基于主成分分析法的股指期貨期限結(jié)構(gòu)研究

王　麗,王溪若,張　嫄,黃杰敏深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院財經(jīng)學(xué)院

基于主成分分析法的股指期貨期限結(jié)構(gòu)研究

王麗,王溪若,張嫄,黃杰敏
深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院財經(jīng)學(xué)院

一、引言

隨著我國期貨市場的快速發(fā)展，滬深300股指期貨已經(jīng)成為投資者熱衷的投資品種和避險工具。但是股指期貨價格經(jīng)常發(fā)生短時劇烈波動，而且不同到期期限的期貨價格，不論在變化方向上，還是在變化幅度上都存在較大差異。因此，分析不同到期期限的期貨價格變動規(guī)律，已經(jīng)成為股指期貨領(lǐng)域亟待研究和解決的熱點問題。

期貨價格的期限結(jié)構(gòu)是指不同到期期限的期貨價格與現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系［1］。不同期限的期貨價格可能由相同或者密切相關(guān)的驅(qū)動因素影響，主成分分析法可以將影響期限結(jié)構(gòu)變化的眾多的相同和相關(guān)的變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)正交、不相關(guān)的變量，通過考察這些變量的特征，可以揭示期限結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律。所以，主成分分析方法常常應(yīng)用到利率期限結(jié)構(gòu)和商品期貨價格期限結(jié)構(gòu)研究中。

Litterman和Scheinkman（1991）首次采用主成分分析法研究利率期限結(jié)構(gòu)，研究結(jié)果表明，要想充分解釋利率的變化，至少需要三個因子，他們將這三個銀子分別稱為水平因素、斜率因素和曲率因素［2］。受到Litterman和Scheinkman的啟發(fā)，Cortazar和Schwartz （1994）利用主成分分析法研究了1978年到1990年期間期銅價格期限結(jié)構(gòu)問題［3］。Forzani和Tolmasky（2003）指出Litterman和Scheinkman（1991）采用主成分分析法分析債券收益曲線，得到三個因素為水平、斜率和曲率因素，這與Cortazar和Schwartz（1994）在分析商品期貨時，得到的結(jié)論類似［4］。Forzani和Tolmasky（2003）還指出主成分分析法是以相關(guān)系數(shù)矩陣為基礎(chǔ)，由于利率和期貨具有相似的相關(guān)系數(shù)結(jié)構(gòu)，因此主成分分析得到類似結(jié)論。Chantziara 和Skiadopoulos（2008）分別使用單獨(dú)主成分分析法和聯(lián)合主成分分析法研究1993到2006年的燃料油、無鉛汽油和布倫特原油的期限結(jié)構(gòu)，研究結(jié)果表明，能源期限結(jié)構(gòu)變動可以用相似產(chǎn)品的期限結(jié)構(gòu)變動來解釋［5］。

在國外研究基礎(chǔ)上，我國學(xué)者也采用主成分分析法研究國內(nèi)利率和期貨的期限結(jié)構(gòu)，得到了與國外研究類似的結(jié)論。例如，唐革榕和朱峰（2003）運(yùn)用主成分分析方法分析我國國債收益率曲線（即利率曲線）變動的影響因素，實證結(jié)果表明水平、傾斜和曲率這三個因素可以較好地解釋國債收益率曲線的復(fù)雜變化，這說明使用三因子利率動態(tài)模型基本上能刻畫國債收益率變動的主要特征［6］。何志剛，劉迪（2011）和程趙宏（2012）基于主成分分析法探討我國多種商品期貨價格期限結(jié)構(gòu)，他們的研究結(jié)果表明我國商品期貨價格期限結(jié)構(gòu)變動的3個主要特征：曲線的平移、斜率的變化以及曲率的變化，并在此基礎(chǔ)上提出了多頭、多頭或者空頭、多空平衡3種交易策略［7-8］。

由于我國股指期貨市場起步較晚，2010年才推出滬深300股指期貨，國內(nèi)學(xué)者對股指期貨期限結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究較為缺乏，因此本文采用主成分分析法研究影響股指價格期限結(jié)構(gòu)變動的主要因素，這將有助于分析股指期貨期限結(jié)構(gòu)，規(guī)避期貨投資風(fēng)險。

二、主成分分析法

主成分分析（Principal Component Analysis）方法就是研究如何通過原始變量的少數(shù)幾個線性組合來解釋原始變量的絕大部分信息，該方法是由Hotelling［9］于1933年首次提出的。主成分分析法采用正交變換，把原來的一組相關(guān)的變量轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，并且，這些新的變量按照方差遞減的順序依次排列，即第一個新變量解釋的方差最大，包含原始變量的信息也最多，我們稱為第一主成分，第二個新變量所解釋的方差小于第一個新變量，我們稱為第二主成分，依次類推，最后一個新變量解釋的方差最小，并且所有新的變量彼此都不相關(guān)。

設(shè)一組變量中有m個原始變量，分別用表示x1，x2，…，xm表示，考慮到不同變量的量綱不同，為便于計算，把這m個原始變量標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化后m個變量都變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1的變量。將標(biāo)準(zhǔn)化變量用主成分的線性組合表示為：

式中，uij--是第j個主成分因子yj在第i個變量xi上的負(fù)荷。

用矩陣表示為

設(shè)X的協(xié)方差矩陣為M，該矩陣的第i個特征值λi（按從大到小排序）及其特征向量即為第i個主成分yi的特征值和特征向量，yi的方差貢獻(xiàn)率定義為

提取的k（k＜m）個主成分的累積方差貢獻(xiàn)率為

原則上，如果原來有m個變量，則最多可以提取m個主成分，這些主成分反映了原有變量的所有信息，但是主成分分析的主要目的是用較少的綜合變量來反應(yīng)原有變量的較多信息，若前k（k＜m）個主成分的累積貢獻(xiàn)率（即累積方差）已超過某個特定值，則說明前k個主成分已能反映原有m個變量的大多數(shù)信息。這里，主成分分析中的信息是指標(biāo)的變異性，用標(biāo)準(zhǔn)差或方差表示［10］。主成分按照其解釋能力的大小排序，每個主成分對期限結(jié)構(gòu)變動解釋能力即為方差貢獻(xiàn)率，前k個主成分的累積解釋能力即為累積方差貢獻(xiàn)率［11］。

三、數(shù)據(jù)選取

按照《中國金融期貨交易所結(jié)算細(xì)則》規(guī)定，滬深300股指期貨合約盈虧的計算依據(jù)是當(dāng)日的結(jié)算價，因此本文選用每日結(jié)算價作為研究樣本。我國滬深300股指期貨于2010年4月16日正式推出，考慮到第一年交易數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，予以剔除。本文的觀測樣本區(qū)間為2011年1月4日至2015年12月31日，五年共有1214個觀測值。樣本數(shù)據(jù)為滬深300股指期貨當(dāng)月連續(xù)（IF00）、下月連續(xù)（IF01）、當(dāng)季連續(xù)（IF02）和隔季連續(xù)（IF03）四個合約的每日結(jié)算價，這些數(shù)據(jù)都來自于同花順數(shù)據(jù)庫，數(shù)據(jù)分析采用Eviews8.0和SPSS22.0統(tǒng)計軟件。

表1　2011年-2015年股指期貨結(jié)算價對數(shù)值的描述性統(tǒng)計結(jié)果

從表1可見，2011年1月4日至2015年12月31日的滬深300股指期貨日結(jié)算價對數(shù)的描述性統(tǒng)計量。其中，均值統(tǒng)計量顯示，整體上近月合約價格對數(shù)小于遠(yuǎn)月合約價格對數(shù)，接近正向市場；標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計量顯示，股指期貨價格時間序列的波動率隨著到期期限的增加而減少，這表明期貨投資主要集中在近月合約，同時也說明股指期貨價格存在均值回復(fù)；偏度、峰度、JB統(tǒng)計量及其概率值顯示，股指期貨價格時間序列不服從正態(tài)分布。

四、主成分分析結(jié)果

唐革榕（2006）指出主成分分析法是建立在樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分解基礎(chǔ)上的，在應(yīng)用時要注意基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的適用問題，因為時間序列非平穩(wěn)性將影響主成分分析結(jié)論的效率。主成分分析的假設(shè)基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)是來自相互獨(dú)立的、隨機(jī)的、多元分布的樣本，而同一品種的期貨價格序列通常是高度自相關(guān)的，這與主成分分析法的假設(shè)背離較大。但是，使用期貨價格一階差分序列（即期貨價格對數(shù)的改變量，即收益率）可以減少期貨序列本身的自相關(guān)程度和不同到期期限的期貨價格的相關(guān)程度［12］。因此，本文采用ADF單位根檢驗方法分別對Ln（IF00）到Ln（IF03）的時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。

從表2的第五列和第六列數(shù)據(jù)可知，股指期貨對數(shù)序列的ADF統(tǒng)計量值都大于三種置信水平的臨界值，故不能拒絕原假設(shè)，序列存在單位根，這說明股指期貨是非平穩(wěn)的，因此不能用主成分分析法進(jìn)行分析。通常情況下，金融時間序列的一階差分?jǐn)?shù)據(jù)是平穩(wěn)的，故進(jìn)行一階差分，再進(jìn)行單位根檢驗。從表2的第七列和第八列數(shù)據(jù)可知，股指期貨對數(shù)一階差分序列的ADF統(tǒng)計量值都小于三種置信水平的臨界值，所以在99%的置信度下拒絕存在單位根的原假設(shè)，即認(rèn)為序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。因此，本文采用一階差分序列（期貨價格對數(shù)的改變量，即收益率）進(jìn)行主成分分析是可行的。

表2　股指期貨的ADF檢驗結(jié)果

接下來，本文對滬深300股指期貨收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析。

表3　主成分分析結(jié)果

表3顯示，前三個成分（成分1、成分2和成分3）對股指期貨收益率曲線的方差貢獻(xiàn)率分別達(dá)到了98.4390%、1.1670%和0.2800%，對總體方差累積貢獻(xiàn)率達(dá)到了99.8850%。因此，前三個成分已反應(yīng)了股指期貨期限結(jié)構(gòu)曲線的絕大多數(shù)變動特征。

圖1　主要特征向量圖

圖1顯示，滬深300股指期貨即收益率序列的協(xié)方差矩陣中三個主要特征向量與到期期限之間的關(guān)系。第一個特征向量在0.98-1之間變動，呈現(xiàn)水平運(yùn)動的特征，所以稱為水平因素。該因素對不同期限收益率的影響方向和力度大致相同，它驅(qū)動了股指期貨收益率曲線整體的平行移動，收益率曲線對水平因素的變動與到期期限的長短無關(guān)，這是水平因素的重要特性。水平因素的解釋能力在98%以上，這說明水平移動對期貨價格期限結(jié)構(gòu)曲線的變動起到?jīng)Q定作用，不同到期期限的期貨均受到該因素的顯著影響。這是因為無論近月合約還是遠(yuǎn)月合約均主要受到長期事件的影響。

第二個特征向量體現(xiàn)了斜率因素的作用，它對到期期限較短的期貨產(chǎn)生正向影響，而對到期期限較長的期貨產(chǎn)生負(fù)向影響，即對近月合約與遠(yuǎn)月合約的影響相反，正是由于這種反向影響改變了期限結(jié)構(gòu)曲線的傾斜程度。當(dāng)期限結(jié)構(gòu)曲線將會發(fā)生傾斜時，期貨市場預(yù)期近月合約與遠(yuǎn)月合約變動方向不一致。斜率因素在期限結(jié)構(gòu)曲線變動中的解釋能力為1.167%。

第三個特征向量起到曲率因素作用，它對到期期限較短和較長的期貨構(gòu)成正向沖擊，而對到期期限居中的期貨構(gòu)成負(fù)向沖擊。當(dāng)期貨市場的波動率預(yù)期發(fā)生改變，期貨價格的風(fēng)險溢價發(fā)生變動，或者特定期限的期貨供求關(guān)系出現(xiàn)短時失衡，這些情況將導(dǎo)致期限結(jié)構(gòu)曲線的曲率移動，曲率因素的影響僅為0.28%。

從上述分析可以看出，第一個主成分解釋能力（即反映的方差）相對較高，起到?jīng)Q定性作用，但第二個和第三個主成分的解釋能力相對較小。其它成分對期貨價格對數(shù)曲線的影響更加復(fù)雜，影響力度更小，加起來不到0.2%。通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，實際上，某一時刻的股指期貨期限結(jié)構(gòu)曲線變化是相互獨(dú)立的不同曲線運(yùn)動方式的組合。

五、結(jié)論

本章以滬深300股指期貨期限結(jié)構(gòu)為研究對象，采用主成分分析法探討股指期貨收益率期限的變動特征。研究結(jié)果表明，股指期貨期限結(jié)構(gòu)可以用三個變量來表示。這些變量對股指期貨期限結(jié)構(gòu)曲線的變動具有較好地解釋能力，前三個因素的解釋能力基本在99%以上。在期限結(jié)構(gòu)曲線的變動中，這三個因素分別起到水平、斜率和曲率因素的作用。

［1］D.Lautier.Term Structure Models of Commodity Prices:A Re? view［J］.The Journal of Alternative Investments，2005，8（1）:42-64.

［2］R.Litterman，J.Scheinkman.Common Factors Affecting Bond Returns［J］.Journal of Fixed Income，1991，1（1）:54-61.

［3］G.Cortazar，E.S.Schwartz.The Valuation of Commodity Con?tingent Claims［J］.Journal of Derivatives，1994，1（4）:27-39.

［4］L.Forzani，C.Tolmasky.A Family of Models Explaining the Level-Slope-Curvature Effect［J］.International Journal of Theoretical and Applied Finance，2003，6（3）:239-255.

［5］T.Chantziara，G.Skiadopoulos.Can the Dynamics of the Term Structure of Petroleum Futures be Forecasted？Evidence from Major Markets［J］.Energy Economics，2008，30:962-985.

［6］唐革榕，朱峰.我國國債收益率曲線變動模式及組合投資策略研究［J］.金融研究，2003，11:64-72.

［7］何志剛，劉迪.商品期貨價格期限結(jié)構(gòu)隱含交易策略信息的實證研究［J］.證券市場導(dǎo)報，2012，6:52-58.

［8］程趙宏.期貨價格期限結(jié)構(gòu)隱含信息及其應(yīng)用研究［D］.浙江工商大學(xué)碩士學(xué)位論文，2012.

［9］H.Hotelling.Analysis of a Complex of Statistical Variables in?to Principal Components［J］.Journal of Educational Psychology，1933，24（6）:417-441.

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［11］宇傳華.SPSS與統(tǒng)計分析［M］.電子工業(yè)出版社.2007: 491-574.

［12］唐革榕.我國利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)擬合實證研究［D］.廈門大學(xué)博士學(xué)位論文.2006.

Study on Term Structure of Stock Index Futures Based on Principal Component Analysis

Wang Li,Wang Xiruo,Zhang Yuan,Huang Jiemin
Institute of Finance and Economics,Shenzhen Institute of Inform ation Technology

本文以滬深300股指期貨為研究對象，采用主成分分析法研究股指期貨的期限結(jié)構(gòu)。實證結(jié)果顯示股指期貨期限結(jié)構(gòu)變動可由三個變量表示，這些變量分別體現(xiàn)為曲線的平移、斜率的變化以及曲率的變化。

主成分；期限結(jié)構(gòu)；股指期貨

Taking the term structure of Shanghai-Shenzhen 300 index futures as study objects，this paper makes the principal factor analysis on the term structure of stock index futures.The results show that the term structure of stock index futures can be expressed by three variables，while these variables are associated w ith parallel shift of the curve，changes in the slope of the curve and change of the curvature respectively.

Principal component analysis；term structure；stock index futures

王麗（1979-），女，遼寧沈陽人，深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，講師，管理學(xué)博士后，研究方向：期貨定價。