正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解及其在金融中的運(yùn)用分析

王聞達(dá)

【摘要】隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，金融產(chǎn)品日漸豐富，為了有效分析金融市場(chǎng)交易，數(shù)理模型得到了廣泛的應(yīng)用。正倒向隨機(jī)微分方程屬于隨機(jī)微分方程的一種，其在數(shù)理金融方面扮演著重要的角色，它有效解決了金融的相關(guān)問題。本文分析了正倒向隨機(jī)微分方程的概況，闡述了正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解在金融中的運(yùn)用，旨在推動(dòng)我國(guó)金融市場(chǎng)的健康、穩(wěn)定與有序發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】正倒向隨機(jī)微分方程 數(shù)值解 金融

一、引言

近幾年，金融市場(chǎng)不斷擴(kuò)大，各異的、多元的金融產(chǎn)品，吸引了大量的投資者，為了滿足不同投資者的投資需求，金融市場(chǎng)日漸完善、金融產(chǎn)品愈加豐富。新時(shí)期，金融市場(chǎng)的發(fā)展?fàn)顩r得到了人們的普遍關(guān)注，為了有效、準(zhǔn)確地分析金融市場(chǎng)，以此減少金融危機(jī)的影響，各種分析方法與數(shù)理手段被引入，如：馬科維茨現(xiàn)代投資組合理論、期權(quán)定價(jià)公式及新型的金融數(shù)學(xué)分析等。自20世紀(jì)，倒向隨機(jī)微分方程在金融領(lǐng)域的應(yīng)用逐漸增多的，同時(shí)，非線性倒向隨機(jī)微分方程的解的唯一性問題也得到了解決，并且將倒向隨機(jī)微分方程和金融問題進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合，在此基礎(chǔ)上，促進(jìn)了金融數(shù)學(xué)問題的有效解決。

二、正倒向隨機(jī)微分方程的概況

在20世紀(jì)，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家均十分關(guān)注正向隨機(jī)微分方程理論，通過研究，推動(dòng)了概率論與應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。在1973年，Bismut提出了倒向隨機(jī)微分方程，此后相關(guān)的學(xué)者也對(duì)其進(jìn)行了研究，但其理論與應(yīng)用僅體現(xiàn)在線性倒向隨機(jī)微分方程問題的解決；在1978年，Bismut提出了非線性倒向隨機(jī)微分方程的唯一性定理與比較定理。本文主要以正倒向隨機(jī)微分方程為研究對(duì)象，它又稱為全耦合正倒向隨機(jī)微分方程，是指與正向隨機(jī)微分方程相耦合的倒向隨機(jī)微分方程，即：一個(gè)正向與倒向的隨機(jī)微分方程相聯(lián)，二者構(gòu)成隨機(jī)微分方程組[1]。

三、正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解在金融中的運(yùn)用

（一）正倒向隨機(jī)微分方程在金融中的運(yùn)用

1.資產(chǎn)定價(jià)問題。在利用正倒向隨機(jī)微分方程分析金融問題時(shí)，應(yīng)掌握相關(guān)的理論，并借助金融模型展開探討。對(duì)于典型的金融數(shù)據(jù)模型而言，主要是指資產(chǎn)定價(jià)問題，此問題的特點(diǎn)為時(shí)間具有連續(xù)性，同時(shí)總資產(chǎn)是由不同資產(chǎn)所構(gòu)成的，可以表示為n+1種資產(chǎn)，其中含有一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，如：債券，此時(shí)可以表示為P0，短期利率為rt，此時(shí)的方程為dP0t=P0trtdt，其余資產(chǎn)均為風(fēng)險(xiǎn)證券，如：股票，此時(shí)的資產(chǎn)表示為Pi，其線性隨機(jī)微分方程為

■

假設(shè)：短期利率、股票回報(bào)率、波動(dòng)率矩陣均為可料有界過程，此時(shí)的可料有界過程向量為θ，稱其為風(fēng)險(xiǎn)偏好，在此情況下，市場(chǎng)屬于動(dòng)態(tài)完備市場(chǎng)。

案例分析：以小投資者為研究對(duì)象，經(jīng)正倒向隨機(jī)微分方程分析可知，其財(cái)富過程為■，此時(shí)的策略為自融資策略，其投資行為與投資策略均未對(duì)金融市場(chǎng)造成影響，即：股市及債券市場(chǎng)的價(jià)格無變化。對(duì)于小投資者而言，其自融資是指在投資開始時(shí)，投入一定數(shù)量的資金，此后，不投入新的資金，僅利用有限的初始投資進(jìn)行運(yùn)作，在金融市場(chǎng)中，對(duì)自身資產(chǎn)進(jìn)行隨意的分配與組合。

2.期權(quán)定價(jià)問題。在金融市場(chǎng)中，期權(quán)定價(jià)模型具有常見性，此模型根據(jù)收益的性質(zhì)將金融市場(chǎng)進(jìn)行了劃分，具體包括確定性收益與不確定性收益兩種金融市場(chǎng)，前者有債券市場(chǎng)、銀行利率等，后者有股票市場(chǎng)。在股票市場(chǎng)中，投資者的投資受不確定因素的影響，具有一定的波動(dòng)，為了保證投資者的權(quán)益，應(yīng)積極解決金融期權(quán)定價(jià)問題，以此明確現(xiàn)有時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值。

案例分析：以某投資者為研究對(duì)象，其根據(jù)定價(jià)要求注入初始資金，通過期權(quán)定價(jià)模型分析可知，其收益分為確定性與不確定性收益。為了掌握現(xiàn)在時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值，在市場(chǎng)完備的情況下，利用線性倒向隨機(jī)微分方程，便可以解決此問題[2]。

3.大投資者的金融問題。上述兩種情況討論的對(duì)象均為小投資者，其投資規(guī)模相對(duì)較小，投資決策未影響金融市場(chǎng)，股票、債券價(jià)格未隨著其投資組合而出現(xiàn)變化。但隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，大投資者所占的比重不斷加大，其投資策略的影響相對(duì)較大，為了保證金融市場(chǎng)的健康發(fā)展，需要利用正倒向隨機(jī)微分方程，以此明確此類投資者的非線性投資策略。

案例分析：以大投資者為研究對(duì)象，根據(jù)研究可知，大投資的金融模型的隨機(jī)微分方程為：

■，

■

經(jīng)整理，可獲得正倒向隨機(jī)微分方程，如下：

■，

■。

（二）正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解法

根據(jù)上述隨機(jī)微分方程相關(guān)理論在金融中的運(yùn)用可知，正倒向隨機(jī)微分方程的應(yīng)用價(jià)值顯著，但在求解過程中，其難度較大，特別是倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解始終缺少精準(zhǔn)性。根據(jù)國(guó)外學(xué)者的研究可知，倒向隨機(jī)微分方程可利用θ格式進(jìn)行處理，但正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解研究尚無。

根據(jù)正倒向隨機(jī)微分方程可知，其解具有唯一性，其中涉及的記號(hào)應(yīng)包括時(shí)間步長(zhǎng)與最大時(shí)間步長(zhǎng)，同時(shí)要選用相應(yīng)的推倒公式，以此解決正倒向隨機(jī)微分方程的倒向隨機(jī)微分方程，目前此部分處理可借助歐拉格公式完成，此后對(duì)正倒向隨機(jī)微分方程進(jìn)行離散，并且借助Mente-Carlo方法、N叉樹方法估計(jì)條件數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)期望。通過實(shí)例，比較二叉樹、三叉樹與四叉樹所解方程的誤差可知，后兩種的誤差較小，因此，借助多叉樹進(jìn)行計(jì)算，其精度相對(duì)較高[3]。

四、總結(jié)

綜上所述，在金融市場(chǎng)快速發(fā)展過程中，金融交易方式與金融產(chǎn)品愈加豐富，進(jìn)而促進(jìn)了社會(huì)資源的合理分配，但受金融危機(jī)的影響，制約著金融市場(chǎng)的發(fā)展，隨之生成了新的交易方式與金融產(chǎn)品，但目前，金融市場(chǎng)發(fā)展仍面對(duì)諸多的問題，如：資產(chǎn)定價(jià)問題、期權(quán)定價(jià)問題等，為了有效解決上述問題，正倒向隨機(jī)微分方程得到了學(xué)者的廣泛關(guān)注，將其應(yīng)用于金融之中，為金融市場(chǎng)的健康、穩(wěn)定與有序發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]張微.非耦合、弱耦合正倒向隨機(jī)微分方程的高階數(shù)值方法及誤差估計(jì)[D].山東大學(xué)，2014.

[2]隋圓圓.正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值方法及其在金融與雙曲型方程柯西問題中的應(yīng)用[D].山東大學(xué)，2013.

[3]許振宇.Girsanov變換在倒向隨機(jī)微分方程和亞式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[D].山東大學(xué)，2012.