二階自治廣義Brikhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔

曹秋鵬,陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州 215009;2.商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院,河南 商丘 476000)

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二階自治廣義Brikhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔

曹秋鵬1,陳向煒2

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州 215009;2.商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院,河南 商丘 476000)

建立二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的微分方程, 得到了該系統(tǒng)奇點(diǎn)分岔的必要條件.然后利用Lypunov-Schmidt方法對(duì)方程降階, 進(jìn)一步研究了帶參數(shù)的二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔.研究表明奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)如果存在多條解曲線, 那么該點(diǎn)為分岔點(diǎn).

廣義Brikhoff系統(tǒng); 奇點(diǎn); 分岔

分岔是非線性系統(tǒng)所特有的一種非常重要的性質(zhì).分岔現(xiàn)象涉及很多科學(xué)領(lǐng)域[1-3], 是當(dāng)今研究的熱門課題之一.文獻(xiàn)[4]綜述了分岔研究的各種方法.Lypunov-Schmidt方法(簡稱L-S方法)是降低非線性方程維數(shù)的一種常用方法,在研究非線性系統(tǒng)的靜態(tài)分岔問題時(shí)可以利用此法對(duì)方程先進(jìn)行簡化[5-6], 然后進(jìn)一步研究其非線性動(dòng)力學(xué)行為.Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是近年來研究較熱的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng), 作為Hamilton力學(xué)的自然推廣[7], Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究已取得了豐富的成果[8].文獻(xiàn)[9-10]將微分方程定性分析的基本理論和方法引入到Birkhoff系統(tǒng)的研究中, 討論了二階自治Birkhoff系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分岔.文獻(xiàn)[11]得到了二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡點(diǎn)分岔的相關(guān)內(nèi)容.本文探討了二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔問題.首先給出該系統(tǒng)奇點(diǎn)分岔的必要條件.其次利用L-S方法把系統(tǒng)方程降為較低維方程, 進(jìn)而研究帶參數(shù)的二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔.研究表明奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)如果存在多條解曲線, 則該點(diǎn)為分岔點(diǎn).

1　二階自治廣義Brikhoff系統(tǒng)的微分方程

對(duì)于二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)有形式：

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

如果動(dòng)力學(xué)函數(shù)B,Rν或者Λv含有某個(gè)常參數(shù)μ,那么我們可以將(3)寫成如下形式：

(5)

其中

(6)

2　系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔

下面我們給出二階自治廣義Brikhoff系統(tǒng)奇點(diǎn)分岔的必要條件.

下面我們將方程(5)寫成以下形式：

(7)

(8)

那么, 我們有

(9)

顯然, 當(dāng)μ=0時(shí)有

(10)

(11)

下面我們討論系統(tǒng)(5)的一種特殊情形即

(12)

此時(shí), 二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(5)的微分方程(7)成為

(13)

3　Lypunov-Schmidt方法降階

為進(jìn)一步討論高維系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔, 通常情況下會(huì)使用Lypunov-Schmidt方法, 將系統(tǒng)在奇點(diǎn)的鄰域約化低維數(shù)方程去考慮原問題.L-S方法的基本思想是, 通過將空間分解到兩個(gè)子空間上, 將要研究的原方程分解成兩組方程, 其中一組方程由隱函數(shù)定理可以解出, 再將解代入第二組方程, 這樣原方程的求解轉(zhuǎn)化成一組較低維數(shù)的求解.

二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(5)滿足

(14)

(15)

對(duì)(15)的第二式因?yàn)?/p>

(16)

(17)

(18)

這樣我們將方程(15)的研究轉(zhuǎn)化成僅僅對(duì)(18)式的研究, 使得問題大大簡化.我們將(18)稱為二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(5)的奇點(diǎn)分岔方程.

4　算　例

已知二階自治Birkhoff系統(tǒng)

(19)

試討論該系統(tǒng)奇點(diǎn)分岔問題.

首先由(6)得到二階自治Birkhoff系統(tǒng)微分方程

(20)

顯然對(duì)于任一μ, 總有

(21)

(22)

的解.對(duì)于(20)式得到

(23)

滿足

(24)

由方程(22)中的f2=0得

(25)

將(25)代入(22)中的f1=0得到該系統(tǒng)(20)的奇點(diǎn)分岔方程

(26)

顯然(26)式有

隱函數(shù)定理?xiàng)l件不滿足.令

a1=μy

(27)

代入(26), 那么(26)式變成

(28)

設(shè)

(29)

顯然有

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

和

(35)

5　結(jié)　論

我們可以利用L-S方法和奇異性理論來研究二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔問題, 一旦系統(tǒng)奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)存在多個(gè)奇點(diǎn), 那么奇點(diǎn)成為系統(tǒng)的分岔點(diǎn).我們先得出系統(tǒng)的分岔方程，那么原系統(tǒng)的奇點(diǎn)分岔問題的研究，僅僅只需用隱函數(shù)定理對(duì)分岔方程的解個(gè)數(shù)進(jìn)行研究.

[1]馬知恩, 周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京:科學(xué)出版社, 2001.

[2]Wen D Z, Chen Y S.Bifurcation analysis of fan casing under rotating air flow excitation[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2014, 35(9):1099-1114.

[3]Ma M L, Min F H.Bifurcation behavior and coexisting motions in a time-delayed power system[J].Chinese Physics B, 2015, 24(3):030501.

[4]陳予恕.非線性振動(dòng)、分叉和混沌理論及其應(yīng)用[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 1992, 5(3):235-249.

[5]王超, 張堯, 武志剛.改進(jìn)LS方法降維電力系統(tǒng)常微分方程的研究[J].電力自動(dòng)化設(shè)備，2008, 28(5):26-28.

[6]曹登慶, 陳予恕, 于海, 秦朝紅.現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)的兩個(gè)研究主題:降維方法與奇異性理論[A].第八屆全國動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)術(shù)會(huì)議論文集, 2008.

[7]Birkhoff G D.Dynamical Systems[M].Providence:AMS College Publisher, 1927.

[8]陳向煒, 傅景禮, 羅紹凱, 梅鳳翔.Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2004, 20(2):5-13.

[9]Chen X W, Mei F X.Existence of periodic solutions for higher order autonomous Birkhoff systems[J].Journal of Beijing Institute of Technology, 2000(2):125-130.

[10]陳向煒, 羅紹凱, 梅鳳翔.二階自治Birkhoff系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分岔[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 21(3):251-255.

[11]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社, 2013.

[責(zé)任編輯：王軍]

Singularity bifurcations of second order autonomous generalized Brikhoff systems

CAO Qiupeng1,CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China;2.Department of Physics and Information Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

The differential equations of second order autonomous generalized Brikhoff systems were established.The necessary conditions for singularity bifurcation of second order autonomous generalized Brikhoff systems were proposed.Singularity bifurcations of second order autonomous generalized Brikhoff systems with parameters were discussed by Lypunov-Schmidt method.The results show that if it exists several solution curves in neighborhood of a singular point then the singular point is a branch point.

generalized Brikhoff system; singular point; bifurcation

2016-04-19

國家自然科學(xué)基金(11372169)和蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(SKCX14_056).

曹秋鵬(1991-)，男，江蘇南通人，蘇州科技大學(xué)碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)物理的研究.

陳向煒(1967-)，男，河南汝南人，商丘師范學(xué)院教授,博士，研究生導(dǎo)師，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)的研究.

O316

A

1672-3600(2016)09-0025-05