主干知識:承上啟下,推陳出新
---由李庾南老師的一則教學(xué)案例說起

江蘇省如皋市外國語學(xué)?！●R亮

主干知識:承上啟下,推陳出新
---由李庾南老師的一則教學(xué)案例說起

在學(xué)生獲得的眾多數(shù)學(xué)知識中,有些知識是"終極"知識,對這類知識的學(xué)習(xí)到此為止,不再延續(xù),這類知識我們一般稱為邊緣知識;有些知識是"中間"知識,是為后續(xù)學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)的知識,這類知識我們稱之為主干知識.在初中階段,數(shù)學(xué)的主干知識具有極強(qiáng)的延續(xù)性,它們一般都是對應(yīng)版塊的核心知識,不僅對本學(xué)段學(xué)習(xí)的影響很大,而且還會影響下一學(xué)段的數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí).對這類知識的教學(xué),我們應(yīng)充分挖掘它們的自身價值,在獲取主干知識的過程中將后續(xù)知識"生長點(diǎn)"進(jìn)行"預(yù)埋";在新知教學(xué)中要用好已經(jīng)獲得的主干知識,讓新知附著于主干之上,持續(xù)"有理有據(jù)"地生成.著名特級教師李庾南老師多次以"主干知識"的教學(xué)應(yīng)用為例進(jìn)行了教學(xué)展示,取得非常好的教學(xué)效果,現(xiàn)結(jié)合其著作《自學(xué).議論.引導(dǎo)教學(xué)法》中的一則教學(xué)案例談?wù)劰P者對主干知識的認(rèn)識,不足之處敬請各位同行專家批評指正.

一、案例簡述

1.教學(xué)內(nèi)容

等腰三角形的性質(zhì)定理及推論.

2.過程簡述

教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧了"相等的線段"、"相等的角"、"全等三角形"的含義,然后讓學(xué)生按照圖1中的虛線自主折疊等腰三角形紙片ABC,找出其中能夠重合的線段、角和三角形,并將發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在全班交流.

圖1

圖2

圖3

通過折疊,學(xué)生非常直觀地感知到圖2中存在的結(jié)論:①AB、AC重合;②BC被分成了能重合的兩條線段;③∠BAC被分成兩個重合的角;④平角∠BDC被分成了兩個重合的直角;⑤△ABC被分成兩個完全重合的直角三角形.

在找到重合的線段、角和三角形后,教師引導(dǎo)學(xué)生將這些結(jié)論抽象為符號語言:①AB=AC;②BD=CD;③∠BAD=∠CAD;④∠BDA=∠CDA=90°;⑤△ABD≌△ACD.

接下來,教師請學(xué)生利用所學(xué)的知識證明這些結(jié)論,并給出完整的推理過程.根據(jù)軸對稱的知識,學(xué)生很快利用圖3給出了證明.至此,教師和學(xué)生一起概括出等腰三角形的性質(zhì)定理及推論.

3.簡要分析

在李老師設(shè)計的教學(xué)中,學(xué)生經(jīng)歷了"動手操作"、"發(fā)現(xiàn)結(jié)果"、"猜想結(jié)論"、"驗(yàn)證結(jié)論"、"抽象性質(zhì)"等多個活動.這些活動緊緊串在一起,活動銜接嚴(yán)絲合縫,前一個活動是后一個活動的基礎(chǔ),后一個活動是前一個活動的延續(xù).將這些活動整體串聯(lián)在一起的是本節(jié)課的主干知識---軸對稱的性質(zhì),這是每一個活動得以延續(xù)的"四基"保證.軸對稱帶來的圖形重合給了學(xué)生"相等或全等"的直觀感知,這是知識的鋪墊;能夠折疊使之重合,這是技能的保證;圖形的重合與符號下的相等或全等的轉(zhuǎn)化,是抽象思想的延續(xù);折疊對應(yīng)著重合,重合關(guān)聯(lián)著相等,相等指向了全等,這些都是學(xué)生在探究軸對稱性質(zhì)時積累下的活動經(jīng)驗(yàn).很顯然,為了讓軸對稱這一主干知識發(fā)揮其"承上啟下,推陳出新"的價值,李老師從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā),將教學(xué)的起點(diǎn)定位在舊知的延續(xù)應(yīng)用之上,將教學(xué)的終點(diǎn)定格在主干知識的充實(shí)與完善上,教學(xué)效果是顯著的.

二、主干知識的特點(diǎn)

主干知識,一般是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要而引入的,屬于學(xué)生"應(yīng)知,應(yīng)會,應(yīng)用"的知識.在人教版的六冊初中數(shù)學(xué)教材中,每冊都有著主干知識的分布.因此,在教學(xué)中,我們應(yīng)時刻關(guān)注這些主干知識,將其作為教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實(shí)施的核心.為讓我們更好地落實(shí)主干知識的教學(xué),我們先來分析一下這些知識的特點(diǎn).

1.主體性

主干知識是學(xué)生獲取新知和解決問題的重要工具,理應(yīng)成為教學(xué)的主體.雖然現(xiàn)行教材沒有將主干知識集中呈現(xiàn),零散的分布絲毫不影響它們的地位及作用,反而更加有利于單位教學(xué)時段內(nèi)集中"優(yōu)勢兵力"加以突破,凸顯其在教學(xué)中的主體地位.以上面案例中的"軸對稱的性質(zhì)"為例,在教材編排的這一階段,幾乎每一節(jié)課都會出現(xiàn)這一知識的身影.所以,在這一知識出現(xiàn)時,我們就應(yīng)將其置于課堂教學(xué)的最重要的時段呈現(xiàn)出來,通過核心探究活動的設(shè)計與實(shí)施,讓學(xué)生的注意力和學(xué)習(xí)力聚焦于這一知識.

2.發(fā)散性

發(fā)散性是主干知識的一個非常重要的特點(diǎn).主干知識在一個或多個條件之上一般會附著多個類別的結(jié)論,一些對后續(xù)學(xué)習(xí)與應(yīng)用影響很大的結(jié)論也隱藏其中.以軸對稱為例,我們通過對折產(chǎn)生了軸對稱圖形,在這個圖形中,不僅存在相等的線段、相等的角等結(jié)論,還有重合圖形的面積相等、周長相等結(jié)論,還有線的位置垂直(平行)等結(jié)論.如此眾多的結(jié)論,有些是邊緣結(jié)論,有些是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)必備的結(jié)論,為了讓學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與應(yīng)用可以進(jìn)行多種選擇,我們應(yīng)讓他們知曉這些結(jié)論,并學(xué)會在后續(xù)問題解決中"因需而取".

3.發(fā)展性

主干知識一般都是具有發(fā)展性的,是可以自然延續(xù)并適度拓展的.隨著學(xué)生知識的不斷疊加,技能的不斷提升,活動經(jīng)驗(yàn)的不斷積累,他們對主干知識的認(rèn)知也在不斷加深,一些主干知識的地位也會發(fā)生相應(yīng)的變化,呈現(xiàn)階段性主干的特點(diǎn).有些知識在初一是主干知識,到了初二有可能變?yōu)檫吘壷R,或者是被新的主干知識所兼容合并.以"線段的中點(diǎn)"為例,在初一上學(xué)期,它就是"圖形認(rèn)識初步"的主干知識,是學(xué)生用以解決這一單元問題的重要工具;而到了初二,隨著學(xué)生對"圖形與幾何"認(rèn)識的加深,這一知識被逐步兼并融合,其地位被其他主干知識所代替.

4.應(yīng)用性

主干知識是數(shù)學(xué)的核心知識,屬于數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的重要"分子".應(yīng)用性是這類知識最顯著的特點(diǎn).在學(xué)生新知學(xué)習(xí)和問題解決過程中,主干知識的身影幾乎無處不在,其所起到的作用是邊緣知識無法代替的.試想,如果沒有勾股定理,我們怎樣去探究直角三角形的性質(zhì);如果沒有有理數(shù)的運(yùn)算,我們?nèi)绾窝芯空降倪\(yùn)算和解方程;沒有一元一次方程,如何探究多元、高次方程……很明顯,主干知識正是因?yàn)閷W(xué)生獲得知識和問題解決的需要而產(chǎn)生的,反之,也正是這些知識所具有的這種應(yīng)用性,才使之成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中最為重要的主干知識.

三、教學(xué)啟示

1.提前規(guī)劃,以發(fā)散訓(xùn)練埋下教學(xué)伏筆

從上面的特點(diǎn)分析不難看出,主干知識一般都是學(xué)以致用的,這就決定了教師教這類知識時應(yīng)凸顯其應(yīng)用性,學(xué)生學(xué)這類知識也應(yīng)以應(yīng)用為目標(biāo).為了發(fā)揮主干知識的應(yīng)用價值,在教學(xué)設(shè)計與實(shí)施過程中,我們不僅要關(guān)注這些知識本身的教學(xué),還要重視教學(xué)的前后關(guān)聯(lián),確保后續(xù)學(xué)習(xí)中要用的知識必須學(xué)到,而且要學(xué)到位.這些知識的獲得,會為后續(xù)學(xué)習(xí)形成"生長點(diǎn)",埋下知識學(xué)習(xí)與應(yīng)用的伏筆.基于主干知識的發(fā)散性和發(fā)展性,我們可以通過師生、生生間的對話,將主干知識之上附著的結(jié)論盡可能多地有序呈現(xiàn)出來,并從中將與后續(xù)教學(xué)活動關(guān)聯(lián)最大的結(jié)論挑選出來,重點(diǎn)分析,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).這些重要而豐富的數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得,在學(xué)生問題解決時提供了多樣的選擇,他們會從這些"成團(tuán)"的結(jié)論中篩選出適用的結(jié)論應(yīng)用到問題解決過程之中,以實(shí)現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)目標(biāo).以本文案例中所說的主干知識為例,在教學(xué)"軸對稱"和"軸對稱圖形"時,我們完全可以讓學(xué)生自己作出一個普通四邊形關(guān)于某一直線的軸對稱圖形,然后讓他們盡可能多地陳述自己從圖形中獲得的結(jié)論,這樣一來,學(xué)生的思維就被打開了.作圖為他們獲得了直觀的感知,結(jié)論的陳述讓他們的思維插上了翅膀,不同的思維角度可能會產(chǎn)生多種不同的結(jié)果.在學(xué)生全盤呈現(xiàn)結(jié)果后,我們可以進(jìn)行對錯辨析,并從中挑選出最重要的也是后面學(xué)習(xí)及解題要用到的結(jié)論,將其在學(xué)生的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中"定格".如此一來,主干知識的主體地位得到了充分的保證,同時也為后面教學(xué)清除了"障礙".

2.精準(zhǔn)銜接,以有效對接凸顯主干價值

在教學(xué)設(shè)計時,我們應(yīng)該高度重視新舊知識銜接教學(xué)的設(shè)計.舊知在何時以怎樣的形象出現(xiàn),新知在哪個節(jié)點(diǎn)上以什么樣的姿態(tài)引入,都是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實(shí)施時應(yīng)關(guān)注的.巧妙的銜接是"無痕"的,讓學(xué)生的知識應(yīng)用與獲得十分的"愜意".這在主干知識的教學(xué)與應(yīng)用中顯得尤為重要,作為老師,我們知道主干知識的重要,但我們是不能用過多的言語告知學(xué)生"這個知識有多么的重要",更不能在教學(xué)過程中讓這些知識"強(qiáng)行切入",生搬硬套,讓學(xué)生"被迫"無奈地感覺新知的獲得"非他不行".事實(shí)上,有些知識的獲得不一定非要主干知識的參與,直觀的探究加上其他邊緣知識的參與同樣可以得到最后的結(jié)果.因此,我們常說的"設(shè)計有效的教學(xué)",應(yīng)將設(shè)計的重點(diǎn)放在知識的關(guān)聯(lián)之上,通過巧妙的符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、緊貼學(xué)生實(shí)際的問題設(shè)計,實(shí)現(xiàn)知識間的精準(zhǔn)對接,從而凸顯出主干知識的價值.看看上面案例中李老師給出的教學(xué)過程,我們不得不佩服:自主操作,喚醒的是舊知識和舊經(jīng)驗(yàn),在"懷舊"上做文章,從熟悉入手,學(xué)得輕松愉快;陳述重合,給出的是新體驗(yàn)和新發(fā)現(xiàn),在"對接"上動腦筋,從結(jié)果著眼,獲得自然順暢;抽象歸納,獲得的是新知識和新經(jīng)驗(yàn),在"出新"上下功夫,從抽象出發(fā),生成有意有效.

3.適時抽象,用新知生成展示應(yīng)用成果

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科,數(shù)學(xué)知識的獲得一般都應(yīng)經(jīng)歷抽象的過程,主干知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用尤其如此.抽象、模型和推理是初中階段的三個最重要的數(shù)學(xué)思想,而抽象是最為常用的,幾乎這一階段出現(xiàn)的所有主干知識都離不開抽象.實(shí)用性是初中數(shù)學(xué)的一個重要特點(diǎn),因此,很多數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得都是在一定的生活情境之上的,想要排除這些情境的干擾,讓學(xué)生獲得純粹的數(shù)學(xué)知識,除了用純粹的數(shù)學(xué)問題代替情境問題,我們還可以通過問題解決過程中的適時抽象來實(shí)現(xiàn).拋開生活情境豐富的實(shí)際問題不談,就以本文中這則案例為代表幾何教學(xué)為例,看似幾何問題數(shù)學(xué)化程度較高,但離最終的數(shù)學(xué)規(guī)范結(jié)論還有著較大的距離.為了讓學(xué)生避免過多非數(shù)學(xué)情境的干擾,我們應(yīng)讓學(xué)生從圖形認(rèn)識(如本文中的折疊等腰三角形紙片)開始,他們在直觀體驗(yàn)過程中,埋下抽象的"種子";當(dāng)學(xué)生從圖形的辨析與操作中獲得了非數(shù)學(xué)的結(jié)論(如本文中的"重合的圖形")時,他們在觀察分析中,獲得了離數(shù)學(xué)化結(jié)論最近的結(jié)論.做好了以上這兩步,學(xué)生的思維基本上打開了.接下來,就是抽象,從這些豐富的圖形中用符號、式子將發(fā)現(xiàn)的結(jié)論"提取"出來,用獲得的舊知以數(shù)學(xué)的方法加以驗(yàn)證,這樣,數(shù)學(xué)化的結(jié)論在師生、生生的思維碰撞中自然生成.通過適時抽象,新知"悄然"生成,充分展示了主干知識的主干價值,讓主干知識的應(yīng)用成果實(shí)現(xiàn)了"數(shù)學(xué)化",為接下來的進(jìn)一步探究鋪平了道路.