放坡條件下有限土體主動土壓力計算

方　燾，王海龍，楊銳銳，胡文韜，呂雪冬

（1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西 南昌330013；2.南昌市政公用集團(tuán)，江西 南昌330000）

放坡條件下有限土體主動土壓力計算

方燾1，王海龍2，楊銳銳1，胡文韜1，呂雪冬1

（1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西 南昌330013；2.南昌市政公用集團(tuán)，江西 南昌330000）

通過極限平衡法推導(dǎo)了放坡條件下有限土體主動土壓力計算公式，基于該公式分析了不改變有限土體寬度與基坑深度的比值（b/H），但改變基坑大小的情況下，對剪切面破裂角無影響，且有限土體主動土壓力與基坑深度的平方成正比關(guān)系。改變邊坡坡角，隨著b/H的值增大，剪切破裂角及有限土體主動土壓力會趨于一定值，且該計算公式適用范圍與邊坡坡角無關(guān)，與內(nèi)摩擦成負(fù)相關(guān)。

有限土體；主動土壓力；破裂角；坡角

近年來，隨著城市地下軌道不斷發(fā)展，異形、交叉等大型深基坑［1-2］不斷涌現(xiàn)，在這些復(fù)雜的基坑中，往往基坑與基坑之間會出現(xiàn)高差，具有高差的這部分土體并非半無限長，而是有限的（如圖1所示）。經(jīng)典的朗肯土壓力理論或庫侖土壓力理論采用的是半無限土體的假設(shè)條件，顯然對有限土體并不適合。高印立［3-4］基于土體的塑性上限理論，提出了一種有限土體土壓力的計算公式，指出利用極限分析法得到的有限土體土壓力與朗肯土壓力理論存在顯著差異。王文杰［5］從土壓力基本原理出發(fā)，根據(jù)兩豎直擋墻之間矩形片體單元受力平衡條件，簡單推導(dǎo)得出了有限寬度土體的土壓力計算方法。李峰［6］基于滑楔體平衡理論，推導(dǎo)了考慮土體變形情況的有限土體土壓力計算模式，馬平［7］基于極限平衡理論及平面滑裂面假定，在考慮土黏聚力及有限土體寬度的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)有限土體滑裂面剪切破壞角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并建立有限土體主動土壓力計算公式，肖世國［8］根據(jù)極限平衡及應(yīng)力圓分析理論，對一般重力式擋墻主動土壓力計算模型進(jìn)行了分析，獲得了近似解析解。池云飛等［9］基于經(jīng)典庫侖土壓力理論，推導(dǎo)出計算梯形斷面滑動土楔主動土壓力公式。周含川［10］基于主動土壓力為三角形分布或高大擋墻的梯形分布條件下，推導(dǎo)了有限土體斷面形狀更通用有限土體主動土壓力計算方法。本文采用推導(dǎo)庫侖土壓力理論的推導(dǎo)方式推導(dǎo)出了放坡條件下有限土體主動土壓力的計算公式。并通過算例分析，得出該條件下有限土體的適用范圍及相關(guān)的一些結(jié)論。

圖1　存在有限土體基坑示意圖Fig.1　Schematic diagram of existing limited soil pit

1　放坡條件下有限土體主動土壓力計算分析

1.1放坡條件下有限土體主動土壓力計算模型

基本假設(shè)：基坑深度為H，有限土體為ABCD，其寬度為b，邊坡傾角為β，支護(hù)擋墻豎直，墻背面為粘性土，土的容重為γ，內(nèi)摩擦角為φ，土體的外摩擦角為δ。當(dāng)支護(hù)結(jié)構(gòu)在土壓力的作用下產(chǎn)生水平向位移，使墻背面土體產(chǎn)生滑裂體（視為剛性體），并處于極限平衡狀態(tài)。此時的滑裂面為BF，滑裂體為ABFD，在滑裂體上作用有滑裂土體的重力W，滑裂面BF上的反力R，反力R與滑裂面的法線成φ角，并作用在法線的下方；AB面上的反力Ea（即主動土壓力），反力Ea與AB面的法線成δ角，并作用在法線的下方，如圖2所示。

1.2放坡條件下有限土體主動土壓力基本方程

取單位長度有限土體考慮，由圖1中的關(guān)系可得滑裂體的重力W為

式中：γ為土的重度，kN·m-3；b為坡頂?shù)膶挾?，即有限土體的寬度，m；H為坡頂?shù)狡碌椎拇怪本嚯x，即計算點(diǎn)的深度，m；β為邊坡的坡角。

根據(jù)圖2所示各力的關(guān)系，不考慮均布荷載，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖2　有限土體受力分析圖Fig.2　Analysis diagram of limited soil stress

圖3　有限土體受力簡圖Fig.3　Limited soil force diagram

可得平衡方程為

由式（1）（2）（3）可得有限土體主動土壓力計算公式為

1.3放坡條件下有限土體主動土壓力求解方法

根據(jù)極限平衡法求解出的主動土壓力公式可知：求解主動土壓力關(guān)鍵在于解出剪切破裂面傾角。對于半無限土體而言，朗肯與庫侖土壓力理論得到的主動土壓力計算時的剪切破裂面傾角均為θ=45°+φ/2，剪切破裂面傾角是個定值，與深度無關(guān)。對于有限土體而言，剪切破裂面傾角會隨著深度的改變而改變。

當(dāng)深度H一定時，根據(jù)上式（4）可知：Ea為剪切破裂面傾角θ的函數(shù)。按照極限平衡理論，Ea對θ求導(dǎo)，并令dEa/dθ=0，此時求出的θ′即為剪切破裂面傾角，求出的極大值即為有限土體主動土壓力。式（4）對θ求導(dǎo)可得：

2　有限土體主動土壓力分析

根據(jù)式（5）可知，剪切破裂面傾角不再是定值45°+φ/2，而是一個與有限土體寬度、邊坡坡角、土的內(nèi)摩擦角及深度等有關(guān)的變量，其所得的關(guān)系曲線如圖4、圖6所示。

當(dāng)計算θ′與b/H、H的關(guān)系時，取γ=18 kN·m-3，β=45°，φ=17°，δ=2/3 φ，計算數(shù)據(jù)如表1所示；當(dāng)計算θ′與b/H，β的關(guān)系時，取γ=18 kN·m-3，H=10 m，φ=17°，δ=2/3 φ，計算數(shù)據(jù)如表2所示；當(dāng)計算θ′與b/H，φ的關(guān)系時，取γ=18 kN·m-3，β=45°，H=10 m，δ=2/3 φ，計算數(shù)據(jù)如表3所示。

表1　不同深度相同b/H下有限土體θ、Ea值Tab.1 Limited soil θ，Eavalue at different depths and under the same ratio of b and H

由圖4、圖5可知，隨著b/H的增大，剪切破裂面傾角與b/H成負(fù)相關(guān)；若隨著H的增大，但不改變b/H時，剪切破裂面傾角無變化。但其有限土體主動土壓力增大，且主動土壓力與H的平方成正比。當(dāng)H一定時，隨著b的增大，有限土體土壓力增大，并趨于庫侖土壓力。

由圖6、圖7可知，當(dāng)b/H一定時，隨著邊坡坡角的增大，剪切破裂面傾角與坡角成正相關(guān)；隨著b/H的增大，剪切破裂面傾角越來越小，并趨于一定值；其主動土壓力與b/H成正比，與坡角成反比關(guān)系。

由圖8～圖12可知，基于MATLAB計算分析，當(dāng)改變坡角，內(nèi)摩擦角不變時，b=0.85 H，剪切破裂面線臨界于邊坡與坡頂?shù)慕稽c(diǎn)；若b≤0.85 H時，剪切破裂面線交于邊坡上，破壞模式與本文研究的有限土體受力分析一致，可根據(jù)式（4）計算有限土體主動土壓力；若b＞0.85 H時，剪切破裂面線交于坡頂處，此時破壞模式與經(jīng)典的主動土壓力破壞模式一致，可依照庫侖理論來計算主動土壓力，并且隨著坡角的增大，不改變該破壞模式。當(dāng)改變內(nèi)摩擦角，邊坡坡角不變時，隨著內(nèi)摩擦角增大，適用本文研究的破壞形式所對應(yīng)的b/H的值越小。

由此可知，有限土體主動土壓力剪切破裂面傾角是個變量，它與有限土體寬度與深度的比值、邊坡坡角等因素有關(guān)；當(dāng)b/H＞0.85時，即θ′≤48.7°時，此時不能按照有限土體計算主動土壓力。

表2　不同坡角相同b/H下有限土體θ、Ea值Tab.2　Limited soil θ，Eavalue at different slope angle and under the same ratio of b and H

圖4　b/H與θ關(guān)系曲線圖Fig.4　Relationship graph of b/H and θ

圖5　b/H與Ea關(guān)系曲線圖Fig.5　Relationship graph of b/H and Ea

圖6　不同β下b/H與θ關(guān)系曲線圖Fig.6　Relationship graph of b/H and θ under different β

圖7　不同β下b/H與Ea關(guān)系曲線圖Fig.7　Relationship graph of b/H and θ under different Ea

表3　不同內(nèi)摩擦角相同b/H下有限土體θ值Tab.3　Limited soil θ value at different internal friction angles and under the same ratio of b and H

圖8　坡角為60°示意圖Fig.8　Schematic diagram of slope angle of 60°

圖9　坡角為90°示意圖Fig.9　Schematic diagram of slope angle of 90°

圖10　坡角為45°示意圖Fig.10　Schematic diagram of slope angle of 45°

圖11　內(nèi)摩擦角為25°示意圖Fig.11　Schematic diagram of internal friction angle of 25°

圖12　內(nèi)摩擦角為5°示意圖Fig.12　Schematic diagram of internal friction angle of 5°

3　結(jié)論

本文根據(jù)極限平衡法推導(dǎo)出來放坡條件下有限土體主動土壓力計算公式，以及采用編程軟件MATLAB對放坡條件下有限土體滑裂面剪切破壞角的進(jìn)行了求解，得到了以下主要結(jié)論。

1）有限土體主動土壓力的適用范圍與邊坡坡角無關(guān)，與內(nèi)摩擦角成負(fù)相關(guān)。

2）有限土體主動土壓力剪切破裂面傾角是個變量，與基坑形狀的大小無關(guān)，而與有限土體寬度與深度的比值、邊坡坡角成負(fù)相關(guān)。

［1］李鐘.深基坑支護(hù)技術(shù)現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢（一）［J］.巖土工程界，2001，4（1）：42-45.

［2］孫鈞.市區(qū)基坑開挖施工的環(huán)境土工問題［J］.地下空間，1999（4）：257-265.

［3］高印立.有限土體土壓力的計算探討［J］.建筑科學(xué)，2000，16（5）：53～56.

［4］高印立.極限分析法計算有限范圍土體土壓力［J］.建筑結(jié)構(gòu)，2001，31（8）：66-68.

［5］王文杰，曾進(jìn)群，陳小丹.深基坑開挖中有限土體土壓力計算方法探討［J］.巖土工程界，2004，8（3）：30-31.

［6］李峰，郭院成.基坑工程有限土體主動土壓力計算分析研究［J］.建筑科學(xué)，2008，24（1）：15-18..

［7］馬平，秦四清，錢海濤.有限土體主動土壓力計算［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2008（S1）：3070-3074.

［8］肖世國，陶志平.土質(zhì)邊坡重力式擋墻主動土壓力的近似解析解［J］.路基工程，2009（1）：32-34.

［9］池云飛，包志仁，陳中濤，等.復(fù)雜邊坡主動土壓力求解與應(yīng)用［J］.人民黃河，2011，33（3）：88-89.

［10］周含川.有限土體主動土壓力計算及探討［J］.重慶建筑，2009，12（8）：34-37.

（責(zé)任編輯王建華）

Active Earth Pressure Calculation of Limited Soil in Grading Conditions

Fang Tao1，Wang Hailorg2，Yang Ruirui1，Hu Wentao1，Lv Xuedong1
（1.School of Civil Engineering and Architecture，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China；2.Nanchang Municipal Public Group，Nanchang 330000，China）

Formula of active earth pressure of limited soil under grading conditions is derived by limit equilibrium method.Based on this formula，not changing the ratio of limited soil width and pit depth（b/H），but changing the size of pit，this study finds out that the rupture angle of shear surface would not be influenced and the active earth pressure of limited soil is in proportion to the square of pit depth.With the change of slope angle，value of b/H increases，shear fracture angle and active earth pressure of limited soil tend tobe a certain value.And scope of this formula is irrelevant to slope angle and negatively correlates with internal friction.

limited soil；active earth pressure；rupture angle；slope angle

TU43

A

1005-0523（2016）04-0050-06

2015－03－25

南昌市政公用集團(tuán)科技基金（2014）

方燾（1976—），男，副教授，博士，研究方向為道路與鐵道。