in Chinese))

14В.П.波談夫. 操作機器人動力學(xué)與算法. 遇立基, 陳循介譯. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1983 (Волна В П. Operating robot dynamics and algorithm. Yu L J, Chen X J. Beijing: Mechanical Industry Press, 1983 (in Chinese))

15Юшков МП. Построение Приближсенных Решений Уравнений Нелинейных Колебаний На Основе Принципа Гаусса. Вестн Ленангр. Ун-та, 1984, 13:121～12316Четлев НГ. Опринципе Гаусса. Изд Физ-Мат. Общеетва При Казанеком Унте, 1932-1933,6(3):68～71

17Зегжда СА, Соитаханов Ш.Х, Юшков МП. Уравнения Движения Неголономных Систем иВариационные Принципы Мехкики. Новый Класе Задач Управления. Москва: Физматлит, 2005

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19Papastravridis J. Time-integral variational principles for nonlinear nonholonomic systems.ASME,JournalofAppliedMechanics, 1997,64(4):985～991

20呂茂烈. 經(jīng)典力學(xué)的一個新基本原理及其幾個重要應(yīng)用. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2012,10(2):107～116 (Lü M L. A new fundamental principle of classical mechanics with some important applications.JournalofDynamicsandControl, 2012,10(2):107～116 (in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (10932002, 11272050, 11372169)

? Corresponding author E-mail: hnynmnl@163.com

12 July 2015,revised 26 September 2015.

ON THE GAUSS PRINCIPLE*

Mei Fengxiang1Li Yanmin2?Wu Huibin3

(1.SchoolofAerospaceEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)(2.DepartmentofPhysicsandInformationEngineering,ShangqiuNormalUniversity,Shangqiu476000,China)(3.SchoolofMathematics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

The Gauss Principle is one of the differential variational principles in analytical mechanics. The Gauss principle is simple and convenient in theory, and has its advantage in application. It can be used for holonomic and nonholonomic systems with ideal bilateral constraints. Some of the relevant historical data are provided for the form and the development of the principle in this paper. Moreover, the authors′ proposition is given.

analytical mechanics,Gauss Principle,historical data

E-mail: hnynmnl@163.com

10.6052/1672-6553-2016-08

2015-07-12收到第1稿,2015-09-26收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目(10932002, 11272050, 11372169)