基于MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差分析

曹慧芳,呂洪波,孫啟國(guó)

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與材料工程學(xué)院,北京　100144)

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基于MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差分析

曹慧芳,呂洪波,孫啟國(guó)

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與材料工程學(xué)院,北京100144)

為了提高M(jìn)EMS陀螺儀測(cè)量精度，減少隨機(jī)誤差的影響，對(duì)產(chǎn)生隨機(jī)誤差的噪聲源及其隨機(jī)誤差模型進(jìn)行了分析;通過(guò)分析MEMS陀螺儀自身結(jié)構(gòu)的缺陷并且對(duì)其輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的濾波處理與平穩(wěn)性檢驗(yàn)，確立了合適的誤差模型并利用Kalman濾波進(jìn)行誤差補(bǔ)償，驗(yàn)證了模型的有效性;同時(shí)運(yùn)用Allan方差法對(duì)MEMS陀螺儀噪聲項(xiàng)進(jìn)行了分析，確定了影響MEMS陀螺儀測(cè)量性能的主要因素以及比較了濾波前后的各項(xiàng)噪聲源系數(shù)，檢驗(yàn)了濾波效果且實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明誤差模型顯著提高了MEMS陀螺儀的測(cè)量精度。

MEMS陀螺儀；Kalman濾波；誤差模型；Allan方差法

0　引言

現(xiàn)今，慣性技術(shù)[1]憑借其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)成為促進(jìn)武器研發(fā)和提高作戰(zhàn)水平的關(guān)鍵技術(shù)。陀螺儀作為慣性技術(shù)的核心部件，在其研究工作中首先考慮的就是陀螺儀的使用和研究。

近年來(lái)，文獻(xiàn)[2-5]是國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)陀螺儀隨機(jī)誤差模型進(jìn)行的相關(guān)研究。美國(guó)德雷伯實(shí)驗(yàn)室[6]通過(guò)對(duì)重要的環(huán)境誤差源進(jìn)行研究,降低了環(huán)境對(duì)陀螺儀精度的影響。加拿大Calgary大學(xué)[7]開(kāi)展的基于捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的研究中,針對(duì)陀螺儀偏差的長(zhǎng)期漂移進(jìn)行了估計(jì)和補(bǔ)償，顯著提高了導(dǎo)航系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。國(guó)防科技大學(xué)羅兵[8]結(jié)合微機(jī)械陀螺的動(dòng)力學(xué)模型及工作原理，理論上推導(dǎo)了零偏與主要模態(tài)參數(shù)間的關(guān)系，為陀螺的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和誤差補(bǔ)償提供了理論指導(dǎo)。但是，我國(guó)開(kāi)展慣性器件模型辨識(shí)及補(bǔ)償技術(shù)的研究起步較晚,尤其微機(jī)械慣性傳感器距世界先進(jìn)水平還有一定的差距。

本文對(duì)振動(dòng)式MEMS陀螺器件本身結(jié)構(gòu)不完善引起的隨機(jī)誤差模型進(jìn)行了研究,運(yùn)用隨機(jī)信號(hào)處理方法及時(shí)間序列分析法建立了陀螺隨機(jī)誤差的AR模型, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了模型的準(zhǔn)確性以及對(duì)器件測(cè)量性能的提高。

1　MEMS陀螺儀工作原理及結(jié)構(gòu)

1.1MEMS陀螺儀工作原理

振動(dòng)式微機(jī)械陀螺儀的基本原理是利振動(dòng)質(zhì)量塊被基座帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的Coriolis力來(lái)感測(cè)角速度的。Coriolis力是指在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系下，系統(tǒng)中以速度V運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m的質(zhì)量塊，在存在角速度w時(shí),產(chǎn)生Coriolis力F，且F=2 mwV,其方向垂直于速度方向和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度方向所在平面。由Coriolis力定義可知，輸入角速率與作用在質(zhì)量塊上的Coriolis力成正比，而且只有質(zhì)量塊有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)才會(huì)產(chǎn)生Coriolis力。因此，質(zhì)量塊要在激勵(lì)模態(tài)下連續(xù)地做徑向運(yùn)動(dòng)以刺激Coriolis力在敏感模態(tài)下不停的做橫向振動(dòng)。MEMS陀螺儀一般分別在徑向和橫向接可移動(dòng)電容板，通過(guò)測(cè)量橫向電容的變化推算出角速度。

1.2MEMS陀螺儀結(jié)構(gòu)

振動(dòng)質(zhì)量塊作為傳感角速率的敏感元件，如圖1所示，它可在互相垂直的驅(qū)動(dòng)方向與傳感方向自由振動(dòng)，其整體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是二維彈性阻尼系統(tǒng)。在驅(qū)動(dòng)方向上，質(zhì)量塊受到激勵(lì)以共振頻率穩(wěn)定地來(lái)回振動(dòng)，當(dāng)陀螺儀轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在Coriolis力的作用下，質(zhì)量塊在傳感方向以敏感模態(tài)同頻振動(dòng)，由此獲得角速率信息。盡管大部分MEMS陀螺儀的驅(qū)動(dòng)和傳感模式相互匹配，但由于非線性阻尼與不等彈性剛度引起的交叉耦合噪聲使陀螺儀測(cè)量精度受限。

此外，由于微機(jī)械傳感器是一次成型,不能隨應(yīng)用需求和應(yīng)用環(huán)境作出相應(yīng)的更改,從而會(huì)因環(huán)境的變化導(dǎo)致較大的誤差。況且，目前的加工工藝很難達(dá)到高精度的要求。所以，目前提高M(jìn)EMS陀螺儀測(cè)量精度主要措施是對(duì)其誤差進(jìn)行分析建模從而進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償。

圖1MEMS陀螺儀結(jié)構(gòu)示意圖

2　MEMS 陀螺儀隨機(jī)誤差分析

陀螺隨機(jī)誤差是衡量陀螺精度的一個(gè)重要指標(biāo)，為了減少測(cè)量隨機(jī)誤差，提高M(jìn)EMS陀螺儀性能, 則必須建立陀螺的隨機(jī)誤差模型。

2.1數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)經(jīng)ARMK60內(nèi)部16位A/D轉(zhuǎn)換由串口獲得，波特率為115 200 bps。為確保測(cè)量的可信度，將MEMS陀螺儀放在具有隔震效果的裝置中，并連續(xù)采集靜態(tài)數(shù)據(jù)1.5 h。實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)如圖2所示，且由圖可知陀螺漂移數(shù)據(jù)呈非平穩(wěn)性。而非平穩(wěn)隨機(jī)序列由確定性部分和隨機(jī)部分構(gòu)成，確定性部分可以為某種函數(shù)或者常數(shù)，但確定性部分的具體形式并不重要。運(yùn)用多項(xiàng)式擬合，剔除信號(hào)中確定性成分，并對(duì)剔除后的殘差采用游程法判斷是否滿(mǎn)足平穩(wěn)性。

圖2　MEMS陀螺儀漂移數(shù)據(jù)

將檢驗(yàn)樣本分成40組，求出每一組的均值，然后找出這些均值的中值，并比較各組均值與中值。其中不小于中值的均值用“1”表示，小于中值的均值用“-1”表示。“1”和“-1”交替出現(xiàn)的次數(shù)加上1稱(chēng)為游程數(shù)，用r表示。N1為均值不小于中值的個(gè)數(shù)，N2為均值小于中值的個(gè)數(shù)；當(dāng)N1或N2大于15時(shí)，r近似服從正態(tài)分布，借助正態(tài)分布表確定樣本是否為平穩(wěn)序列。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

N0=N1+N2。

表1　MEMS陀螺漂移游程法檢驗(yàn)參數(shù)表

Allan方差[9]是MEMS陀螺穩(wěn)定性的一個(gè)度量，而在利用Allan方差對(duì)陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)認(rèn)為數(shù)據(jù)中的隨機(jī)部分是由特定且相互獨(dú)立的噪聲源產(chǎn)生。由于Allan方差和功率譜密度(PSD)sΩ(f)之間的關(guān)系是：

上式中，sΩ(f)是隨機(jī)過(guò)程Ω(t)的功率譜密度。由上式在這里定義5種最基本的陀螺誤差噪聲源，如表2所示。

表2　MEMS陀螺儀常用誤差因素和Allan方差

若各噪聲源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則計(jì)算的Allan方差是各類(lèi)型誤差的平方和。則Allan方差σ2(τ) 為：

σ2(τ)=σQ2+σN2+σB2+σK2+σR2

由表2可知：

同時(shí)由表2知，各類(lèi)噪聲的雙對(duì)數(shù)曲線的斜率不同，不同誤差項(xiàng)通常表現(xiàn)在不同的族區(qū)間，因此，由σ2(τ)雙對(duì)數(shù)曲線可以清楚地看出MEMS陀螺儀的各種誤差成分。

圖3　MEMS陀螺儀零漂Allan雙對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差曲線

由圖3可知，雙對(duì)數(shù)Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線斜率可以簡(jiǎn)化為-1/2和1，因此，影響MEMS陀螺儀輸出的主要誤差源為角度隨機(jī)游走和速度斜坡。此外，在MATLAB中采用最小二乘擬合得到各噪聲系數(shù)如表4所示。

2.2建立模型

描述平穩(wěn)隨機(jī)序列的模型主要為ARMA、AR、MA模型,而這3種類(lèi)模型之間的區(qū)別在于它們的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)反應(yīng)出的性質(zhì)不同。利用MATLAB對(duì)去除四次確定項(xiàng)后的殘差進(jìn)行相關(guān)函數(shù)分析，結(jié)果如圖4所示。

圖4　自相關(guān)與偏相關(guān)函數(shù)

由圖4可知該平穩(wěn)隨機(jī)序列自相關(guān)函數(shù)“拖尾”，偏自相關(guān)函數(shù)“截尾”，由此判斷MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差模型為AR模型。

對(duì)AR(p)模型xk=φ1xk-1+φ2xk-2+…+φpxk-p+ak，利用Yule-Walker方程

其中，自相關(guān)矩陣T即為T(mén)oeplitz矩陣。

另外， 白噪聲的方差估計(jì)為

其中： σx2是觀測(cè)值的方差。

由于MEMS陀螺誤差模型的階次較低，一般不會(huì)超過(guò)三次。所以，我們可以估計(jì)出前三階的模型參數(shù)。

盡管隨著模型階次的升高，對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的建模準(zhǔn)確度越高，但由于模型階次的升高，待估模型的參數(shù)也增多，從而導(dǎo)致計(jì)算誤差增大。綜合考慮這兩方面的影響, 采用Akaike信息準(zhǔn)則[10]中的AIC準(zhǔn)則對(duì)模型適用性進(jìn)行檢驗(yàn)。

所謂AIC準(zhǔn)則就是選取使AIC值最小的模型階數(shù)k，其計(jì)算式為

AIC(k)=(N-m)lgσω2+2(k+1)

式中，k為AR(p)模型的階數(shù)，k=1，2，…，m；

σω2為對(duì)應(yīng)于該階數(shù)的AR(p)模型的白噪聲方差估計(jì)。

由于階數(shù)集合m遠(yuǎn)小于樣本容量N，因此上式可以簡(jiǎn)化為

AIC(k)=Nlogσω2+2(k+1)

針對(duì)去除四次確定項(xiàng)殘差用Yule-Walker方程法估計(jì)前三階模型下的參數(shù)并計(jì)算相應(yīng)的AIC值，結(jié)果如表3，且由表可以看出，AR(1)模型的AIC值最小，因此可以初步確定MEMS陀螺隨機(jī)誤差模型為：xk=-0.212 5xk-1+ak，白噪聲方差σα2=0.075 55。

表3　MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差模型參數(shù)及其AIC值

3.3 模型應(yīng)用分析

Kalman濾波是對(duì)隨機(jī)誤差補(bǔ)償?shù)膫鹘y(tǒng)的方法，它實(shí)際是一個(gè)最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，用它來(lái)解決估計(jì)問(wèn)題往往是最優(yōu)且高效的。

利用AR(1)模型，設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

X(k)=AX(k-1)+BW(k)

其中：X(k)是系統(tǒng)狀態(tài)變量，W(k) 為系統(tǒng)噪聲。

由xk=-0.2125xk-1+ak可知，A=-0.2125，B=1。設(shè)系統(tǒng)的量測(cè)方程為

Y(k)=CX(k)+V(k)

其中：Y(k)是系統(tǒng)輸出，V(k)為量測(cè)噪聲，C=1。

假設(shè)W(k)，V(k)相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的白噪聲，即

W(k)～N(0,Q)

V(k)～N(0,R)

其中：Q為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣，其值為σα2，R為量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣，其值為樣本數(shù)據(jù)估計(jì)誤差的方差。

基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，Kalman濾波遞推方程為

Pk,k-1=APk-1AT+BQBT

Kk=Pk,k-1CT(CPk,k-1CT+R)-1

Pk=(I-KkC)Pk,k-1

利用上面建立的Kalman濾波器對(duì)陀螺漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，濾波后的陀螺漂移曲線如圖5所示。

圖5　Kalman濾波后的陀螺漂移曲線

由圖5可知，濾波后MEMS陀螺儀漂移幅度明顯減小且漂移數(shù)據(jù)方差由濾波前的0.789 25減小為0.107 56，從而驗(yàn)證了AR(1)模型的準(zhǔn)確性以及由此模型設(shè)計(jì)的濾波對(duì)測(cè)量精度的提高，從而優(yōu)化了MEMS陀螺儀的測(cè)量性能。

對(duì)kalman濾波后的漂移數(shù)據(jù)再次利用Allan分析，結(jié)果如圖6所示。

圖6　濾波后MEMS陀螺儀零漂Allan雙對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差曲線

由圖6可知，雙對(duì)數(shù)Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線斜率可以簡(jiǎn)化為-1/2，則運(yùn)用AR(1)模型設(shè)計(jì)的Kalman濾波后，影響MEMS陀螺儀輸出的主要誤差源為角度隨機(jī)游走，很好地抑制了速度斜坡噪聲源，且由圖6求得濾波后的各個(gè)噪聲源系數(shù)如表4所示。

表4　濾波前后各噪聲系數(shù)

從表4可以看出，濾波后的各噪聲系數(shù)都明顯降低，尤其

角度隨機(jī)游走系數(shù)縮小了近500倍。所以，雖然濾波后角度隨機(jī)游走噪聲源是影響測(cè)量精度的主要來(lái)源，但也得到了很好的抑制。

3　結(jié)論

文中運(yùn)用隨機(jī)信號(hào)處理方法，結(jié)合振動(dòng)式MEMS陀螺儀工作原理，使用MATLAB軟件對(duì)陀螺儀隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析處理。通過(guò)對(duì)陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的預(yù)處理與模型辨識(shí)，確定采用AR模型來(lái)估計(jì)MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差。運(yùn)用AIC準(zhǔn)則對(duì)模型進(jìn)行適用性檢驗(yàn)以及綜合考慮，得出AR(l)模型最佳，并以此建立了陀螺儀隨機(jī)誤差的Kalman濾波方程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該模型的有效性，以及對(duì)MEMS陀螺儀測(cè)量精度的提高。同時(shí)，利用Allan方差法分析陀螺儀輸出數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)單有效地辨識(shí)MEMS陀螺儀的主要噪聲源，并得出各類(lèi)噪聲對(duì)陀螺儀測(cè)量性能的影響，可為MEMS陀螺儀的改進(jìn)提供具有指導(dǎo)意義的數(shù)據(jù)。

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Analyses on Random Error Based on MEMS Gyroscope

Cao Huifang, Lv Hongbo, Sun Qiguo

(College of Mechanical Engineering and Material, North China University of Technology, Beijing100144,China)

The main noise sources and error model on random error are analyzed in order to improve measurement precision of MEMS gyroscope. A proper model is made in view of the MEMS gyroscope random error after the analysis of the structure defects of MEMS gyroscope and corresponding filtering , smoothness test. And the validity of error model is verified via error compensation derived from the Kalman filter. The principle factors that affect the measurement performance of MEMS gyroscope are confirmed with the analysis of MEMS gyroscope noise items using Allan variance method and the coefficients of various noise sources are compared before and after filtering to examine the filter, the experiment shows that error model significantly improved the precision of the measurement of MEMS gyroscope.

micro-electro-mechanical systems (MEMS) gyroscope; Kalman filter; error model; Allan variance

2015-07-19；

2015-09-14。

北京市教育委員會(huì)科技計(jì)劃項(xiàng)目資助(KM201510009001)。

曹慧芳(1990-)，女，碩士研究生，主要從事移動(dòng)機(jī)器人定位方向的研究。

孫啟國(guó)(1963-)，男，教授，主要從事機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其控制、摩擦學(xué)與工業(yè)潤(rùn)滑技術(shù)等方向的研究。

1671-4598(2016)01-0178-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.01.050

TB114.3

A