運(yùn)用方格，調(diào)正相異構(gòu)想
——“平行四邊形面積”教學(xué)實(shí)踐與思考

浙江余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校（315400） 毛亞峰

運(yùn)用方格，調(diào)正相異構(gòu)想
——“平行四邊形面積”教學(xué)實(shí)踐與思考

浙江余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校（315400） 毛亞峰

學(xué)生相異構(gòu)想的產(chǎn)生直接影響學(xué)習(xí)的成效。因此，課堂教學(xué)中，教師需要正確把握相異構(gòu)想的評(píng)估與調(diào)正策略的實(shí)施，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)正相異構(gòu)想，使之與科學(xué)概念相一致，從而打造高效的數(shù)學(xué)課堂。

相異構(gòu)想評(píng)估調(diào)正平行四邊形面積前測(cè)反思

一、相異構(gòu)想的前測(cè)

1.前測(cè)說明

我們?cè)?014學(xué)年和2015學(xué)年分別就同一內(nèi)容做了同一的前測(cè)，前測(cè)題如下：你能想辦法求出這個(gè)平行四邊形的面積嗎？可以應(yīng)用下列材料。

材料：平行四邊形紙片（紙片上沒有數(shù)據(jù)，相鄰兩條邊的長為8厘米、5厘米，且8厘米底邊上的高是3厘米）、剪刀、細(xì)繩、三角板、1平方厘米的正方形紙片、鉛筆。

兩次前測(cè)的區(qū)別：2015學(xué)年的前測(cè)材料中提供了透明的網(wǎng)格。

2.前測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

2014學(xué)年前測(cè)對(duì)象為城鎮(zhèn)學(xué)生1086名，農(nóng)村學(xué)生917名，共計(jì)2003名學(xué)生。

結(jié)果　分　類　人數(shù)百分比（%）合計(jì)（%）鄰邊相乘　289　14.43不正確31.60 103　5.14計(jì)算周長　87　4.34測(cè)量底和高，算式無意義　45　2.25用小正方形擺，但擺不正確其他　109　5.44測(cè)量底、高后直接用公式258　12.88計(jì)算先用剪、拼轉(zhuǎn)化成長方形424　21.17后測(cè)量、計(jì)算153　7.64正確48.48剪成兩個(gè)三角形、一個(gè)長方形，再把兩個(gè)三角形拼成長方形，測(cè)量計(jì)算剪、拼成長方形后用小正78　3.89方形擺用小正方形擺出底和高，21　1.05計(jì)算出面積其他　37　1.85無應(yīng)答　399　19.92合計(jì)　2003　100

2015學(xué)年前測(cè)對(duì)象為城鎮(zhèn)學(xué)生1195名，農(nóng)村學(xué)生832名，共計(jì)2027名學(xué)生。

結(jié)果　分　類　人數(shù)百分比（%）合計(jì)（%）鄰邊相乘　264　13.02不正確計(jì)算周長　54　2.66測(cè)量底和高，算式無意義　25　1.23用網(wǎng)格，但不會(huì)數(shù)　46　2.27 87　4.29其他　94　4.63 28.10用小正方形擺，但擺不正確　運(yùn)用方格數(shù)方格：逐格拼組法　154　7.61 19.06 63　3.11測(cè)量底、高后直接用公202　9.97式計(jì)算先用剪、拼轉(zhuǎn)化成長方434　21.41形后測(cè)量、計(jì)算正確數(shù)方格：整體拼組法　169　8.34補(bǔ)成一個(gè)大長方形，放在網(wǎng)格上減去補(bǔ)的部分不運(yùn)用方格剪成兩個(gè)三角形、一個(gè)長方形，再把兩個(gè)三角形拼成長方形，測(cè)量計(jì)算46.57 176　8.68剪、拼成長方形后用小99　4.88正方形擺用小正方形擺出底和16　0.79高，計(jì)算出面積其他　17　0.84無應(yīng)答　127　6.27合計(jì)　2027　100

二、相異構(gòu)想的評(píng)估

對(duì)學(xué)生相異構(gòu)想的評(píng)估，主要從“四基”進(jìn)行。如下：

1.確定評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)

（1）基礎(chǔ)知識(shí)：探索并掌握平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程和計(jì)算方法。

（2）基本技能：能應(yīng)用公式正確計(jì)算平行四邊形的面積，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

（3）基本思想：能用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)平行四邊形面積的計(jì)算公式，認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化思想在平面圖形面積公式推導(dǎo)中的應(yīng)用。

（4）基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：在操作中積累轉(zhuǎn)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以便在以后學(xué)習(xí)中遇到相似的問題時(shí)能調(diào)用該經(jīng)驗(yàn)加以解決。

2.評(píng)估相異構(gòu)想

（1）負(fù)遷移影響明顯。

兩次前測(cè)均有較高比例的學(xué)生能正確得出平行四邊形的面積，有較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但分別有14.43%和13.02%的學(xué)生用“鄰邊相乘”的方法計(jì)算，這是長方形面積計(jì)算方法負(fù)遷移的結(jié)果。

（2）方格仍是學(xué)生不可或缺的學(xué)習(xí)工具。

在第二次前測(cè)中，由于方格的引入，引發(fā)了學(xué)生更多的思考，使無應(yīng)答的學(xué)生從19.92%下降到6.27%，提高了獨(dú)立探究的效率，這也說明學(xué)生積累了使用方格的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（3）缺乏轉(zhuǎn)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

兩次前測(cè)顯示，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形進(jìn)行測(cè)量、計(jì)算的約占21%。因此，教師在教學(xué)中需創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自發(fā)地把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形進(jìn)行研究。

三、調(diào)正策略的確定與實(shí)施

1.確定調(diào)正策略——借助方格引導(dǎo)探究

方格是學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)面積的工具，通常是指邊長為1厘米的小正方形，在幫助學(xué)生初步構(gòu)建單位面積和推導(dǎo)長方形、正方形面積計(jì)算公式時(shí)，發(fā)揮了不可替代的作用。到了五年級(jí)學(xué)習(xí)“平行四邊形面積”時(shí)，教材中也編排了借助方格數(shù)平行四邊形面積的內(nèi)容，但教師在課堂教學(xué)中出現(xiàn)了兩種處理方式：一是僅僅把方格當(dāng)作數(shù)的工具，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)平行四邊形和長方形的面積，發(fā)現(xiàn)兩者間的關(guān)系；二是完全拋棄了方格，認(rèn)為五年級(jí)學(xué)生再用方格研究面積起點(diǎn)太低，直接進(jìn)入了操作環(huán)節(jié)。我在教學(xué)實(shí)踐中充分發(fā)揮方格的不同功效，為調(diào)正學(xué)生的相異構(gòu)想起到了積極的作用。

2.調(diào)正策略的實(shí)施

片斷（1）：簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)平行四邊形的特點(diǎn)，并出示前測(cè)結(jié)果。

出示右圖，讓學(xué)生計(jì)算出這個(gè)平行四邊形的面積，學(xué)生計(jì)算方法如下。

①（8+5）×2=26（cm2）求周長

②8×5=40（cm2）鄰邊相乘

③8×3=24（cm2）底乘高

片斷（2）：辨析鄰邊相乘。

師（指著第②種方法）：請(qǐng)你介紹自己的想法。

生1：因?yàn)殚L方形的面積是長乘寬，是鄰邊相乘，所以平行四邊形的面積也是鄰邊相乘，也就是8×5。

師：他從長方形的面積計(jì)算方法猜想到平行四邊形的面積是鄰邊相乘，有一定的道理。下面，我們來研究這種方法是不是正確的。你們想怎么研究？

生2：可以把平行四邊形放在網(wǎng)格上來研究。

師（引導(dǎo)并示范）：把平行四邊形的框架放在網(wǎng)格上推一推、看一看、想一想，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生操作，師巡視，然后交流）

生3：我發(fā)現(xiàn)不停地推下去，面積先是在變大，當(dāng)推成長方形后面積達(dá)到最大，如果再推面積又開始慢慢變小。

生4：我發(fā)現(xiàn)這樣推，鄰邊的長度沒有變化，但是形狀變了，面積也變了。

師（小結(jié)）：我們把平行四邊形放在方格上，通過推來研究發(fā)現(xiàn)，用鄰邊相乘求平行四邊形的面積是——

生：錯(cuò)誤的！

片斷（3）：研究底乘高。

師：底乘高是不是求平行四邊形面積的方法呢？你們準(zhǔn)備怎么研究？

生5：剛才我們是在方格上研究的，那還是放在方格上研究吧！

師：平行四邊形的面積是底乘高嗎？你是怎么想的？

生6：我是數(shù)出來的。我先一格一格地?cái)?shù)，正好有18格，這些不足一格的加起來共有6格，所以加起來是24格，也就是24平方厘米。這樣算，跟底乘高算出來的結(jié)果一樣。

師：像他這樣數(shù)，一共有24個(gè)1平方厘米，說明平行四邊形的面積就是24平方厘米，可以嗎？誰還有不同的方法？

生7：我不是數(shù)的，但我的方法比他簡(jiǎn)便。我把平行四邊形的左邊三角形割下來，移到右邊，變成了長方形，8乘3是24，所以面積是24平方厘米。因此，我認(rèn)為用底乘高這種方法求平行四邊形的面積是對(duì)的。

師：他用割補(bǔ)的方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來研究，面積確實(shí)是24平方厘米。是不是所有的平行四邊形都能用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成長方形呢？

生8：我認(rèn)為可以。

生9：我有疑問，不太清楚。

師：到底可不可以呢？請(qǐng)你拿出平行四邊形的紙片試一試。

片斷（4）：拓展練習(xí)。

師：老師買了一個(gè)平行四邊形的車位，面積是18平方米，想一想，它可能會(huì)是怎樣的？把你想的畫在方格紙上。（學(xué)生想、畫，師巡視后展示學(xué)生畫的圖，如下）

生10：我有不同意見。雖然它們的面積都是18平方米，但是圖B和圖C顯然不適合做車位，因?yàn)檫@樣的車位車是開不進(jìn)去的。（其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

師：是啊，底9米、高2米和底18米、高1米的平行四邊形，雖然面積都是18平方米，但是卻不適合做車位，而第一種底6米、高3米的平行四邊形則比較合適做車位。底6米、高3米的平行四邊形還有兩種情況（如下圖），大家再來看一看，可以做車位嗎？

生：可以。

師：底6米、高3米的平行四邊形還有嗎？想一想，用手比劃一下。（在學(xué)生回答后）有多少個(gè)？

生：無數(shù)個(gè)。

師：是不是底6米、高3米的平行四邊形都合適呢？（出示下圖）比如這個(gè)平行四邊形，能做車位嗎？

生：不可以，車開不進(jìn)去了。

師（小結(jié)）：我們?cè)谠O(shè)計(jì)停車位的時(shí)候，不能光考慮它的面積，還要考慮它的形狀。

……

四、教學(xué)反思

小小的方格，在學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積的不同環(huán)節(jié)中都發(fā)揮了極其重要的作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)的“助推器”。其作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.有助于激活、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

受知識(shí)、年齡的限制，小學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與更新必須在動(dòng)手操作、用眼觀察、動(dòng)口介紹、動(dòng)腦思考中獲得。本課中有兩處由于恰當(dāng)?shù)厥褂昧朔礁?，有助于學(xué)生感性經(jīng)驗(yàn)的積累：一是在辨析鄰邊相乘是不是計(jì)算平行四邊形的面積計(jì)算方法時(shí)，這里的方格起著“量化”的作用；二是在數(shù)方格紙上平行四邊形的面積時(shí)，通過對(duì)比數(shù)的結(jié)果與底乘高計(jì)算的結(jié)果，初步肯定了底乘高是計(jì)算平行四邊形面積的方法。同時(shí)，在數(shù)的過程中（不足一格）不知不覺地用到了“補(bǔ)”的方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了方法上的準(zhǔn)備。

2.有助于引發(fā)用割、補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化平行四邊形

平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，是在用割、補(bǔ)的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，通過觀察兩者間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行的。那么，學(xué)生怎么就想到把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形呢？在本課中，面對(duì)放在方格上的平行四邊形，不少學(xué)生都想到了把左邊的三角形割下來，“移”到另一邊，正好“補(bǔ)”成一個(gè)長方形。或許是這樣做便于數(shù)方格，或許是對(duì)長方形認(rèn)識(shí)的思維定式影響，但學(xué)生的無心之舉，恰恰完成了本課的核心操作——用割、補(bǔ)的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。接著，我通過提問，使學(xué)生迫不及待地進(jìn)行探究，為成功驗(yàn)證、推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式奠定了基礎(chǔ)。

3.有助于發(fā)展推理能力

五年級(jí)學(xué)生的思維正處于具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過渡時(shí)期，因而在培養(yǎng)與發(fā)展推理能力時(shí)必須借助工具。如課中通過推放在方格上的平行四邊形框架，根據(jù)觀察所得推斷出鄰邊相乘不是求平行四邊形面積的方法；通過割、補(bǔ)方格上平行四邊形，推想是否所有的平行四邊形都能用這種方法轉(zhuǎn)化成長方形；通過觀察、比較畫在方格上的平行四邊形車位，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)推測(cè)車位形狀的合理性……這里，小小的方格成為學(xué)生順利展開想像、發(fā)展推理能力不可或缺的輔助工具。

4.有助于學(xué)以致用

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)嘗試用數(shù)學(xué)眼光審視生活，用數(shù)學(xué)思維思考生活現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)方法解決生活中的實(shí)際問題。如何在本課中落實(shí)這一潛在目標(biāo)呢？我設(shè)計(jì)了“畫平行四邊形停車位”的拓展練習(xí)，使學(xué)生借助方格邊畫邊想，自主地把數(shù)學(xué)與生活緊密地聯(lián)系起來。

（責(zé)編藍(lán)天）

G623.5

A

1007-9068（2016）23-022