一個(gè)Hilbert型積分不等式的推廣

有名輝

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，杭州 310053)

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一個(gè)Hilbert型積分不等式的推廣

有名輝

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，杭州 310053)

通過(guò)引進(jìn)參數(shù)，借助實(shí)分析的技巧，建立了一個(gè)新的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型積分不等式，并考慮其等價(jià)形式，推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果。

Hilbert型不等式；等價(jià)形式；H?lder不等式；Riemann Zeta 函數(shù)；Gamma函數(shù)

0　引　言

(1)

其中π2是滿(mǎn)足(1)式的最佳常數(shù)因子[1]。不等式(1)通常被稱(chēng)為Hilbert型不等式。Hilbert型不等式在分析學(xué)領(lǐng)域有著重要的作用[2]。近來(lái)，通過(guò)引進(jìn)參數(shù)，研究者們給出了式(1)及其對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)形式的一些推廣和改進(jìn)，建立了一些深刻且有價(jià)值的成果[3-8]。最近，和炳[9]又證明了一個(gè)類(lèi)似于(1)式的零齊次核Hilbert型不等式，即：

(2)

本文研究的目的是建立式(2)的推廣形式。首先給出以下一些定義及引理。

定義1[10]對(duì)于a>0，定義

為第二型歐拉積分，即Γ函數(shù)。特別地，當(dāng)a∈Z+時(shí)，Γ(a)=(a-1)!。

為行文方便，作以下約定：

1　主要結(jié)果

引理1設(shè)λ>0,β≥0,則：

因此，

(3)

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)，可得：

(5)

若β=0，顯然有：

(6)

故有：

因此，當(dāng)β>0時(shí)，有：

(7)

結(jié)合式(5)—(7)，即得引理1。

證明作變量替換y=ux，由Fubini定理，可知：

(8)

令ε→0+，由引理1，可得：

(9)

由式(8)和式(9)，即得引理2。

(10)

證明由H?lder不等式，可知：

(11)

若式(11)取等號(hào)，則有不全為零的實(shí)數(shù)A與B,使得：

a.e.于(0,∞)×(0,∞)(參見(jiàn)[11])，即Axpfp(x)=Byqgq(y)a.e.于(0,∞)×(0,∞)。

于是，有常數(shù)C，使得：

Axpfp(x)=C,a.e.于(0,∞)；

Byqgq(y)=C,a.e.于(0,∞).

通過(guò)變量替換，根據(jù)引理1,不難算得：

類(lèi)似地，可算得：

因此式(11)可寫(xiě)成:

(12)

定義函數(shù)fε(x)和gε(x)(其中ε充分小)如下：

若x∈(0,1)，令

fε(x)=gε(x)=0；

若x∈[1,∞)，令

用fε和gε分別取代式(12)中的f和g，則：

把引理2的結(jié)果代入，可得：

(13)

(14)

故：

(15)

結(jié)合定理2 的條件和式(15)可知應(yīng)用定理1的條件是充分的。因此式(14)和式(15)都取嚴(yán)格不等號(hào)。故式(13)成立。

以上從式(10)證得了式(13)。要說(shuō)明式(10)和式(13)等價(jià)，以下只需從式(13)證得式(10)。事實(shí)上，由H?lder不等式，可知：

(16)

若在定理1中,令β=0,λ=1，則有推論2。

2　結(jié)　語(yǔ)

通過(guò)引入?yún)?shù)，借助分析的技巧，本文建立了一個(gè)混合核的Hilbert型積分不等式，在一定程度上

推廣了前人已有的結(jié)果，這具有一定的價(jià)值。另外，本文研究的仍然是零齊次核的Hilbert型積分不等式，能否將積分核推廣到負(fù)齊次核或者是非齊次核的情形，仍然是值得研究的問(wèn)題。

[1]HARDYGH,LITTLEWOODJE,PolyaG.Inequalities[M].Cambridge:Cambridgeuniversitypress, 1952: 255.

[2]MINTRINOVICDS,PECARICJE,FINKAM.Inequalitiesinvolvingfunctionsandtheirintegralsandderivatives[M].Boston:KluwerAcademic, 1991: 79-135.

[3] 劉瓊，龍順潮.一個(gè)推廣的Hilbert型積分不等式[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):A輯, 2014, 34(1): 179-185.

[4] 陳小雨，高明哲，黃政. 具有Catalan常數(shù)的Hilbert型積分不等式[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào): 數(shù)學(xué)半年刊，2013, 30(1)：95-103.

[5]KUANGJ,DEBNATHL.OnnewgeneralizationsofHilbert'sinequalityandtheirapplications[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2000, 245(1): 248-265.

[6]JINJJ.AnewgeneralizationofHardy-Hilberttypeinequalitywithmulti-parameters[J].JournalofMathematicalResearchwithApplications, 2009, 29(6): 1131-1136.

[7]JINJJ.OnHilbert’stypeinequalities[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2008, 340(2)：932-942.

[8] 楊必成. 一個(gè)較為精密的Hardy-Hilbert型不等式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006, 49(2)： 363-368.

[9] 和炳.一個(gè)含零齊次核的Hardy-Hilbert型積分不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011, 38(4)： 380-383.

[10] 菲赫金哥爾茨TM. 微積分學(xué)教程: 第二卷[M].徐獻(xiàn)瑜，冷生明，梁文騏，譯. 2版.北京：高等教育出版社，2006: 625-639.

[11] 匡繼昌. 常用不等式[M].3版. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003: 5.

(責(zé)任編輯： 康鋒)

On Generalization of A Hilbert-type Integral Inequality

YOUMinghui

(Mathematics Teaching and Research Section，Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou 310053, China)

By introducing parameters, and using the method of real analysis, we establish a Hilbert-type integral inequality with the optimal constant factor and consider its equivalent form. Moreover, we also generalize the results of relevant literatures.

Hilbert-type inequality；equivalent form；H?lder inequality；Riemann Zeta function；Gamma function

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.01.025

2015-04-19

有名輝(1982-)，男，浙江安吉人，講師,碩士，主要從事解析不等式方面的研究。

O178

A

1673- 3851 (2016) 01- 0150- 04 引用頁(yè)碼： 010805