層狀雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙特性研究

祁鵬山，杜軍，姜久龍，董亞科，張佳龍

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層狀雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙特性研究

祁鵬山，杜軍，姜久龍，董亞科，張佳龍

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038)

設(shè)計(jì)了一種層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體，并將其等效為一維聲子晶體，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)出了該結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)；在該帶隙范圍內(nèi)彈性波或聲波的傳播能夠得到有效抑制，實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的控制。同時(shí)，分析了取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化以及改變硅橡膠層厚度對(duì)第一帶隙的影響。結(jié)果表明，該結(jié)構(gòu)與簡(jiǎn)單二元結(jié)構(gòu)相比，在降低帶隙頻率的同時(shí)有效減輕了結(jié)構(gòu)質(zhì)量，且“內(nèi)部周期”主要影響帶隙寬度；當(dāng)增加硅橡膠層的厚度時(shí)，帶隙頻率進(jìn)一步降低。

聲子晶體；雙周期；噪聲控制；傳遞矩陣法；有限元

0 引言

近年來，在天然晶體中電子能帶理論的啟發(fā)下，人們對(duì)周期復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)中經(jīng)典波傳播進(jìn)行了深入研究。聲子晶體(Phononic Crystals)是由兩種或兩種以上材料組成的周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)。這些材料或結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)典波有良好的帶通和帶阻特性。如何利用周期結(jié)構(gòu)中的帶阻特性進(jìn)行噪聲和振動(dòng)的控制，特別是低頻帶隙的獲取，也已成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)[1-5]。

一維聲子晶體由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而且易于獲得較寬的帶隙，因此有可能在減振降噪等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。目前，關(guān)于聲子晶體新型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)也是一個(gè)研究的熱門領(lǐng)域。對(duì)于一維二組元聲子晶體的研究相對(duì)比較成熟，在帶隙計(jì)算方法領(lǐng)域，文獻(xiàn)[6-7]分別采用集中質(zhì)量法和傳遞矩陣法計(jì)算得到了二組元結(jié)構(gòu)帶隙，并分析了帶隙的影響因素；文獻(xiàn)[8]發(fā)展了一種基于小波的帶隙計(jì)算方法，該方法與傳統(tǒng)平面波展開法相比，在得到同樣精度的條件下，顯著降低了計(jì)算量，提高了計(jì)算速度；文獻(xiàn)[9]提出了一種基于移動(dòng)最小二乘的無網(wǎng)格方法用于計(jì)算聲子晶體帶隙；另外，利用成熟的有限元分析軟件對(duì)聲子晶體帶隙進(jìn)行計(jì)算也是一種可取的方法[10-11]。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，文獻(xiàn)[12]在二元結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上將層狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的原胞設(shè)計(jì)為三組元結(jié)構(gòu)，得到了較低的帶隙頻率；文獻(xiàn)[13]在一維二組元結(jié)構(gòu)聲子晶體的散射體兩側(cè)引入添加層，構(gòu)成一維四組元結(jié)構(gòu)，在得到低頻帶隙的同時(shí)有效降低了結(jié)構(gòu)的整體密度；文獻(xiàn)[14]將兩種二元結(jié)構(gòu)的聲子晶體復(fù)合，得到的復(fù)合結(jié)構(gòu)兼顧二者的性能特點(diǎn)，該結(jié)構(gòu)有效拓寬了帶隙寬度。文獻(xiàn)[15]在二組元結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種具有嵌套結(jié)構(gòu)的一維聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了巨帶隙以及局域模。可見，對(duì)一維聲子晶體原胞結(jié)構(gòu)的研究已有了很多成果，但大都是考慮了單一周期性。由于周期性結(jié)構(gòu)是Bragg散射型聲子晶體的核心要素，本文在傳統(tǒng)層狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的基礎(chǔ)上引入“內(nèi)部周期”，設(shè)計(jì)了層狀雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體，利用傳遞矩陣法得到其帶隙。同時(shí)，分析了取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化以及改變硅橡膠層厚度對(duì)第一帶隙的影響。

1 層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)理論建模

如圖1所示是一種由三種材料按結(jié)構(gòu)沿方向排列的層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的一個(gè)元胞。將“”稱為一個(gè)外部周期，相應(yīng)的將“”稱為一個(gè)內(nèi)部周期，每個(gè)外部周期內(nèi)包含兩個(gè)內(nèi)部周期。其中，為晶格常數(shù)，為各組元的厚度。

若層狀結(jié)構(gòu)的非周期方向(方向)尺寸遠(yuǎn)大于周期方向(方向)尺寸，則該結(jié)構(gòu)可視為一維聲子晶體結(jié)構(gòu)[5]。

下面采用傳遞矩陣法推導(dǎo)該結(jié)構(gòu)聲子晶體的色散關(guān)系。

聲子晶體中彈性波運(yùn)動(dòng)方程為[1,4,10]：

考慮簡(jiǎn)諧平面波的情況，可設(shè)

其中，為角頻率。

聯(lián)立(1)、式(2)得：

求解該微分方程，得其通式為：

(4)

將式(5)表示成矩陣形式為

(6)

(7)

將式(7)表示成矩陣形式：

其中，、分別表示系數(shù)矩陣。聯(lián)立式(6)、(8)可得第個(gè)元胞與第-1個(gè)元胞之間的關(guān)系：

(9)

由于方向的周期性，利用布洛赫定理可以得到：

其中，為標(biāo)量形式的一維布洛赫波矢。

聯(lián)立式(9)、(10)可得到標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問題：

其中，I為2×2單位矩陣。

通過求解矩陣的特征值，即可得到波矢與頻率之間的色散關(guān)系：

2 仿真結(jié)果及分析

針對(duì)層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)，分析其與簡(jiǎn)單二元結(jié)構(gòu)第一帶隙的差異、取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化，以及改變硅橡膠層的厚度對(duì)第一帶隙的影響。

2.1 與簡(jiǎn)單二元結(jié)構(gòu)的比較

兩種結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)都為4 cm，為使比較更具合理性，簡(jiǎn)單二元結(jié)構(gòu)由“”構(gòu)成，各組分厚度均為2 cm。雙周期結(jié)構(gòu)的各組分厚度均為8 mm。選取材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

圖2、圖3分別為簡(jiǎn)單二元結(jié)構(gòu)和雙周期結(jié)構(gòu)的能帶圖。由圖可得，二元結(jié)構(gòu)第一帶隙下邊界頻率為90.04 kHz，上邊界頻率為377.6 kHz，帶寬為287.56 kHz；雙周期結(jié)構(gòu)第一帶隙下邊界頻率為1.438 kHz，上邊界頻率為9.013 kHz，帶寬為7.575 kHz；在該頻率范圍內(nèi)，彈性波將不會(huì)在該結(jié)構(gòu)中傳播。

與二元結(jié)構(gòu)相比，雙周期結(jié)構(gòu)在晶格常數(shù)不變的情況下，第一帶隙下降到1.438~9.013 kHz，這對(duì)于實(shí)際應(yīng)用有了很明顯的幫助，同時(shí)由于金屬組分的減小，增加了密度相對(duì)較小的硅橡膠，一方面減小了制造成本，另一方面降低了材料的整體密度。通過計(jì)算，相同尺寸的兩種結(jié)構(gòu)，雙周期結(jié)構(gòu)的質(zhì)量降低了14.87%。

2.2 取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化

為更好地反映“雙周期”對(duì)帶隙的影響，將層狀五組元結(jié)構(gòu)改變?yōu)椤啊苯Y(jié)構(gòu)，從而取消了內(nèi)部周期。保持晶格常數(shù)不變，且各組分厚度均為8 mm。能帶結(jié)構(gòu)如圖4所示，第一帶隙頻率為1.394~1.476 kHz,帶寬僅為0.082 kHz，第一帶隙上、下邊界頻率均向低頻方向移動(dòng)。但下邊界頻率移動(dòng)幅度很小，上邊界頻率下降較多，帶寬明顯減小。

與雙周期結(jié)構(gòu)相比，內(nèi)部周期對(duì)帶隙下邊界影響較小，主要對(duì)帶隙上邊界存在較為明顯的作用，體現(xiàn)為帶寬的減小。

2.3 硅橡膠層厚度對(duì)帶隙的影響

根據(jù)雙周期結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系，研究硅橡膠層的厚度變化對(duì)第一帶隙的影響。令硅橡膠層厚度從8 mm增加至20 mm，其他各組元厚度比保持1∶1。具體結(jié)果見表2及圖5。

表2 硅橡膠層厚度變化對(duì)第一帶隙的影響

由表2及圖5可得，當(dāng)硅橡膠層的厚度增加時(shí)，第一帶隙上、下邊界頻率都向低頻方向移動(dòng)，但是上邊界頻率下降速度較快，因此帶寬也變窄。

3 結(jié)論

(1) 層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)在晶格常數(shù)保持不變的前提下，能夠有效減低第一帶隙的頻率，而且相同尺寸的該結(jié)構(gòu)質(zhì)量明顯降低。

(2) 取消該結(jié)構(gòu)的內(nèi)部周期后，發(fā)現(xiàn)第一帶隙下邊界頻率略降低，上邊界頻率降低較為明顯，帶隙寬度大幅度變窄，說明雙周期結(jié)構(gòu)主要對(duì)一維層狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的帶寬產(chǎn)生作用。

(3) 增加硅橡膠層的厚度，第一帶隙上、下邊界頻率均減小，帶寬也變窄。通過適當(dāng)調(diào)整各組分參數(shù)，能夠獲得合適的帶隙范圍。

[1] Alireza Bayat, Faramarz Gordaninejad. Band-gap of a soft magnetortheological phononic crystal[J]. Journal of vibration and acoustics, 2015, 137(1): 011011-1-8.

[2] Arif Hasan M, Cho Shinhu, Kevin Remick, et al. Experimental study of nonlinear acoustic bands and propagating breathers in ordered granular media embedded in matrix[J]. Granular Matter, 2015, 17(9): 49-72.

[3] LI Yan, WU Ying, MEI Jun. Double Dirac cones in phononic crystals [J]. Applied Physics Letter, 2014, 105(1): 014107-1-5.

[4] Gomopoulos N, Maschke D,Koh C Y, et al. One-Dimensional Hypersonic Phononic Crystals [J]. Nano Lett, 2010, 10(3): 980-984.

[5] GUO Xu, CHENG Geng-dong. Recent development in structure design and optimization[J]. Acta Mech Sin, 2010, 26(6): 807-823.

[6] 溫激鴻, 王剛, 劉耀宗, 等. 基于集中質(zhì)量法的一維聲子晶體彈性波帶隙計(jì)算[J]. 物理學(xué)報(bào), 2004, 53(10): 3384-3388. WEN Jihong, WANG Gang, LIU Yaozong, et al. Calculating the one dimensional phononic crystal elastic wave band gaps based on the focus quality method[J]. Journal of Physics, 2004, 53(10): 3384-3388.

[7] 溫熙森, 溫激鴻, 郁殿龍, 等. 聲子晶體[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2009: 53-60. WEN Xisen, WEN Jihong, YU Dianlong, et al. Phononic Crystals [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2009.

[8] 閆志忠, 汪越勝. 一維聲子晶體彈性波帶隙計(jì)算的小波方法[J].中國(guó)科學(xué)G輯: 物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué), 2007, 37(4): 544-551. YANG Zhizhong, WANG Yuesheng. One dimensional phononic crystal wavelet method to compute the elastic wave band gaps[J]. Chinese Science G Series: Physics, Mechanics, Astronomy, 2007, 37(4): 544-551.

[9] 劉曉健. 新型聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算及分析[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2013: 13-22. LIU Xiaojian. The band gap calculation and analysis of new phononic crystal structures[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2013: 13-22.

[10] 李鍵寶, 汪越勝, 張傳增. 二維聲子晶體微腔能帶結(jié)構(gòu)的有限元分析與設(shè)計(jì)[J]. 人工晶體學(xué)報(bào), 2010, 39(3): 649-664. LI Jianbao, WANG Yuesheng, ZHANG Chuanzeng. The two- dimensional phononic crystal finite element analysis and design of microcavity band structure[J]. Journal of Artificial Crystal, 2010, 39(3): 649-664.

[11] 高斌, 于桂蘭, 李建寶. 流固耦合二維聲子晶體的數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究[J]. 人工晶體學(xué)報(bào), 2010, 39(3): 680-686. GAO Bin, YU Guilan, LI Jianbao. The numerical simulation and experimental research of fluid-solid coupling two-dimensional phononic crystal[J]. Journal of Artificial Crystal, 2010, 39(3)：680-686.

[12] 陳源, 李競(jìng), 黃濤, 等. 層狀三元周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算[J]. 噪聲與振動(dòng)控制, 2014, 34(1): 19-22. CHEN Yuan, LI Jing, HUANG Tao, et al. Analysis of the band gap of a layered triple periodic structure[J]. Noise and Vibration Control, 2014, 34(1): 19-22.

[13] 李碩. 聲子晶體在減振降噪中的應(yīng)用基礎(chǔ)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012:13-19. LI Shuo. Phononic crystal basic research in the application of vibration damping and noise reduction[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2012: 13-19.

[14] 曾廣武, 肖偉, 程遠(yuǎn)勝. 多組聲子晶體復(fù)合結(jié)構(gòu)的隔聲性能[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2007, 26(1): 80-83. ZENG Guangwu, XIAO Wei, CHENG Yuansheng. Sound isolation of composite structure consisting of multiphononic crystals[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(1): 80-83.

[15] 胡家光, 徐文, 邱學(xué)云. 一維嵌套結(jié)構(gòu)聲子晶體透射特性[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(2): 183-18. HU Jiaguang, XU Wen, QIU Xueyun. Transmission characteristic of elastic wave through one-dimensional nesting complex structure phononic crystal[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(2): 183-187.

Band gap characteristics of the layered phononic crystal with double-cycle structure

QI Peng-shan, DU Jun, JIANG Jiu-long, DONG Ya-ke, ZHANG Jia-long

(Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038,Shaanxi,China)

A layered phononic crystal structure with five elements and double cycle is designed, and it is simplified to a one-dimensional phononic crystal. Then, the band structure is derived by using transfer matrix method. The elastic wave or sound wave propagation can be effectively suppressed within the range of the band gaps and the noise control can be achieved. Meantime, the first bad gap is changed when the internal cycle is cancelled and the effect of rubber layer thickness on the width of first band gap is analyzed. The results show that this structure can get lower band gap frequency and lower structure mass compared with the simple two element structure, and the internal cycle mainly affects the band gap width. With the thickness of rubber layer increases, the band gap frequency is reduced further.

phononic crystal; double cycle; noise control; transfer matrix method; finite element

TB53 TH113.1

A

1000-3630(2016)-04-0303-05

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.04.004

2015-10-20;

2016-01-25

祁鵬山(1992－), 男, 甘肅武威人, 碩士研究生, 主要研究方向?yàn)槁曌泳w減振降噪。

祁鵬山, E-mail: qipengshan@126.com