高數(shù)思想指導(dǎo)　完善初數(shù)錯(cuò)漏

彭翕成

高數(shù)思想指導(dǎo)完善初數(shù)錯(cuò)漏

彭翕成

有老師表示，高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用毋庸置疑，很多題目用初等數(shù)學(xué)方法解答較為困難，但使用高等數(shù)學(xué)方法則比較簡(jiǎn)單。比如羅必塔法則、泰勒展開(kāi)式，讓很多題目變得容易，因?yàn)槊}人很可能就是從高等數(shù)學(xué)里獲得靈感。問(wèn)題是，考試時(shí)不能直接應(yīng)用這些高等數(shù)學(xué)公式，可謂“空有屠龍技藝，沒(méi)有用武之地”！

這種情況確實(shí)存在。這就好比成年人做小學(xué)的應(yīng)用題，本來(lái)用列方程很容易解決，但限于算術(shù)方法，解答起來(lái)則十分困難。這說(shuō)明高等數(shù)學(xué)應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，需要研究如何化用，而不能照搬。除了明面上的應(yīng)用，也可以是無(wú)形中的滲透，指導(dǎo)我們從更高的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，特別是在初等數(shù)學(xué)中容易忽視的問(wèn)題。下面筆者舉例說(shuō)明。

多本資料上有這道題，解法也各不相同。

由于a，b，c，d是任意正實(shí)數(shù)，放縮時(shí)等號(hào)不能取到，所以1＜s＜2。

對(duì)比之下，相信大多數(shù)人都會(huì)選擇解法2。但解法2真的就是完美的么？要知道此題是第16屆IMO試題，又怎會(huì)如此容易！

解法2只是證明了1＜s＜2，但s能否真的取盡（1，2）中的所有數(shù)？如果不能證明s取盡（1，2）中的所有數(shù)，那只是說(shuō)明了1（2）是s的下（上）界，而不能說(shuō)明是下（上）確界，也就和解法1中得到范圍（0，4］并無(wú)實(shí)質(zhì)的區(qū)別。

（1，2）中的所有數(shù)。

思考：解法1并無(wú)錯(cuò)，只是得到（0，4］是下（上）界，而非下（上）確界，需要進(jìn)一步壓縮。解法2利用放縮技巧，得到更精確的取值范圍，只是忽視了連續(xù)性。中學(xué)里接觸的函數(shù)幾乎都是初等函數(shù)，多數(shù)情況下不會(huì)出問(wèn)題，因而這一問(wèn)題也常常被忽視。而對(duì)學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的老師而言，還是要做到心中有數(shù)為好。

這樣解答看似沒(méi)有問(wèn)題，但對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)高等解析幾何的人來(lái)說(shuō)，遇到此題應(yīng)該很快地聯(lián)想到這是一個(gè)平面和單位球，而原點(diǎn)到平面的距離要大于球的半徑1，平面與球不相交，意味著方程組無(wú)實(shí)數(shù)解。當(dāng)Y=0時(shí)，則是中學(xué)里比較熟悉的二維版本這里的直線(xiàn)和圓也是不相交的。從無(wú)實(shí)數(shù)解可知無(wú)實(shí)數(shù)解，這與題目中x，y，z是 3個(gè)實(shí)數(shù)矛盾，此題為錯(cuò)題。

由于中學(xué)里并不講點(diǎn)到平面的距離公式（其實(shí)可看作是點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的升級(jí)版本，類(lèi)比提一下也無(wú)妨），所以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之后，需要另找途徑來(lái)說(shuō)明。

利用不等式3（X2+Y2+Z2）≥（X+Y+Z）2，即3×1≥22，矛盾。該不等式的推導(dǎo)可用恒等式：3（X2+Y2+Z2）= （X+Y+Z）2+（X-Y）2+（Y-Z）2+（Z-X）2，這樣初中生也就能理解了。

不只一次看到這樣的解法。如果中學(xué)生這樣解，倒還可以理解。作為學(xué)過(guò)線(xiàn)性代數(shù)的中學(xué)老師，出現(xiàn)這樣的解法很是不應(yīng)該。

在線(xiàn)性代數(shù)中，求解線(xiàn)性方程組Ax=B的解的數(shù)量有三種情況：無(wú)解、唯一解、無(wú)窮多解。對(duì)于有無(wú)窮多組解的方程組，解方程組的本質(zhì)就是用一組可以自由取值的變量（稱(chēng)為自由變量）表示其余變量（稱(chēng)為主變量）。對(duì)自由變量的任一組值，都能唯一確定主變量的值，它們一起構(gòu)成方程組的一個(gè)解。需要特別強(qiáng)調(diào)，主變量和自由變量的分法并不唯一。

單純從解題而言，這樣的代換解法并不好?？衫美?的不等式3（X2+Y2+Z2）≥（X+Y+Z）2來(lái)證，或是由展開(kāi)，或使用均值不等式

例4若ax+by=1，bx+cy=1，cx+ay=1，ac-b2≠0，求證：ab+bc+ca=a2+b2+c2。

所以ab+bc+ca=a2+b2+c2。

看到上述題目和解答，第一感覺(jué)就是條件ac-b2 ≠0多余。因?yàn)樯鲜鲎C明稍加改寫(xiě)就可去掉這個(gè)條件。

證法1（改寫(xiě)）：由ax+by=1，bx+cy=1，得acx+bcy= c，b2x+bcy=b。

相減，得（b2-ac）x=b-c。

同理，得（b2-ac）y=b-a。

代入cx+ay=1，得（b2-ac）cx+a（b2-ac）y=b2-ac，得c（b-c）+a（b-a）=b2-ac。

所以ab+bc+ca=a2+b2+c2。

這樣一來(lái)，b2-ac不出現(xiàn)在分母，不管其是否為0都不受影響。至于將cx+ay=1兩邊同乘b2-ac，也無(wú)需考慮b2-ac是否為0。

證法2（武漢陳起航提供）ab+bc+ca=ab（ax+by）+ bc（bx+cy）+ca（cx+ay）=a（2bx+cy）+b（2cx+ay）+c（2ax+ by）=a2+b2+c2。

證法3：ab+bc+ca-a2-b2-c2=

，而不是（b2-ac）x=b-c。

進(jìn)一步想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，條件ac-b2≠0純屬畫(huà)蛇添足。因?yàn)樗蟮仁絘b+bc+ca=a2+b2+c2可轉(zhuǎn)化為（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，等價(jià)于a=b=c，可推出acb2=0。這意味著條件ac-b2≠0不僅多余，還造成了矛盾。添上腳的蛇也就不再是蛇，添上矛盾條件的題也就不再是合格的題了。

后面三種證法表明，無(wú)需考慮b2-ac是否為0。題目中加上ac-b2≠0這一條件，可能是命題者為了降低難度，考慮到中學(xué)生更習(xí)慣

證法2：（9x3-17x2+9）′=27x2-34x=0，可得x=0或分析函數(shù)增減性可知，當(dāng)時(shí)，9x3-17x2+9取得最小值

這樣做，讓學(xué)習(xí)者一方面是無(wú)比崇拜，另一方面則是望而生畏。這讓人想起關(guān)于數(shù)學(xué)家高斯的一段評(píng)語(yǔ)：“高斯并不喜歡教書(shū)，而且通常給人的感覺(jué)是冷冷的，故和其他數(shù)學(xué)家相處得不好，或許是因?yàn)樗麩o(wú)時(shí)無(wú)刻都在思考研究，因而疏于人際關(guān)系吧！終其一生，高斯總是靜靜地將答案寫(xiě)下，不留一點(diǎn)計(jì)算痕跡，而且對(duì)答案有絕對(duì)的把握，就像雪地中狐貍總是用尾巴掃拭足跡一般?！?/p>

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的常用招數(shù)。老師在講完一道題目之后，常常會(huì)給出一些變式，既鞏固原題，又開(kāi)闊視野。有時(shí)不直接給出變式，而是啟發(fā)學(xué)生，你能從這個(gè)問(wèn)題想到什么，能否提出新問(wèn)題。這樣的啟發(fā)自然是好的。但有時(shí)也容易出問(wèn)題，哪怕是看似簡(jiǎn)單的變化。

比如，學(xué)完勾股定理之后，有些老師會(huì)補(bǔ)充：凡滿(mǎn)足x2+y2=z2的整數(shù)解稱(chēng)之為勾股數(shù)，如何求解勾股數(shù)呢？講解完勾股數(shù)的求法之后，如果學(xué)生再問(wèn)，如何求解x3+y3=z3，x4+y4=z4，…，xn+yn=zn，這可就麻煩了。

證法1：

相當(dāng)多的微積分教材都是采用這種證明，稱(chēng)之為經(jīng)典并不為過(guò)。但經(jīng)典的是不是最好，是不是就沒(méi)有商榷、改進(jìn)的余地呢？并非如此。

中學(xué)沒(méi)有無(wú)界這個(gè)概念，但通過(guò)分析，學(xué)生可以看到這個(gè)結(jié)果是要多大就有多大的。

這是QQ群里網(wǎng)友求助的問(wèn)題。問(wèn)題一出，熱心網(wǎng)友紛紛支招，提供各種解題思路。

求助者問(wèn)：思路很多，誰(shuí)最終解出來(lái)了么？結(jié)果沒(méi)一人給出解答。

我說(shuō)：這題是你自己改編的吧，原題是什么？

他不承認(rèn)，說(shuō)：哪有什么原題，這明明是一個(gè)獨(dú)立完整的題目，數(shù)列的每一項(xiàng)都是唯一被確定的。

我說(shuō)：那我搞不定。大膽說(shuō)一句，沒(méi)人搞得定。

他說(shuō)：你做不出來(lái)，怎么能確定其他人也做不出來(lái)？

他說(shuō)：你講的好玄乎，能講清楚一點(diǎn)嗎？

我問(wèn)：你知道蟲(chóng)口模型嗎？

他說(shuō)：不知道。

我說(shuō)：蟲(chóng)口模型也是二次函數(shù)迭代，異常復(fù)雜。你不知道其厲害，所以無(wú)所畏懼。用最基本的思路來(lái)思考，當(dāng)一時(shí)找不到通項(xiàng)公式的時(shí)候，常常會(huì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，希望從中找出規(guī)律，有助于解題。

數(shù)列的前幾項(xiàng)是：

這時(shí)，他才老實(shí)交代，其實(shí)是在做：數(shù)列滿(mǎn)足a0=，對(duì)于自然數(shù)n，，則的整數(shù)部分是______。

他希望求出an，代入求解。他將求an當(dāng)作是計(jì)算的整數(shù)部分的必要條件，事實(shí)上并非如此。求解整數(shù)部分，是一個(gè)近似值，遠(yuǎn)比求解an的通項(xiàng)公式簡(jiǎn)單。解法如下：

因?yàn)閍n遞增，于是，顯然，從而，所以整數(shù)部分為3。

以上案例說(shuō)明，如果研究者了解一些問(wèn)題的數(shù)學(xué)背景，教學(xué)和教研就可以少走很多的彎路，少犯一些錯(cuò)誤，從而更深刻地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，更快速地解決問(wèn)題。更多案例參看筆者的新書(shū)《從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)》。

（作者單位：華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心）