基于粒子濾波的NAR模型狀態(tài)過程估計

陳亞靜，蔡如華，吳孫勇，桂叢楠

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林　541004)

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基于粒子濾波的NAR模型狀態(tài)過程估計

陳亞靜，蔡如華，吳孫勇，桂叢楠

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004)

針對狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是非線性自回歸(NAR)模型的一類動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)估計問題，提出利用粒子濾波(PF)方法估計NAR模型狀態(tài)。該方法用正交最小二乘法建立NAR模型，得到系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程，利用PF方法估計NAR模型狀態(tài)，減少因參數(shù)估計帶來的狀態(tài)估計誤差。仿真實驗表明，基于PF方法估計NAR模型狀態(tài)是可行的，且比傳統(tǒng)的NAR模型估計精度更高。

粒子濾波；狀態(tài)空間模型；NAR模型；正交最小二乘法

在金融數(shù)據(jù)預(yù)測、光纖陀螺信號處理、區(qū)域降雨量預(yù)測等時間序列問題研究中，發(fā)現(xiàn)很多時間序列具有非線性特征，用傳統(tǒng)的時間序列分析方法如ARMA模型、卡爾曼濾波(KF)[1-2]雖然可取得較好的效果，但對于強(qiáng)非線性非高斯問題處理效果不佳。為此，有學(xué)者利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-4]等非線性方法彌補(bǔ)線性模型的不足，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法訓(xùn)練過程復(fù)雜且神經(jīng)節(jié)點數(shù)量難以確定。非線性自回歸模型具有明確的解析表達(dá)式，結(jié)構(gòu)和參數(shù)采用正交最小二乘法確定，很好地擬合了非線性時間序列[5-7]。由于NAR模型參數(shù)是利用有限特定樣本求出，并不能適用于所有情況，因此，隨時間推移由參數(shù)估計帶來的誤差會越來越大，導(dǎo)致狀態(tài)估計不準(zhǔn)確。為此，引入狀態(tài)空間模型理論，利用能很好處理非線性、非高斯問題的粒子濾波方法[8-10]估計NAR模型狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)得到最新觀測數(shù)據(jù)時，對粒子進(jìn)行更新，得到狀態(tài)修正值，提高濾波精度。

1　NAR模型原理

考慮時序NAR模型

(1)

其中：g(·)為非線性函數(shù)；﹛xt﹜，t=1,2,…,N為時間序列；εt為滿足期望為0、方差為σ2的高斯白噪聲。對于任意一個連續(xù)的非線性函數(shù)都可由多項式逼近，故式(1)可由多項式非線性AR模型近似，即

(2)

簡寫成

(3)

利用非線性自回歸模型對時間序列建模時，需利用推廣的Gram-Schmidt正交化方法同時確定模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)，進(jìn)而利用粒子濾波器進(jìn)行濾波，從含有噪聲的觀測數(shù)據(jù)中估計NAR模型狀態(tài)。

2　基于粒子濾波的NAR模型狀態(tài)估計

2.1粒子濾波模型的建立

粒子濾波是估計非線性、非高斯系統(tǒng)狀態(tài)的一類濾波器，為實現(xiàn)NAR模型系統(tǒng)狀態(tài)的估計，需要建立基于NAR模型的粒子濾波模型，即系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程。

用推廣的Gram-Schmidt正交化方法確定NAR模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)[7]。考慮有N個真實觀測值，則式(3)寫成矩陣形式為

X=Zψ+ε，

(4)

即

(5)

從式(5)的M列回歸項矩陣Z中選出Ms列對模型貢獻(xiàn)大的時間序列，使得

(6)

其中：W=[W1,W2,…,WΜ]Ν×M為正交矩陣；B為上三角矩陣。由式(4)和式(6)可得

(7)

(8)

式(8)兩邊同除以XTX，得

(9)

令

(10)

1)令W1(i)=Zi，i=1，2，…，M，則

求出e1(i)的最大值為e1(j)，則W1=Zj就是尋找的Ws的第1列，且g1=g1(j)，e1=e1(j)。

2)令i=1，2，…，M，i≠j，則

3)重復(fù)步驟1)、2)，當(dāng)AIC(Μs+1)≥AIC(Μs)時停止，則找到的新的回歸項記為Zs=WsBs，對應(yīng)的模型參數(shù)ψs可由Bsψs=gs得到。

4)通過上述步驟，式(2)可化簡為：

(11)

其中：ai(1≤i≤S)為正交最小二乘法確定的NAR模型系數(shù)；S為模型階次；Zi(1≤i≤S)為選擇的對模型有顯著意義的回歸項，且Z1=1。

由式(11)可建立基于NAR模型的粒子濾波模型：

(12)

2.2狀態(tài)估計的實現(xiàn)

2.3狀態(tài)估計的評價指標(biāo)

為了評價基于PF方法的NAR模型狀態(tài)估計的精度，采用下列3個精度評價指標(biāo):平均絕對誤差

(13)

平均絕對百分比誤差

(14)

均方根誤差

(15)

3　仿真實驗及結(jié)果分析

針對給定的一組原始仿真數(shù)據(jù),利用推廣的Gram-Schmidt正交化方法建立NAR模型,然后根據(jù)狀態(tài)空間模型理論建立基于NAR模型的粒子濾波模型：

(16)

其中：xt為狀態(tài)量；zt為實測仿真數(shù)據(jù)；ai(1≤i≤4)為NAR模型系數(shù)，由正交最小二乘法得到其對應(yīng)的值分別為-0.612 9、0.590 8、0.927 9、1.426 4。

由Matlab編程，得到對應(yīng)的狀態(tài)值和量測值如圖1所示。由基本粒子濾波狀態(tài)估計方法，設(shè)置蒙特卡洛實驗參數(shù)：每次實驗的粒子數(shù)N=10 000，持續(xù)時間t=95s，隨機(jī)均勻產(chǎn)生初始粒子。通過式(16)實現(xiàn)系統(tǒng)的預(yù)測和更新過程，得到對應(yīng)的狀態(tài)估計值，與傳統(tǒng)的NAR模型估計結(jié)果比較如圖2所示，同時得到2種方法對應(yīng)的估計誤差如圖3所示。

圖1　狀態(tài)值和量測值Fig.1　State values and measurement values

圖2　PF-NAR和NAR方法狀態(tài)估計值與真實狀態(tài)值Fig.2　State estimation values of PF-NAR and NAR

圖3　PF-NAR和NAR方法的估計誤差Fig.3　Estimation errors of PF-NAR and NAR

從圖2可看出，前20s兩種方法的估計結(jié)果相差無幾，20s之后，由于誤差影響逐漸增加，PF-NAR估計優(yōu)于NAR估計，說明考慮量測信息實時修正估計結(jié)果的粒子濾波方法比傳統(tǒng)的NAR估計結(jié)果精度高。從圖3也可看出，PF-NAR方法的誤差雖然有波動，但比NAR方法的誤差波動小得多，且在零值附近隨機(jī)波動。分別采用平均絕對誤差、平均絕對百分比誤差和均方根誤差3個精度評價指標(biāo)對PF-NAR的估計結(jié)果進(jìn)行評估，并與NAR估計結(jié)果進(jìn)行比較，得到的精度評價指標(biāo)比較值如表1所示。從表1可看出，粒子濾波估計NAR過程狀態(tài)比傳統(tǒng)的NAR模型估計精度更高。

表1　PF-NAR和NAR估計精度指標(biāo)

4　結(jié)束語

對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是非線性自回歸模型的一類動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)估計問題，由于傳統(tǒng)參數(shù)估計造成的誤差積累使NAR模型狀態(tài)估計不準(zhǔn)確，采用PF方法實現(xiàn)NAR模型狀態(tài)估計。針對建立的NAR模型，引入狀態(tài)空間模型理論轉(zhuǎn)換成粒子濾波模型，利用能很好處理非線性、非高斯問題的PF方法從含有噪聲的觀測數(shù)據(jù)中實現(xiàn)濾波過程，估計出NAR模型狀態(tài)，并與傳統(tǒng)的NAR模型估計結(jié)果比較。從仿真結(jié)果可看出，用粒子濾波方法來估計此類非線性系統(tǒng)狀態(tài)是可行的，且取得了較好的濾波效果。

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編輯：翁史振

Estimation of NAR model state based on particle filter

CHEN Yajing, CAI Ruhua, WU Sunyong, GUI Congnan

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

For a class of dynamic system optimal estimation problem that the state transition equation is nonlinear auto-regressive(NAR) model, a particle filter method is proposed to estimate NAR model state. Firstly NAR model is established by using the orthogonal least squares, and the state equation and measurement equation of the system are established according to NAR model. And then NAR model state is estimated by the particle filter method to reduce the state estimation error. Simulation experiments show that the estimation of NAR model state based on particle filter is feasible, and the estimation precision is higher than the traditional NAR model.

particle filter; state-space model; NAR model; orthogonal least squares

2015-12-15

國家自然科學(xué)基金(61261033,41201479，61062003,61162007)；廣西自然科學(xué)基金(2013GXNSFBA019270)

蔡如華(1971-)，男，廣西玉林人，副教授，研究方向為小波信號處理。E-mail:ruhuac@guet.edu.cn

TN911

A

1673-808X(2016)03-0178-04

引文格式： 陳亞靜，蔡如華，吳孫勇，等.基于粒子濾波的NAR模型狀態(tài)過程估計[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報，2016,36(3):178-181.