轉(zhuǎn)動(dòng)物體的動(dòng)能和“溜溜球”的機(jī)械能守恒

王岱川

(電子科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)　四川 成都　611730)

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轉(zhuǎn)動(dòng)物體的動(dòng)能和“溜溜球”的機(jī)械能守恒

王岱川

(電子科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)四川 成都611730)

借助轉(zhuǎn)動(dòng)物體的力學(xué)知識(shí)，對(duì)溜溜球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了分析和解釋?zhuān)C明其滿足機(jī)械能守恒，且與圓盤(pán)沿斜坡滾動(dòng)的過(guò)程具有相似性．

溜溜球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律機(jī)械能守恒斜坡滾動(dòng)

1　溜溜球的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)

“溜溜球”是一種非常受中小學(xué)學(xué)生喜愛(ài)的玩具，有幾十種玩法，比如：遛狗、睡眠、前拋、逃脫、搖籃、爬行者、升降機(jī)、衛(wèi)星回收等等，這些豐富多彩的玩法中包含了中學(xué)所學(xué)的許多物理知識(shí)．常見(jiàn)的溜溜球有兩種類(lèi)型，第一種類(lèi)型比較簡(jiǎn)單，其結(jié)構(gòu)如圖1所示[1]，圖2是溜溜球的剖面圖.圖1的左右兩側(cè)是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的圓盤(pán)，半徑為R，圓盤(pán)通過(guò)轉(zhuǎn)軸固定連接，轉(zhuǎn)軸半徑r?R，兩個(gè)圓盤(pán)和固定連接的轉(zhuǎn)軸構(gòu)成了溜溜球的主體A，轉(zhuǎn)軸上纏繞細(xì)繩C，細(xì)繩的一端固定在轉(zhuǎn)軸上．

圖1　溜溜球的結(jié)構(gòu)　　　圖2　下行時(shí)的受力分析

下面分析最基本的“下行上爬”運(yùn)動(dòng)[2]．游戲者將細(xì)繩的另一端套在手指上，從高處釋放溜溜球，溜溜球在重力和細(xì)繩拉力作用下勻加速下行，受力分析如圖2所示(忽略空氣阻力和摩擦力)．由于細(xì)繩的約束，下行運(yùn)動(dòng)與細(xì)繩展開(kāi)的速度相同，同時(shí)溜溜球沿軸心勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)細(xì)繩全部伸展時(shí)，溜溜球的轉(zhuǎn)動(dòng)速度和下行速度達(dá)到最大，并突然“轉(zhuǎn)向”，開(kāi)始上爬，當(dāng)爬到最高點(diǎn)時(shí)，又重新開(kāi)始下行，但轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反．之后溜溜球會(huì)自動(dòng)下行上爬，由于阻力和摩擦力的阻礙，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后逐漸停下來(lái)，如果每次“轉(zhuǎn)向”時(shí)，輕往上提，補(bǔ)充損失的能量，則可反復(fù)“下行上爬”．

第二種溜溜球在圖1的轉(zhuǎn)軸上套上空軸B，轉(zhuǎn)軸與空軸B之間通過(guò)軸承光滑連接，細(xì)繩空套在B上而不固定連接，但在纏繞時(shí)須一層一層用力纏緊．這種溜溜球阻力較小，轉(zhuǎn)動(dòng)速度更快，在下行結(jié)束時(shí)，并不立即上升，而是在底部持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種玩法稱(chēng)為“睡眠”．當(dāng)手指輕輕上抖，觸發(fā)溜溜球迅速上爬，稱(chēng)為“喚醒”．如果下落時(shí)用力往下甩，轉(zhuǎn)動(dòng)速度和持續(xù)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間會(huì)明顯增加，如果在“睡眠”時(shí)接觸地面，溜溜球?qū)⒀氐孛鏉L動(dòng)，游戲者收放細(xì)繩，則可完成“遛狗”“爬行”等玩法．

下面首先討論轉(zhuǎn)動(dòng)物體的動(dòng)能，然后帶著上述問(wèn)題分析溜溜球的運(yùn)動(dòng)，最后，與斜坡上圓盤(pán)的滾動(dòng)過(guò)程對(duì)比．

2　均勻圓環(huán)和均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

(1)

由于圓環(huán)質(zhì)量

m=2πrδρdr

(2)

圖3　均勻圓環(huán)的動(dòng)能

均勻圓盤(pán)可看作無(wú)數(shù)圓環(huán)構(gòu)成，圓環(huán)寬度為dr，所有圓環(huán)具有同樣的轉(zhuǎn)動(dòng)速度ω，設(shè)圓盤(pán)半徑為R，圓盤(pán)質(zhì)量為m=πR2δρ，則其動(dòng)能為式(1)在[0，R]區(qū)間的積分，即

(3)

3　溜溜球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析和機(jī)械能守恒

下面分析第一種結(jié)構(gòu)的溜溜球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，設(shè)圖2中溜溜球圓盤(pán)的半徑為R，轉(zhuǎn)軸的半徑為r，總的質(zhì)量為m．下行過(guò)程中溜溜球的質(zhì)心加速度為aC，轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為αr，細(xì)繩長(zhǎng)度為h，由靜止開(kāi)始釋放，線速度為v，角速度為ω，由于轉(zhuǎn)軸和兩個(gè)圓盤(pán)固定連接，角速度相同，可按式(3)計(jì)算溜溜球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．由圖2有

maC=mg-F

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

此時(shí)，溜溜球的動(dòng)能包含向下的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，代入式(7)和式(8)得到

溜溜球?yàn)槭裁茨茏詣?dòng)上爬呢？細(xì)繩完全展開(kāi)后，向下運(yùn)動(dòng)的慣性拉伸細(xì)繩，平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為細(xì)繩的彈性勢(shì)能，至最大形變后平動(dòng)速度降為零，細(xì)繩的彈性恢復(fù)使溜溜球向上加速，對(duì)理想的彈性體，細(xì)繩的彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為向上的平動(dòng)動(dòng)能，轉(zhuǎn)化結(jié)束的瞬時(shí)速度大小與細(xì)繩完全展開(kāi)瞬間相同．但由于細(xì)繩不是理想的彈性體，轉(zhuǎn)向后動(dòng)能會(huì)有損失，這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程在短時(shí)間內(nèi)完成，游戲者的手指能感覺(jué)到短暫的抖動(dòng)．另一方面，細(xì)繩完全展開(kāi)后由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，溜溜球繼續(xù)沿原有方向轉(zhuǎn)動(dòng)，并將細(xì)繩反向纏繞在轉(zhuǎn)軸上，實(shí)現(xiàn)快速“轉(zhuǎn)向”，開(kāi)始“上爬”運(yùn)動(dòng)．轉(zhuǎn)化后的動(dòng)能促使溜溜球“上爬”，由于轉(zhuǎn)化過(guò)程中的動(dòng)能損失和阻尼作用，爬升的高度不能達(dá)到初始位置．上升到最高點(diǎn)后重復(fù)下行過(guò)程，此時(shí)細(xì)繩在轉(zhuǎn)軸上的纏繞方向改變，轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與上一次下行的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，游戲者可觀察到最高點(diǎn)時(shí)，溜溜球轉(zhuǎn)動(dòng)逐漸停止，朝相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象．這樣，溜溜球重復(fù)“下行-轉(zhuǎn)向-上爬”的過(guò)程．若每次轉(zhuǎn)向的時(shí)候，手指上提溜溜球，補(bǔ)充損失的動(dòng)能，則可保持在相近的高度上下運(yùn)行，完成持續(xù)的“下行上爬”的玩法．

“睡眠”和“喚醒”則體現(xiàn)了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的相互轉(zhuǎn)化．在第二代溜溜球結(jié)構(gòu)中，空軸B的質(zhì)量和動(dòng)能遠(yuǎn)低于A，B在下行過(guò)程中受纏緊的細(xì)繩的約束，但細(xì)繩末端是空套在B上的，而A通過(guò)軸承與B連接．達(dá)到底部后，平動(dòng)動(dòng)能也轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，B在細(xì)繩末端的套結(jié)中轉(zhuǎn)動(dòng)，A在B中轉(zhuǎn)動(dòng)，軸承均勻光滑，A的轉(zhuǎn)動(dòng)速度高于B，轉(zhuǎn)動(dòng)中的摩擦阻力小于B，當(dāng)B停止轉(zhuǎn)動(dòng)后A還能持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)較長(zhǎng)時(shí)間，溜溜球處于“睡眠”狀態(tài)．在“睡眠”中，手指向上輕輕抖動(dòng)，產(chǎn)生向上的初速度，溜溜球?qū)⒀杆傧蛏匣厥?，這個(gè)“喚醒”過(guò)程觸發(fā)了轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能向平動(dòng)動(dòng)能的轉(zhuǎn)化．而溜溜球的前拋、遛狗、爬行、猴子上樹(shù)等玩法中，有更多平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)化的現(xiàn)象．

4　斜坡滾動(dòng)圓盤(pán)與溜溜球運(yùn)動(dòng)的相似性

從角度為θ的斜坡頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放均勻圓盤(pán)，圓盤(pán)沿斜面向下滾動(dòng)，圓盤(pán)半徑為r，質(zhì)量為m，斜坡高度為h，如圖4所示．圓盤(pán)在滾動(dòng)的過(guò)程中受重力G，斜面支持力N和摩擦力f，滾動(dòng)速度為ω，圓盤(pán)質(zhì)心的線速度為vC，質(zhì)心的加速度為aC，圓盤(pán)角加速度為ar，則同樣有ω=vCr，由于轉(zhuǎn)動(dòng)方向的切向速度與質(zhì)心速度相反，所以aC=-rar．

圖4　圓盤(pán)沿斜坡滾動(dòng)示意圖及受力分析

重力沿y軸的分量與支持力平衡，沿x軸有

f-mgsinθ=maC

(9)

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律

(10)

(11)

其中負(fù)號(hào)表示加速度方向沿x軸負(fù)方向．比較式(10)、(11)和式(5)、(6)，當(dāng)θ=90°時(shí)，在數(shù)值上相等(忽略x軸方向設(shè)定)．

可見(jiàn)，圓盤(pán)的斜坡滾動(dòng)與溜溜球的下行運(yùn)動(dòng)非常相似，溜溜球在水平方向不受力，而斜坡運(yùn)動(dòng)在垂直與斜面方向平衡，導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩分別為細(xì)繩拉力和斜坡摩擦力，而受力分析、運(yùn)動(dòng)過(guò)程和運(yùn)動(dòng)參數(shù)則雷同．斜坡長(zhǎng)度

運(yùn)動(dòng)到斜坡底部的時(shí)間

速度

代入式(11)化簡(jiǎn)后得到總動(dòng)能為

可見(jiàn)斜坡滾動(dòng)圓盤(pán)的機(jī)械能也守恒．

5　結(jié)論

溜溜球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中包含了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，體現(xiàn)了平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．論文討論了溜溜球的結(jié)構(gòu)和常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)，從平動(dòng)物體的動(dòng)能導(dǎo)出了均勻圓環(huán)和圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，借助轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，證明了溜溜球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒．對(duì)斜坡滾動(dòng)圓盤(pán)的分析表明，溜溜球的下行運(yùn)動(dòng)與之相似，再次體現(xiàn)了兩種動(dòng)能和重力勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，以及轉(zhuǎn)化過(guò)程中的機(jī)械能守恒．

1鄭俊，肖發(fā)新. 溜溜球的力學(xué)原理. 物理教師，2005(2)：45

2楊全民.溜溜球的力學(xué)原理及運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析.連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001(2)：72～74

3漆安慎，杜嬋英. 普通物理學(xué)教程：力學(xué)(第三版).北京：高等教育出版社，2012. 170

2016-03-30)